2019-2019学年辽宁省沈阳市高二（上）期末测试
数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若4≤a≤8，0≤b≤2，则a+b的取值范围是（ ） A．（4，10） B．[4，10] C．（6，8） D．[6，8] 2．命题p：“∀x∈N+，2x≥2”的否定为（ ） A．∀x∈N+，2x＜2 B．∀x∉N+，2x＜2 3．双曲线
C．∃x∉N+，2x＜2
D．∃x∈N+，2x＜2
=﹣1的渐近线方程是（ ）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
4．已知数列{an}的首项a1=1，且an=2an﹣1+1（n≥2），则a5为（ ） A．7
B．15
C．30
D．31
5．已知△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+b2﹣ab=c2，则C=（ ） A．
B．
C．
D．
6．若点（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则t=x﹣y的取值范围是（ ）
A．[﹣2，﹣1] B．[﹣2，1] C．[﹣1，2] D．[1，2]
7．已知抛物线x2=8y上的点P到抛物线的焦点距离为5，则点P的纵坐标为（ ） A．2
B．3
C．4
D．5
8．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，bn＞0恒成立，若a2=b2且a8=b8，则（ ） A．a5≥b5
B．a5≤b5
C．a5＞b5
D．a5＜b5
9．已知曲线C的方程为A．充分不必要条件
=1 （a∈R且a≠0），则“a＞1”是“曲线C是焦点在x轴上的双曲线”的（ ）
B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=1，S6=9，则A．8
B．4
C．2
D．1
=，
=，
=，且
=
，
的值为（ ）
11．在四面体ABCD中，E，F分别是棱BC，AD的中点，设则x，y，z的值分别为（ ） A．
B．
C．
_-_
D．
_-_
12．已知数列{an}的通项公式为an=sin的取值范围为（ ） A．k＞1 B．
C．
D．
﹣kn，数列{an}的前n项和为Sn，且{Sn}为递减数列，则实数k
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知椭圆的方程为
=1，则该椭圆的离心率为 ．
14．已知命题“设a，b，c∈R，如果ac2＞bc2，则a＞b”，则它的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数为 ．
15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，则异面直线AE与A1D所成的角的余弦值为 ．
16．设a∈R，若x＞0时，均有（3ax﹣2）（x2﹣ax﹣2）≥0，则a= ．
三、解答题：（共6小题，满分70分）
17．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinC=csinB． （Ⅰ）判断△ABC的形状；
（Ⅱ）若B=30°，a=2，求BC边上中线AD的长． 18．（Ⅰ）解关于x的一元二次不等式x（x﹣2）﹣3＞0；
（Ⅱ）解关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0（其中a∈R）． 19．已知顶点在原点的抛物线开口向右，且过点（1，2）． （Ⅰ）求该抛物线的标准方程；
（Ⅱ）若过该抛物线焦点F且斜率为k的直线l与抛物线交于A、B两点，k∈[1，2]，求弦长|AB|的取值范围．
20．已知等差数列{an}中，a2=3，a5=9． （Ⅰ）求数列{an}的通项an和前n项和Sn； （Ⅱ）证明：命题“∀n∈N+，
”是真命题．
21．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点F为C1D1的中点，点E在CC1上，且CE=1．
_-_
_-_
（Ⅰ）证明：AE⊥平面A1BD； （Ⅱ）求二面角F﹣A1D﹣B的余弦值．
22．已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆的四个顶点相连得到的凸四边形的面积为12 ．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，P，Q是椭圆上不同于顶点的两个动点，且满足直线AP与直线BQ交于点M（﹣9，m），以PQ为直径作圆C，判断点A与圆C的位置关系，并说明理由．
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_-_
2019-2019学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若4≤a≤8，0≤b≤2，则a+b的取值范围是（ ） A．（4，10） B．[4，10] C．（6，8） D．[6，8] 【考点】不等关系与不等式．
