永清县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

永清县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 在平面直角坐标系中，直线y=

x与圆x2+y2﹣8x+4=0交于A、B两点，则线段AB的长为（ ）

A．4 B．4 C．2 D．2

2． 棱台的两底面面积为S1、S2，中截面（过各棱中点的面积）面积为S0，那么（ ）

S1S2 B．S0S1S2 C．2S0S1S2 D．S022S1S2

x20}，则A(CRB)等于（ ） 3． 已知全集为R，且集合A{x|log2(x1)2}，B{x|x1A．(1,1) B．(1,1] C．[1,2) D．[1,2]

A．2S0【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.

4． 给出下列各函数值：①sin100°；②cos（﹣100°）；③tan（﹣100°）；④负的是（ ） A．①

B．②

C．③

D．④

+6x﹣1的极值点，则log2

．其中符号为

5． 数列{an}满足an+2=2an+1﹣an，且a2014，a2016是函数f（x）=（a2000+a2012+a2018+a2030）的值是（ ） A．2

B．3

C．4

D．5

6． 设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（ ） A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7． 己知y=ff=x+2， （x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，（x）那么不等式2f（x）﹣1＜0的解集是（ ）A．C．

B． D．

或

或

228． “ab3”是“圆xy2x6y5a0关于直线yx2b成轴对称图形”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

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精选高中模拟试卷

【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识，有一定的综合性，突出化归能力的考查，属于中等难度．

9． 等比数列{an}中，a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，则a6=（ ） A．3

B．

C．±

D．以上皆非

10．如图框内的输出结果是（ ）

A．2401 B．2500 C．2601 D．2704

11．下面各组函数中为相同函数的是（ ） A．f（x）=

，g（x）=x﹣1

B．f（x）=

，g（x）=

C．f（x）=ln ex与g（x）=elnx D．f（x）=（x﹣1）0与g（x）= 12．经过点M1,1且在两轴上截距相等的直线是（ ） A．xy20 B．xy10

C．x1或y1 D．xy20或xy0

二、填空题

2213．已知x，y为实数，代数式1(y2)9(3x)x2y2的最小值是 .

【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识，意在考查构造的数学思想与运算求解能力. 14．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为 ．

15．i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为 ．

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16．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=axg（x）（a＞0且a≠1），为 ． 为___________.

18．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值 ．

2+=．若数列{

}的前n项和大于62，则n的最小值

217．已知关于的不等式xaxb0的解集为(1,2)，则关于的不等式bxax10的解集

三、解答题

19．如图，四棱锥PABC中，PAABCD,AD//BC,ABADAC3,PABC4，M 为线段AD上一点，AM2MD,N为PC的中点．

（1）证明：MN//平面PAB；

（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值；

20．如图1，圆O的半径为2，AB，CE均为该圆的直径，弦CD垂直平分半径OA，垂足为F，沿直径AB将半圆ACB所在平面折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图2） （Ⅰ）求四棱锥C﹣FDEO的体积

（Ⅱ）如图2，在劣弧BC上是否存在一点P（异于B，C两点），使得PE∥平面CDO？若存在，请加以证明；若不存在，请说明理由．

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21．已知函数

．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；

1

（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e﹣，e]上有两个零点，求实数b的取

值范围．

22．如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连

接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），

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（1）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；

（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小。

23．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，其中选择题3道，判断题2道，甲、乙两人各抽一道（不重复）．

（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？ （2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？

24．已知抛物线C：x2=2y的焦点为F．

（Ⅰ）设抛物线上任一点P（m，n）．求证：以P为切点与抛物线相切的方程是mx=y+n；

（Ⅱ）若过动点M（x0，0）（x0≠0）的直线l与抛物线C相切，试判断直线MF与直线l的位置关系，并予以证明．

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永清县第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】A

2222

【解析】解：圆x+y﹣8x+4=0，即圆（x﹣4）+y=12，圆心（4，0）、半径等于2

． ，

由于弦心距d=故选：A．

=2，∴弦长为2=4

【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．

2． 【答案】A 【解析】

试题分析：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2h上部三棱锥的高为，根据相似比的性质可得：

a2S()Sa2h，解得2S0SS，故选A． aS()2S0ah考点：棱台的结构特征． 3． 【答案】C

4． 【答案】B

【解析】解：：①sin100°＞0，②cos（﹣100°）=cos100°＜0，③tan（﹣100°）=﹣tan100＞0，

④∵sin

＞0，cosπ=﹣1，tan

＜0，

∴＞0，

其中符号为负的是②， 故选：B．

【点评】本题主要考查三角函数值的符号的判断，判断角所在的象限是解决本题的关键，比较基础．

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5． 【答案】C

【解析】解：函数f（x）=∵a2014，a2016是函数f（x）=数列{an}中，满足an+2=2an+1﹣an， 可知{an}为等差数列，

+6x﹣1，可得f′（x）=x2﹣8x+6， +6x﹣1的极值点，

2

∴a2014，a2016是方程x﹣8x+6=0的两实数根，则a2014+a2016=8．

∴a2014+a2016=a2000+a2030，即a2000+a2012+a2018+a2030=16， 从而log2（a2000+a2012+a2018+a2030）=log216=4． 故选：C．

