数值线性代数基础练习题

23−4i2⎞2⎞⎛2−i2+i3+5i⎛1+i

⎜⎟⎟

1.设A=⎜，B=−i+i1231231−ii⎜⎟， ⎜⎟

⎜2−i⎜212+i3⎟12+2i−3+2i⎟⎝⎠⎝⎠

⎛1+i−i⎞

⎜⎟22+i⎟。计算A+B,AB，BH。 C=⎜

⎜3+i3+i⎟⎜⎟4+i−2⎝⎠2.试确定所有的2阶正交矩阵。

3.设A,B均为n阶Hermite矩阵，证明：AB为Hermite矩阵当且仅当AB=BA。

0⎞⎛10

⎜⎟

4.确定Hermite矩阵A=⎜023+i⎟的惯性指数。

⎜03−i4⎟⎝⎠

5.证明：任何一个Hermite矩阵都是某个Hermite矩阵的3次方。

6.检验全体实数对{(a,b)a,b∈R}，对于如下定义的加法⊕和数量乘法“。”是否构成线性空间：

(a1,b1)⊕(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2+a1a2)

k。(a1,b1)=(ka1,kb1+

7.试证：在R2×2中矩阵

k(k−1)2

a1) 2

α1=⎜

⎛11⎞⎛11⎞⎛11⎞⎛10⎞

，，，ααα===⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟ 234

11011011⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠

⎛ab⎞

线性无关，并求矩阵R2×2中任一⎜⎟在这组基下的坐标。

⎝cd⎠

8.设A∈Rn×n，Rn×n中全体与A可交换的矩阵集合记为W={X∈Rn×nAX=XA}。

(1) 证明：W是R

n×n

的子空间；

⎛10\"⎜

02\"

(2) 当A=⎜

⎜#\"%⎜

⎝00\"0⎞⎟0⎟

，求W的维数和一组基。 ⎟#⎟n⎠

9.求由下列向量{αi}生成的子空间与由向量{βi}生成的子空间的和与交的维数以及一组基。

T

⎧⎪α1=(1,2,1,0)⎨T⎪⎩α2=(−1,1,1,1)

T

⎧⎪β1=(2,−1,0,1),⎨ T⎪⎩α2=(1,−1,3,7)

⎛311⎞

⎟

10.设A=⎜141⎜⎟。

⎜115⎟⎝⎠

(1) 求证：A对称正定。

(2) 在R3定义函数(,)A：(x,y)A=yTAx。求证：(,)A为R3上的一个内积。

⎛1⎞⎛0⎞⎛0⎞

⎟⎜⎟⎜⎟

(3) 用Gram-Schmidt正交化方法将R3的自然基⎜0⎜⎟，⎜1⎟，⎜0⎟按内积(,)A规范

⎜0⎟⎜0⎟⎜1⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠

正交化。