【分析】直接利用不等式的简单性质计算即可． 【解答】解：4≤a≤8，0≤b≤2，则a+b∈[4，10]． 故选：B．
2．命题p：“∀x∈N+，2x≥2”的否定为（ ） A．∀x∈N+，2x＜2 B．∀x∉N+，2x＜2 【考点】命题的否定．
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：“∀x∈N+，2x≥2”的否定为：∃x∈N+，2x＜2． 故选：D． 3．双曲线
=﹣1的渐近线方程是（ ）
C．∃x∉N+，2x＜2
D．∃x∈N+，2x＜2
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 【考点】双曲线的简单性质．
【分析】化方程为标准方程，可得a，b，代入y=【解答】解：化已知双曲线的方程为标准方程可知焦点在y轴，且a=3，b=2， 故渐近线方程为y=故选A
4．已知数列{an}的首项a1=1，且an=2an﹣1+1（n≥2），则a5为（ ） A．7
B．15
C．30
D．31 =
可得渐近线方程． ，
【考点】数列递推式．
_-_
_-_
【分析】（法一）利用已递推关系把n=1，n=2，n=3，n=4，n=5分别代入进行求解即可求解 （法二）利用迭代可得a5=2a4+1=2（a3+1）+1=…进行求解
（法三）构造可得an+1=2（an﹣1+1），从而可得数列{an+1}是以2为首项，以2为等比数列，可先求an+1，进而可求an，把n=5代入可求
【解答】解：（法一）∵an=2an﹣1+1，a1=1 a2=2a1+1=3 a3=2a2+1=7 a4=2a3+1=15 a5=2a4+1=31
（法二）∵an=2an﹣1+1
∴a5=2a4+1=4a3+3=8a2+7=16a1+15=31 （法三）∴an+1=2（an﹣1+1） ∵a1+1=2
∴{an+1}是以2为首项，以2为等比数列 ∴an+1=2•2n﹣1=2n ∴an=2n﹣1 ∴a5=25﹣1=31 故选：D
5．已知△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+b2﹣ab=c2，则C=（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】余弦定理．
【分析】把已知条件移项变形得到a2+b2﹣c2=ab，然后利用余弦定理表示出cosC的式子，把变形得到的式子代入即可求出cosC的值，然后根据角C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数． 【解答】解：由a2+b2﹣ab=c2，可得：a2+b2﹣c2=ab， 根据余弦定理得：cosC=又C∈（0，π）， 所以C=故选：B．
．
=
=，
6．若点（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则t=x﹣y的取值范围是（ ）
_-_
_-_
A．[﹣2，﹣1] B．[﹣2，1] C．[﹣1，2] D．[1，2]
【考点】简单线性规划．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，t=x﹣y表示直线在y轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．
【解答】解：先根据约束条件画出可行域，
由得B（2，0），
由，得A（0，1），
当直线t=x﹣y过点A（0，1）时，t最小，t最小是﹣1， 当直线t=x﹣y过点B（2，0）时，t最大，t最大是2， 则t=x﹣y的取值范围是[﹣1，2] 故选C．
7．已知抛物线x2=8y上的点P到抛物线的焦点距离为5，则点P的纵坐标为（ ） A．2
B．3
C．4
D．5
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】利用抛物线的定义，转化求解即可．
【解答】解：抛物线x2=8y的焦点坐标（0，2），抛物线x2=8y上的点P到抛物线的焦点距离为5， 可得P的纵坐标为：3， 故选：B．
8．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，bn＞0恒成立，若a2=b2且a8=b8，则（ ） A．a5≥b5
B．a5≤b5
C．a5＞b5
D．a5＜b5
【考点】等差数列与等比数列的综合．
【分析】设公差为d，公比为q，作差比较，运用因式分解，即可得出结论．
_-_
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【解答】解：设公差为d，公比为q，则 ∵a2=b2，a8=b8，
∴a2+6d=a2q6，∴d=a2（q6﹣1）
∴a5﹣b5=a2+3d﹣a2q3=a2（1﹣q3）+a2（q6﹣1） =a2（q3﹣1）2， ∵a2＞0，（q3﹣1）2≥0， ∴a2（q3﹣1）2≥0， 即有a5≥b5， 故选：A．
9．已知曲线C的方程为A．充分不必要条件