【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键．

6． 【答案】B

【解析】解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立， 若a⊥b，则α⊥β不一定成立， 故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件， 故选：B．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．

7． 【答案】B

【解析】解：因为y=f（x）为奇函数，所以当x＞0时，﹣x＜0， 根据题意得：f（﹣x）=﹣f（x）=﹣x+2，即f（x）=x﹣2， 当x＜0时，f（x）=x+2，

代入所求不等式得：2（x+2）﹣1＜0，即2x＜﹣3， 解得x＜﹣，则原不等式的解集为x＜﹣； 当x≥0时，f（x）=x﹣2，

代入所求的不等式得：2（x﹣2）﹣1＜0，即2x＜5， 解得x＜，则原不等式的解集为0≤x＜， 综上，所求不等式的解集为{x|x＜﹣或0≤x＜}． 故选B

8． 【答案】A

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【

解析】

9． 【答案】C

2

【解析】解：∵a3，a9是方程3x﹣11x+9=0的两个根， ∴a3a9=3，

又数列{an}是等比数列，

2

则a6=a3a9=3，即a6=±

．

故选C

10．【答案】B

【解析】解：模拟执行程序框图，可得S=1+3+5+…+99=2500， 故选：B．

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，等差数列的求和公式的应用，属于基础题．

11．【答案】D

【解析】解：对于A：f（x）=|x﹣1|，g（x）=x﹣1，表达式不同，不是相同函数；

对于B：f（x）的定义域是：{x|x≥1或x≤﹣1}，g（x）的定义域是{x}x≥1}，定义域不同，不是相同函数；

对于C：f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是{x|x＞0}，定义域不同，不是相同函数； 对于D：f（x）=1，g（x）=1，定义域都是{x|x≠1}，是相同函数； 故选：D．

【点评】本题考查了判断两个函数是否是同一函数问题，考查指数函数、对数函数的性质，是一道基础题． 12．【答案】D 【解析】

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考

点：直线的方程.

二、填空题

13．【答案】41. 【

解

析

】

14．【答案】 ．

【解析】解：∵PF1⊥PF2，

222

∴|PF1|+|PF2|=|F1F2|．

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22

∵双曲线方程为x﹣y=1， 22222

∴a=b=1，c=a+b=2，可得F1F2=2

222

∴|PF1|+|PF2|=|F1F2|=8

22

又∵P为双曲线x﹣y=1上一点， 2

∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）=4

2222

因此（|PF1|+|PF2|）=2（|PF1|+|PF2|）﹣（|PF1|﹣|PF2|）=12

∴|PF1|+|PF2|的值为故答案为：

【点评】本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径，求它们长度的和，着重考查了双曲线的基本概念与简单性质，属于基础题．

15．【答案】 ﹣2 ．

【解析】解：由（1﹣2i）（a+i）=（a+2）+（1﹣2a）i为纯虚数， 得

，解得：a=﹣2．

故答案为：﹣2．

16．【答案】 1 ．

【解析】解：∵x为实数，[x]表示不超过x的最大整数， ∴如图，当x∈[0，1）时，画出函数f（x）=x﹣[x]的图象，

再左右扩展知f（x）为周期函数． 故答案为：1．

结合图象得到函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期是1．

【点评】本题考查函数的最小正周期的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．

17．【答案】(,)(1,) 【

解

析

】

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考

点：一元二次不等式的解法. 18．【答案】 5

半径为3， 即：故答案为：5

﹣4．

﹣4 ．

【解析】解：如图，圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），

﹣4=5

﹣4．

|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，

【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，考查两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力，考查数形结合的数学思想，属于中档题．

三、解答题

19．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】

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试

题解析：

（2）在三角形AMC中，由AM2,AC3,cosMAC2，得 3

CM2AC2AM22ACANcosMAC5， AM2MC2AC2，则AMMC， ∵PA底面ABCD,PA平面PAD，

∴平面ABCD平面PAD，且平面ABCD平面PADAD，

∴CM平面PAD，则平面PNM平面PAD，

在平面PAD内，过A作AFPM，交PM于F，连结NF，则ANF为直线AN与平面PMN所成角。 在RtPAM中，由PAAMPMAF，得AF4585，∴sinANF， 525第 13 页，共 18 页

