第一章_随机事件及其概率习题

习题一一、填空题

1．设样本空间{x|0x2}，事件A{x| {x|0x}{x|113x1}, B{x|x}，则AB242143113x2} , AB{x|x}{x|1x} .2422 2. 连续射击一目标，Ai表示第i次射中，直到射中为止的试验样本空间，则

1、2、3、4概率为

4．一批(N个)产品中有M个次品、从这批产品中任取n个，其中恰有个m个次品的

侯车时间不超过3分钟的概率为 0.6 .

5．某地铁车站, 每5分钟有一趟列车到站，乘客到达车站的时刻是任意的，则乘客

mmnCnn概率是 CMM/CN .

1 .123．一部四卷的文集，按任意次序放在书架上，各卷自左向右，或自右向左顺序恰好为

6．在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于7．已知P(A)=0.4, P(B)=0.3,

(2)当BA时, P(A+B)= 0.4 ; P(AB)= 0.3 ；8. 若P(A),P(B),P(AB),P(AB) (1)当A,B互不相容时, P(A∪B)= 0.7; P(AB)= 0 . 1 ;P(AB)=A1；；；； A1A2  A1A2An1An .

 6 ”的概率为 0.68 .5;

P(AB)=

1.

9. 事件A,B,C两两独立, 满足ABC，P(A)P(B)P(C)19,且P(A+B+C )=，216则P(A)=0.25？？ .

P(B|A)0.8，则和事件AB的概率P(AB) 0.7 .

10．已知随机事件A的概率P(A)0.5，随机事件B的概率P(B)0.6，及条件概率

12．假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中随机取一件结果不

1

是三等品，则取到一等品的概率为

23 .

 aab .13. 已知P(A)a,P(B|A)b,则P（AB）14.

一批产品共10个正品,2个次品,任取两次,每次取一件(取后不放回),则第2次抽取

为次品的概率

15. 甲、乙、丙三人入学考试合格的概率分别是率为 2/5 .

16. 一次试验中事件A发生的概率为p, 现进行n次独立试验, 则A至少发生一次的概率为

1（）1pn；A至多发生一次的概率为 （）1pn np(1p)n1 17. 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是甲中的概率为 0.75 .

二、选择题

（A）“甲种产品畅销，乙种产品滞销”; （B）“甲、乙两种产品均畅销”;（C）“甲种产品滞销”;

2. 对于任意二事件A和B,与ABB不等价的是（D）.

(A) AB; (B) BA; (C) AB; (D) AB.3. 如果事件A，B有BA，则下述结论正确的是（C）.（A）A与B同时发生; （C） A不发生B必不发生； 4.

（B）A发生，B必发生； （D）B不发生A必不发生.

A表示“五个产品全是合格品”，B表示“五个产品恰有一个废品”，C表示“五

(A) AB; (B) AC; (C) BC; （）D ABC.5. 若二事件A和B同时出现的概率P(AB)=0则（C）.（A）A和B不相容；

（B）AB是不可能事件；

（C）AB未必是不可能事件； （D）P(A)=0或P(B)=0.6. 对于任意二事件A和B有P(AB) (C ).

个产品不全是合格品”，则下述结论正确的是（B）.

1．以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”则其对立事件A为（D）.

（D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”.

2

.

212, , ，三人中恰好有两人合格的概325 1 .6 (A) P(A)P(B); （C）P(A)P(AB);

（B）P(A)P(B)P(AB);（D）P(A)P(B)P(B)P(AB).

(C) P(B|A)P(B); (D) P(BA)P(B)P(A).

11. 设A、B、C是三随机事件，且P(C)0,则下列等式成立的是( B).

(C) P(A|C)P(A|C)1; (D) P(AB|C)P(A|C)P(B|C). 12. 设A,B是任意两事件, 且AB,P(B)0, 则下列选项必然成立的是（B）.

13．设A,B是任意二事件,且P(B)0,P(A|B)1,则必有（ C (A) P(AB)P(A);

(B) P(AB)P(B);(D) P(AB)P(B)．

(A)P(A)P(A|B); (B)P(A)P(A|B);

(C)P(A)P(A|B); (D)P(A)P(A|B).）.

后不放回，则第二人取到白球的概率为（D）.

1212(A) ; (B) ; (C) ; (D) .4455 15. 设0P(A)1,0P(B)1,P(A|B)P(A|B)1,则（D）. (A) 事件A和B互不相容； (C) 事件A和B互不独立；

(B) 事件A和B互相对立；(D) 事件A和B相互独立.