=1 （a∈R且a≠0），则“a＞1”是“曲线C是焦点在x轴上的双曲线”的（ ）
B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】曲线C的方程为判断出结论．
【解答】解：曲线C的方程为
=1（a∈R且a≠0） ，若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则a≠0．=1（a∈R且a≠0），若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则a≠0．即可
∴“a＞1”是“曲线C是焦点在x轴上的双曲线”的充分不必要条件， 故选：A．
10．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=1，S6=9，则A．8
B．4
C．2
D．1
的值为（ ）
【考点】等比数列的性质．
【分析】由等比数列的前n项和公式列出方程组求出首项和公比，由此利用经数列前n项和公式能求出
的值．
【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，S3=1，S6=9，
_-_
_-_
∴
，解得a1=，q=2，
∴===2．
故选：C．
11．在四面体ABCD中，E，F分别是棱BC，AD的中点，设则x，y，z的值分别为（ ） A．
B．
C．
D．
=，
=，
=，且
=
，
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】可画出图形，根据条件及向量加法、减法及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算便可得到
，这样根据平面向量基本定理便可得出x，y，z的值．
【解答】解：如图， 根据条件，===又∴故选A．
； ；
．
=
_-_
_-_
12．已知数列{an}的通项公式为an=sin的取值范围为（ ） A．k＞1 B．
C．
D．
﹣kn，数列{an}的前n项和为Sn，且{Sn}为递减数列，则实数k
【考点】数列与函数的综合．
【分析】可通过前n项的和，结合单调递减，解不等式可得k的范围，再讨论n为4的倍数，4的倍数余1，4的倍数余2，4的倍数余3，结合等差数列的求和公式，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：an=sin
﹣kn，
可得a1=1﹣k，a2=﹣2k，a3=﹣1﹣3k，a4=﹣4k， a5=1﹣5k，a6=﹣6k，a7=﹣1﹣7k，a8=﹣8k， 即有S1=1﹣k，S2=1﹣3k，S3=﹣6k，S4=﹣10k， S5=1﹣15k，S6=1﹣21k，S7=﹣28k，S8=﹣36k，
由{Sn}为递减数列，可得S1＞S2＞S3＞S4＞S5＞S6＞S7＞S8， 即为1﹣k＞1﹣3k＞﹣6k＞﹣10k＞1﹣15k＞1﹣21k＞﹣28k＞﹣36k， 解得k＞，
当n为4的倍数时，Sn=﹣n（n+1）k，
由Sn＞Sn+1，可得﹣n（n+1）k＞1﹣n（n+1）k﹣（n+1）k， 解得k＞
，显然
≤；
当n为4的倍数加1时，Sn=1﹣n（n+1）k，
由Sn＞Sn+1，可得1﹣n（n+1）k＞1﹣n（n+1）k﹣（n+1）k， 解得k＞0；
当n为4的倍数加2时，Sn=1﹣n（n+1）k，
由Sn＞Sn+1，可得1﹣n（n+1）k＞1﹣n（n+1）k﹣（n+1）k， 解得k＞0；
当n为4的倍数加3时，Sn=﹣n（n+1）k，
由Sn＞Sn+1，可得﹣n（n+1）k＞﹣n（n+1）k﹣（n+1）k， 解得k＞0．
综上可得k的范围是k＞．
_-_
_-_
故选：C．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知椭圆的方程为【考点】椭圆的简单性质．
【分析】先由椭圆的标准方程分别求出a，c，由此能求出该椭圆的离心率． 【解答】解：∵椭圆的方程为∴a=
=2，
=
， ．
=1，
=1，则该椭圆的离心率为
．
∴该椭圆的离心率为e==故答案为：
．
14．已知命题“设a，b，c∈R，如果ac2＞bc2，则a＞b”，则它的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数为 1 ． 【考点】四种命题．
【分析】根据四种命题之间的关系分别进行判断即可
【解答】解：若ac2＞bc2，则c≠0，∴a＞b成立，即原命题为真命题，则逆否命题也为真命题． 逆命题为：若a＞b，则ac2＞bc2．当c=0时，ac2＞bc2．不成立， ∴逆命题为假命题，则否命题也为假命题． 故逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有1个． 故答案为：1．
15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，则异面直线AE与A1D所成的角的余弦值为
．
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与A1D所成的角的余弦值．