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所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为85．1 25

考点：立体几何证明垂直与平行．

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）如图1，∵弦CD垂直平分半径OA，半径为2， ∴CF=DF，OF=

，

，

∴在Rt△COF中有∠COF=60°，CF=DF=∵CE为直径，∴DE⊥CD， ∴OF∥DE，DE=2OF=2， ∴

，

图2中，平面ACB⊥平面ADE，平面ACB∩平面ADE=AB， 又CF⊥AB，CF⊂平面ACB，

∴CF⊥平面ADE，则CF是四棱锥C﹣FDEO的高， ∴

．

（Ⅱ）在劣弧BC上是存在一点P（劣弧BC的中点），使得PE∥平面CDO． 证明：分别连接PE，CP，OP， ∵点P为劣弧BC弧的中点，∴

，

∵∠COF=60°，∴∠COP=60°，则△COP为等边三角形， ∴CP∥AB，且∴CP∥DE且CP=DE， ∴四边形CDEP为平行四边形， ∴PE∥CD，

又PE⊄面CDO，CD⊂面CDO， ∴PE∥平面CDO．

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，又∵DE∥AB且DE=，

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【点评】本题以空间几何体的翻折为背景，考查空间几何体的体积，考查空间点、线、面的位置关系、线面平行及线面垂直等基础知识，考查空间想象能力，求解运算能力和推理论证能力，考查数形结合，化归与数学转化等思想方法，是中档题．

21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1，函数f（x）的定义域为（0，+∞）， 因为所以，

，所以，，

，所以，a=1．

． 由f'（x）＞0解得x＞2；由f'（x）＜0，解得 0＜x＜2．

．

所以f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）． （Ⅱ）

所以，f（x）在区间所以，当成立， 所以，

．

，则

上单调递增，在区间

，由f'（x）＞0解得

； 由f'（x）＜0解得

上单调递减．

时，函数f（x）取得最小值，

即可． 则

．因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）

． 由

解得

．

所以，a的取值范围是 （Ⅲ） 依题得

．

由g'（x）＞0解得 x＞1； 由g'（x）＜0解得 0＜x＜1．

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所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数． 又因为函数g（x）在区间[e﹣，e]上有两个零点，所以

1

， ．

解得． 所以，b的取值范围是

【点评】本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系，利用导数求函数的单调区间以及函数的最值．

22．【答案】（1）1 （2）60°

【解析】（1）设BD=x，则CD=3﹣x ∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3﹣x

∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D ∴AD⊥平面BCD

∴VA﹣BCD=×AD×S△BCD=×（3﹣x）××x（3﹣x）=（x3﹣6x2+9x） 设f（x）=（x3﹣6x2+9x） x∈（0，3），

∵f′（x）=（x﹣1）（x﹣3），∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数 ∴当x=1时，函数f（x）取最大值

∴当BD=1时，三棱锥A﹣BCD的体积最大； （2）以D为原点，建立如图直角坐标系D﹣xyz，

23．【答案】

【解析】（本小题满分12分）

解：（1）甲、乙两人从5道题中不重复各抽一道，共有5×4=20种抽法

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记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A， 则事件A含有的基本事件数为3×2=6…（4分） ∴

，

…（6分）

∴甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是

（2）记“甲、乙二人中至少有一人抽到选择题”为事件B， 其对立事件为“甲、乙二人都抽到判断题”，记为事件C， 则事件C含有的基本事件数为2×1=2…（8分） ∴∴

，

，…（11分）

．…（12分）

∴甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件、对立事件概率计算公式的合理运用．

24．【答案】

22

【解析】证明：（Ⅰ）由抛物线C：x=2y得，y=x，则y′=x，

∴在点P（m，n）切线的斜率k=m，

∴切线方程是y﹣n=m（x﹣m），即y﹣n=mx﹣m，

2

又点P（m，n）是抛物线上一点，

2

∴m=2n，

∴切线方程是mx﹣2n=y﹣n，即mx=y+n … （Ⅱ）直线MF与直线l位置关系是垂直．

由（Ⅰ）得，设切点为P（m，n），则切线l方程为mx=y+n， ∴切线l的斜率k=m，点M（，0）， 又点F（0，）， 此时，kMF=

=== …

∴k•kMF=m×（）=﹣1，

∴直线MF⊥直线l …

【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，导数的几何意义，直线垂直的条件等，属于中档题．

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