二次根式知识梳理

本章的知识结构框图：

二次根式的性 质 二次根式 二次根式的运 算

一、二次根式的概念

有理化因式和分母有理化 最简二次根式 同类二次根式 二次根式的加减 混合运算 二次根式的乘除 1．代数式a(a0)叫二次根式，ma也是。 2．二次根式有意义的条件：a0 3．训练题型

设x是实数，当x满足什么条件时，下列各式有意义？ （1）

1x122x （2） （3）x22x1 （4） 3xx4二、二次根式的性质

1．性质

性质1

a(a＞0),a20(a0),

a(a＜0). 性质2

a2aa0

aba0,b0

性质3 ab 性质4

aaa0,b0 bb2．训练题型

利用二次根式的性质进行计算或化简，例：

1ab22 （1）72， （2）18xx0 （3） （4）b0

439a（5）

32 （6）

x22x1,x3



3、常见问题和解决技巧

（1）重要公式不理解

aa0 a2aa(a0)

被开方数是字母或代数式时，总忘记添绝对值。 口诀化方法解决：去帽子，套棍子。 （2）化简二次根式不熟练

在教学中始终渗透分解因数4、9、25及其它们的组合。 强化训练48、50、72、75、108、125等数的开方。 化简顺序：从数字到字母。

（3）化去根号内的分母时结果错位

解决方法：由外到里、由里到外、公式兼用

22x x2x22xxxxxx

222x222xxxx xxxx

22 再分母有理化 xxxx

三、最简二次根式、同类二次根式 1．最简二次根式的定义

（1）被开方数中各因式的指数都为1；

（2）被开方数不含分母（根号内不含分母） （3）分母里不含根号。

“因式”包括字母和数字 2．同类二次根式的定义

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 3．训练题型

例题1 判断下列二次根式是不是最简二次根式：

(1)5a;3(2)42a(4)a2b;

(3)24x3（5）3(a22a1)(a1)

例题2 将下列二次根式化成最简二次根式：

(1)4x3y2(y0); mn(2)(mn0);mn(3)(a2b2)(ab)(ab0)

例题3 下列二次根式中，哪些是同类二次根式？

12,24,1,27

a4b,2a3b(a0),ab3(a0)例题4 合并下列各式中的同类二次根式：

11(1)22323;

23(2)3xyaxybxy

4．常见问题和解决技巧

解系数是无理数的方程或不等式时不会合并同类项 强化训练找系数，如

(32)x220

3x235x

解系数是无理数不等式，系数化成1时，忘记判断系数是正数还是负数，不等号该不该变号。

3x235x

四、二次根式的计算

1．二次根式的加法和减法

二次根式相加减的一般过程是：先把各个人次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并。

注意：不是同类二次根式的根式不能合并，保留在结果中。 训练题型

例题1 计算：

例题2 计算：

例题3 解不等式：2x+

554x 492． 二次根式的乘法和除法

利用上述性质,可进行二次根式的乘除.

二次根式相乘,被开方数相乘,根指数不变.

两个二次根式相除,被开方数相除,根指数不变

注：一般情况下，先将被开方数相乘、除，然后再化简。 训练题型 例题1 计算:

例题2 计算:

3．分母有理化

（1）定义 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号。

（运用其它途径，也可达到分母有理化的目的） 两个含有二次根式的代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，我们就称这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式。有理化因式不唯一

（2）有理化因式

①形如 a 的有理化因式 是它本身及它的倍数，不唯一； ②形如manb的有理化因式 构造平方差公式结构； 分母有理化

类似ab,ab的有理化因式分别为ab,ab，注意它们的区别。

（3）有理化方法

①分子分母同乘以有理化因式 。

强调：分子不要急于运用乘法分配律，先观察分子分母能否约分。如： mn(mn)(mn)(mn)(mn) mnmn(mn)(mn)

②利用因式分解的知识将m-n写成(mn)m-n分解因式。如 mn(mn)(mn)

mn 的形式,绝对不能讲成将

mnmn 4．二次根式的计算可操作化的问题

（1）纯加减法：先化简，再加减（再合并）。 例

(0.5211)(75)38

2232532341132343（2）纯乘除法：先乘除，再化简 选取课外例题

8x2yy2xy1233xx2212yy28x123·xy3xx22366121232x2x3y22x2·xyx2xyx2a3b(b0)2a3b2a6ab3b3b3对于全乘除法在新教材中有两种计算法：

前一种方法是先利用公式，再用分数与除法的关系，最后化简根式。

而后一种方法先利用分数与除法的关系，再分母有理化，往往第二种方法正确率更高。

（3）混合运算：

①仅乘法与加减法的混合运算：

乘法分配率 88 2753·627·653·6...... 51551123353·35·323·3523·3...... 323322

②除以类单项式的二次根式：

33乘法分配率 515551555......55 ③除以类多项式的二次根式： 2332233266...... 化为分式形式，再分母有理化

66

④除以类分式的二次根式的和：

1123233()3()3

32666

通常先通分，算括号内的，再转化为乘法，写成分式形式，然后通过分母有理化进行运算。

以上方法仅是常用方法，并非绝对方法。计算时主导思想仍是化繁为简，合理运用运算率与分母有理化。

5．典型例题训练

例题1 把下列各式分母有理化：

 （1）

331

； （2）

14332；

（3）

mnmn(mn).

例题2 计算：

(1)104551;

(2)1x1x21x1x2.例题3 已知x1x26x2322，求x3的值.

例题4 解不等式：2x33x

例题5 将下列各式分母有理化：

例题6 讨论：如何将下列各式分母有理化：