14. 袋中有5个球，其中2个白球和3个黑球，又有5个人依次从袋中任取一球，取

(C) P(AB)P(A);

(A) P(A|C)P(A|C)1; (B) P(AB|C)P(A|C)P(B|C)P(AB|C);3

（A）P(AB)P(A); (B) P(AB)P(A);

10. 设A,B为两随机事件，且BA ，则下列式子正确的是 (A ).

(A)P(C)P(A)P(B)1;(B)P(C)P(A)P(B)1;(C)P(C)P(AB); (D)P(C)P(AB).9. 当事件A、B同时发生时，事件C必发生则（B）.

(A) A与B不相容; (B)A与B相容; (C) P(AB)=P(A)P(B); (D) P(A−B)=P(A).

8. 设A , B是任意两个概率不为0的不相容的事件,则下列事件肯定正确的（D）.

16. 某人向同一目标重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0p1)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（C）.

(C)3p2(1p)2; (D)6p2(1p)2.三、解答题

1.写出下列随机实验样本空间：

(1) 同时掷出三颗骰子，记录三只骰子总数之和；

(2) 10只产品中有3次产品，每次从中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取

(3) 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如

连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

(4) 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度.解 1（1）{3,4,5,,18}；（2）{3,4,5,,10}；

（3）查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，

（1）A发生,B和C不发生； （3）A,B,C均发生；

2. 设A,B,C为三事件，用A,B,C运算关系表示下列事件：

（2）A与B都发生, 而C不发生；（4）A,B,C至少一个不发生；（6）A,B,C最多一个发生；

（5）A,B,C都不发生；

（7）A,B,C中不多于二个发生； （8）A,B,C中至少二个发生.

解 （1）ABC或A－

（4）{(x,y,z)|x0,y0,z0,xyz1}其中x,y,z分别表示三段之长.

{00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111};

(AB+AC)或A－

AB－C；（3）ABC；（4）ABC；（5）ABC或ABC；

（6）ABCABCABCABC；（7）ABC；（8）ABACBC.

3．下面各式说明什么包含关系？

(1) ABA ； (2) ABA； (3) ABCA4

(B+C)；（2）ABC或AB－ABC或

出，记录抽取的次数；

(A)3p(1p)2; (B)6p(1p)2; 解 （1）AB； （2）AB； （3）ABC4. 设{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A{2,3,4}, B{3,4,5}, C{5,6,7}具体写出下列各事件：(1) AB， (2) AB， (3) A B， (4) ABC， (5)A(BC). 解 （1）{5}； (2) {1,3,4,5,6,7,8,9,10}； (3) {2,3,4,5}；

(4) {1,5,6,7,8,9,10}； (5) {1,2,5,6,7,8,9,10}.5. 从数字1,2,3，…，10中任意取3个数字，（1）求最小的数字为5的概率;记“最小的数字为5”为事件A

3∵ 10个数字中任选3个为一组：选法有C10种，且每种选法等可能.

又事件A相当于：有一个数字为5，其余2个数字大于5。这种组合的种数有1C5∴

2 （2）求最大的数字为5的概率。

1C521P(A).3C1012 记“最大的数字为5”为事件B，同上10个数字中任选3个，选法有C10种，且每种

326. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？

5244 10∵ 从10只中任取4只，取法有4种，每种取法等可能。要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。取法有

则A表“4只人不配对”

记A表“4只全中至少有两支配成一对”

21C41.P(B)3C1020选法等可能，又事件B相当于：有一个数字为5，其余2数字小于5，选法有1C4种

5

C54248P(A)4C1021P(A)1P(A)1813.21218．已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。

（1）两只都是正品 ；（2）两只都是次品 ；（3）一只是正品，一只是次品；（4）至少一只是正品。

C8228解 （1） p12;

C1045(2)C221p22C1045 (3)p311C8C22C1016144; (4) p41p21.4545459. 把10本书任意放在书架上，求其中指定的5本书放在一起的概率。 解 所求概率

p6!5!1.10!4210. 某学生宿舍有8名学生，问（1）8人生日都在星期天的概率是多少？（2）8人生

解 (1) 11p18;778日都不在星期天的概率是多少？（3）8人生日不都在星期天的概率是多少？

(2)11．从0 ~ 9中任取4个数构成电话号码（可重复取）求：（1）有2个电话号码相同，另2个电话号码不同的概率p；

个班各分一名优秀生的概率p（2）3名优秀生在同一个班的概率q.

6

（2）取的至少有3个电话号码相同的概率q.

1C10C42A92解 (1)p0.432；

1041311C10C4A9C10 (2)q0.037.10412. 随机地将15名新生平均分配到三个班中，这15名新生有3名优秀生.求（1）每

686p28;

778(3)11p3181.

77 8 。

P（A）P（B）2P（AB）7. 试证P（ABAB）.