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【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，
则A（0，0，0），E（1，0，2），A1（0，0，2），D（0，2，0）， =（1，0，2），
=（0，2，﹣2），
设异面直线AE与A1D所成的角为θ， 则cosθ=|cos＜
，
＞|=
=
=
．
∴异面直线AE与A1D所成的角的余弦值为故答案为：
．
．
16．设a∈R，若x＞0时，均有（3ax﹣2）（x2﹣ax﹣2）≥0，则a= 【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】构造函数y1=3ax﹣2，y2=x2﹣ax﹣2，它们都过定点P（0，﹣2），函数y2=x2﹣ax﹣2，显然过点M（
，0），计算即可得到答案．
．
【解答】解：构造函数y1=3ax﹣2，y2=x2﹣ax﹣2，它们都过定点P（0，﹣2）， 考查函数y1=3ax﹣2，令y=0，得M（考查函数y2=x2﹣ax﹣2，显然过点M（解之得：a=故答案为：
三、解答题：（共6小题，满分70分）
17．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinC=csinB．
_-_
，0），∴a＞0； ，0），代入得：
﹣﹣2=0，
，或a=﹣
（舍去）．
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（Ⅰ）判断△ABC的形状；
（Ⅱ）若B=30°，a=2，求BC边上中线AD的长． 【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（Ⅰ）由已知等式，利用正弦定理可得：ac=cb，解得：a=b，即可得解△ABC为等腰三角形． （Ⅱ）由已知可求C=120°，BD=1，利用余弦定理可求AB，在△ABD中，利用余弦定理可求AD的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵asinC=csinB． ∴利用正弦定理可得：ac=cb，解得：a=b， ∴△ABC为等腰三角形．
（Ⅱ）如图所示：∵BC=AC，B=30°，BC=2， ∴C=120°，BD=1， ∴AB=
∴△ABD中，AD=
=
=
=2
，
=
．
18．（Ⅰ）解关于x的一元二次不等式x（x﹣2）﹣3＞0；
（Ⅱ）解关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0（其中a∈R）． 【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）先求出x2﹣2x﹣3＞0，由此能求出关于x的一元二次不等式x（x﹣2）﹣3＞0的解集． （Ⅱ）由当2a＞4，即a＞2，2a＜4，即a＜2，2a=4，即a=2三种情况进行分类讨论，由此能求出关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0（其中a∈R）的解集． 【解答】解：（Ⅰ）∵x（x﹣2）﹣3＞0， ∴x2﹣2x﹣3＞0，
解方程x2﹣2x﹣3=0，得x1=﹣1，x2=3，
∴关于x的一元二次不等式x（x﹣2）﹣3＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞3}． （Ⅱ）∵（x﹣4）（x﹣2a）＜0（其中a∈R）， ∴（x﹣4）（x﹣2a）=0的解为x1=4，x2=2a， ∴当2a＞4，即a＞2时，
关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0为{x|4＜x＜2a}； 当2a＜4，即a＜2时，
关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0为{x|2a＜x＜4}； 当2a=4，即a=2时，
关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0为∅．
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19．已知顶点在原点的抛物线开口向右，且过点（1，2）． （Ⅰ）求该抛物线的标准方程；
（Ⅱ）若过该抛物线焦点F且斜率为k的直线l与抛物线交于A、B两点，k∈[1，2]，求弦长|AB|的取值范围．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（Ⅰ）把定点坐标代入抛物线方程，求得p，则抛物线方程可求；
（Ⅱ）求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线l的方程，和抛物线方程联立后利用弦长公式得答案．