解 基本事件总数有

15！种5！ 5！ 5！(1) 每个班各分一名优秀生有3! 种, 对每一分法,12名非优秀生平均分配到三个班中分3！ 12！12！3！ 12！！ 4！ 4！25.法总数为种, 所以共有种分法. 所以 p =415！914！ 4！ 4！4！ 4！ 4！5！ 5！ 5！13. 在单位园内随机地取一点Q，试求以Q为中点的弦长超过1的概率.

x,yx2y21，记事件A为“以Q为中心的弦长超过1”，则事件

21322Ax,y1xy，即Ax,yx2y242由几何概率计算公式得

最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？

解：由P (A) = 0.6，P (B) = 0.7即知AB≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P(A∪B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3 >1与P (A∪B)≤1矛盾）.从而由加法定理得

（2）从(*)式知，当A∪B=时，P(AB)取最小值，最小值为

P(AB)=0.6+0.7－1=0.3 .

15. 设A，B是两事件,证明: P　ABAB　P　A)P(B)2P(AB)

证 P（ABAB）P（AB)P(AB)P(ABAB)P(AB)P(BA)7

（1）从0≤P(AB)≤P(A)知，当AB=A，即A∩B时P(AB)取到最大值，最大值为

P(AB)=P(A)=0.6，

P (AB)=P (A)+P (B)－P (A∪B)

14. 设A，B是两事件且P (A)=0.6，P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB)取到最大值，

343P(A).14 (*)

解: 在单位园内任取一点Q，并记Q点的坐标为(x，y)，由题意得样本空间

312！312！12！！ 5！ 5！6.中分法总数为, 共有种, 所以 q =215！912！ 5！ 5！2！ 5！ 5！5！ 5！ 5！ (2)3名优秀生分配到同一个班, 分法有3种, 对每一分法,12名非优秀生分配到三个班

P(A)P(AB)P(B)P(AB)P(A)P(B)2P(AB).

16. 某门课只有通过口试及笔试两种考试，方可结业. 某学生通过口试概率为80%，通过笔试的概率为65%，至少通过两者之一的概率为75%，问该学生这门课结业的可能性有多大？

解 A=“他通过口试”，B=“他通过笔试”,则 P(A)=0.8, P(B)=0.65, P(A+B)=0.75

17. 某地有甲、乙、丙三种报纸，该地成年人中有20%读甲报，16%读乙报，14%读丙

问成年人至少读一种报纸的概率.

解 设A，B，C分别表示读甲，乙，丙报纸 18.

已知P(A)P(B)P(C)11，求事件A,B,C全不,P(AB)0,P(AC)P(BC)416发生的概率.

19．某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品在有75件一等品，试求在该产品任取一件的是一等品的概率. 解 令

正品的概率.

20. 在100个次品中有10 个次品 ，每次从任取一个（不放回），求直到第4次才取到

解 Ai=“第i次取到正品” i =1，2，3，4.

P(A1A2A3A4)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)1098900.00069100999897P(AB)P(A)P(B|A)(10.04)0.750.72.

A“任取一件是合格品”，B“任取一件是一等品” 313 1[P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)]1488.

解P(ABC)P(ABC)1P(ABC) P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)0.20.160.140.080.050.040.020.35.

8

报，其中8%兼读甲和乙报，5%兼读甲和丙报，4%兼读乙和丙报，又有2%兼读所有报纸，

即该学生这门课结业的可能性为70%.

P(AB)=P(A)+P(B)−P(A+B)=0.8+0.65−0.75=0.70

21. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？

记H表拨号不超过三次而能接通, Ai表第i次拨号能接通.注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码.

HA1A1A2A1A2A3　　　　　　　1919813.1010910981022. 若P(A)0,P(B)0，且P(A|B)P(A)，证明P(B|A)P(B). 证 因为 P(A|B)P(A), 则 所以 P(B|A)P(AB)P(A)P(B)P(B) .P(A)P(A)23. 证明事件A与B互不相容，且0解 设A=｛取得的产品为正品｝， Bi,i1,2,3分别为甲、乙、丙三厂的产品

P(B1)=0.5

任取一件产品，求取得正品的概率.

3箱、2箱，三厂产品的废品率依次为0.1、0.2、0.3，从这10箱中任取一箱，再从这箱中

P(A|B2)0 .8 ,P(A|B3)0.7所以 P（A）PBiPABi0.83.

25. 某一工厂有A,B,C三个车间生产同一型号螺钉，每个车间的产量分别占该厂螺钉总产量的25 %、35 %、40 %，每个车间成品中的次品分别为各车间产量的5 %、4 %、2

%，如果从全厂总产品中抽取一件产品螺钉为次品，问它是A,B,C车间生产的概率.

解 A、B、C分别表示A、B、C三车间生产的螺钉，D=“表示次品螺钉”

P（A）25% P（B）35% P（C）45% P（D|A）5% P（D|B）4% P（D|C）2%9

3i1 P(AB)P(A).。1P(B)P(B)，P(B2)=0.3，P(B3)=0.2，P(A|B1)0 .9 ，

P(AB)P(A)P(AB)P(A)P(B)P(B) P（A）。

1P（B） P(H)P(A1)P(A1)P(A2|A1)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) PADPAPDAPDPAPDA=

机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？

解 B=｛从人群中任取一人是男性｝， A=｛色盲患者｝

所以 P(B|A) A与B独立的充分必要条件.

证 因为A的概率不等于0和1,所以A的概率不等于0和1，

28. 设六个相同的元件,如下图所示那样

安置在系统中,设每个元件正常工作的概率为p,求这个系统正常工作的概率。假定各个能否正常工作是相互独立的.

解: 设Ai{第条线路正常工作，i}

P(AB)P(A)P(B),即和独立AB.P(AB)P(AB)P(A)P(A) [1P(A)]P(AB)P(A)[P(B)P(AB)]P(B|A)P(B|A)A{代表这个系统正常工作}，

由条件知，P(Ai)p，P(Ai)1p，

2P(A)1P(A)1P(A1A2A3)1(1p2)3.

[二十六（1）]设有4个独立工作的元件1，2，3，4。它们的可靠性分别为

i1,2,3, A{代表这个系统正常工作},

227.设A,B是任意二事件,其中A的概率不等于0和1, 证明,P(B|A)P(B|A)是事件

10

P(B)P(A|B)0.50.0520.P(A)0.0262521 P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)0.50.050.50.00250.02625 PB0.5 P(A|B) 5% ， P(A|B) 0.25%因为 P（B） 26. 已知男人中有5 %的色盲患者，女人中有0.25 %的色盲患者，今从男女人数中随

同理 P（B|D）=28 ； P（C|D）=16.6969PAPDAPBPDBPCPDC=

2552525535440269 P1，P2，P3，P4，将它们按图（1）的方式联接，求系统的可靠性。

记Ai表示第i个元件正常工作，i=1，2，3，4，

2143= P1P2P3+ P1P4－P1P2P3P4(A1, A2, A3, A4独立)

29. 某类电灯泡使用时在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小以后最多只有一个坏的概率.

解 A表示一个灯泡使用时数在1000小时以上

P（A）0.2 th32= C3(0.2)3+C3(0.2)2(1–0.2)=0.104.

eirP｛三灯泡中最多有一个坏｝=P｛三个全好｝+P｛只有一个坏｝

being ar4的命中率.

解

31. 某型号的高射炮，每门炮发射一发击中的概率为0.6，现若干门炮同时发射一发，问欲以99%的把握击中来犯的一架敌机至少需要配置几门炮？

e a

ndA=“高炮击中飞机”， 则 P（A）0.6P｛飞机被击中｝=P｛n门高射炮中至少有一门击中｝

m A解 设需要配置n门高射炮

ll thin80211P(命中次）（ 0 11p)4, (1p)4p.8133=1–P｛n门高射炮全不命中｝1(1P|A|)n10.4n99%lg0015026lg04 0.4n0.01n 至少配备6门炮.32.

设有三门火炮同时对某目标射击，命中概率分别为0.2、0.3、0.5，目标命中一发

11

gs in 30. 一射手对同一目标独立进行了四次射击,若至少命中一次的概率为

e g80, 求该射手81= P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)－P (A1) P (A2)P (A3)P (A4)

oo∴ P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4)－P (A1A2A3 A4) (加法公式)

d f∵ A=A1A2A3+ A1A4两种情况不互斥

orA表示系统正常。

被击毁的概率为0.2，命中二发被击毁的概率为0.6，三发均命中被击毁的概率为0.9，求三门火炮在一次射击中击毁目标的概率.

解 设A=｛目标一次射击中被击毁｝Bi=｛目标被击中的发数｝，（i0，1，2，3，）

则P(B0)0.80.70.50.28P(B1)=0.2×0.7×0.5+0.8×0.3×0.5+0.8×0.7×0.5=0.47P(B2)=0.2×0.3×0.5+0.2×0.7×0.5+0.8×0.3×0.5=0.22P(B3)=0.2×0.3×0.5=0.03

P(A|B0)0 P(A|B1)0.2 P(A|B2)0 .6 P(A|B3)0.9i0 12

所以 P(A)PBiPABi0.47×0.2+0.2×0.6+0.03×0.9=0.253.

3