【解答】解：（Ⅰ）设抛物线的方程为y2=2px（p＞0）， 代入点（1，2），可得p=2， ∴抛物线的标准方程y2=4x； （Ⅱ）抛物线焦点坐标为F（1，0）， ∴直线l：y=k（x﹣1）． 设点A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线l：y=k（x﹣1）与y2=4x，得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0， 则由韦达定理有：x1+x2=2+则弦长|AB|=∵k∈[1，2]， ∴
∈[1，4]，
•
，x1x2=1．
=4+
，
∴弦长|AB|的取值范围是[5，8]．
20．已知等差数列{an}中，a2=3，a5=9． （Ⅰ）求数列{an}的通项an和前n项和Sn； （Ⅱ）证明：命题“∀n∈N+，
【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．
【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项和求和； （Ⅱ）求得可得证．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d， 由a2=3，a5=9，可得a1+d=3，a1+4d=9，
_-_
”是真命题．
==（﹣），运用裂项相消求和，结合不等式的性质，即
_-_
解得a1=1，d=2，
则an=a1+（n﹣1）d=2n﹣1； 前n项和Sn=n（1+2n﹣1）=n2； （Ⅱ）证明：
=
=（
=（1﹣+﹣+…+
﹣
），
）
即有++…+）＜，
﹣
=（1﹣﹣
则命题“∀n∈N+，
”是真命题．
21．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点F为C1D1的中点，点E在CC1上，且CE=1．
（Ⅰ）证明：AE⊥平面A1BD； （Ⅱ）求二面角F﹣A1D﹣B的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AE⊥平面A1BD．
（Ⅱ）求出平面A1DF的法向量和平面A1BD的法向量，利用向量法能求出二面角F﹣A1D﹣B的余弦值． 【解答】证明：（Ⅰ）∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4， 点F为C1D1的中点，点E在CC1上，且CE=1，
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， A（2，0，0），E（0，2，1），A1（2，0，4），B（2，2，0），D（0，0，0）， =（﹣2，2，1），•
=0，
=（2，0，4）， =0，
=（2，2，0），
∴AE⊥DA1，AE⊥DB，
又DA1∩DB=D，∴AE⊥平面A1BD．
_-_
_-_
解：（Ⅱ）F（0，1，4），=（2，0，4），=（0，1，4），=（2，2，0），
设平面A1DF的法向量=（x，y，z）， 则
，取z=1，得=（8，﹣4，1），
设平面A1BD的法向量=（a，b，c）， 则
，取c=1，得=（﹣2，2，1），
设二面角F﹣A1D﹣B的平面角为θ， cosθ=
=
=
．
．
∴二面角F﹣A1D﹣B的余弦值为
22．已知椭圆
=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆的四个顶点相连得到的凸四边形的面积为12
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，P，Q是椭圆上不同于顶点的两个动点，且满足直线AP与直线BQ交于点M（﹣9，m），以PQ为直径作圆C，判断点A与圆C的位置关系，并说明理由．
_-_
_-_
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由离心率公式和四边形的面积公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）A（﹣3，0），B（3，0），M（﹣9，m），AM的方程为y=
（x+3），代入椭圆的方程8x2+9y2=72，
运用韦达定理，求得P的坐标，同理可得Q的坐标，运用向量AP，AQ的坐标，运用数量积的坐标表示，由符号即可得到A与圆C的位置关系．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==， •2a•2b=12a2﹣b2=c2，解得c=1，a=3，b=2即有椭圆的方程为
+
=1；
，
，
（Ⅱ）A（﹣3，0），B（3，0），M（﹣9，m）， AM的方程为y=
（x+3），代入椭圆的方程8x2+9y2=72，
可得（32+m2）x2+6m2x+9m2﹣288=0， 由﹣3xP=BM的方程为y=
，解得xP=
，yP=
，m≠0，
（x﹣3），代入椭圆的方程8x2+9y2=72，
可得x2﹣6m2x+9m2﹣1152=0， 由3xQ=
，解得xQ=
，yQ=
，
由=（，），=（，），
即有•==＜0，
即有∠PAQ为钝角，
即点A在以PQ为直径的圆C的内部．
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