如何判断矩阵的等价,相似,合同？

如何矩阵的等价，相似,合同?

(1）A与B等价：A可以经一系列初等变换得BPAQBr(A)r(B) （A,B同型，P,Q可逆。）判断等价只需同型且秩相等。 （2)A与B相似:P1APB,P可逆。

相似有四个必要条件:秩相同,特征值相同,特征多项式相同，行列式相同，如何判断两个一般的矩阵是否相似，考研大纲并不要求，但是如果A,B相似于相同的对角阵，则由相似关系有传递性知A,B相似。 （3)A与B合同(仅限于对称矩阵）：CTACB（C可逆）A与B的正负惯性指数相同.

判断合同前提都是实对称矩阵，然后判断正负特征值的个数是否完全相同，也即正负惯性指数相同即可。 注:A,B合同

A,B等价

A,B相似

1011A,B等价，例A等价但不相似 ,B0101A,B合同.

在A,B实对称的前提下，A,B相似

【例1】 判定下列矩阵哪些等价，哪些相似， 哪些合同?

111110100000A000,B001,C000,D011.

000000000011【解】先看等价：r(A)1,r(B)2,r(C)1,r(D)1，故A,C,D等价。

再看相似：r(A)r(C)r(D)1,r(B)2,排除B，考虑A,C,D,A,C的特征值为1,0,0，D的特征值为

2,0,0，从而排除D仅仅考虑A,C，A的特征值为1,0,0，且二重特征值0对应两个线性无关的特征向量,A相

100似于对角阵C000，从而A,C相似。

000最后看合同：合同仅限对称阵，仅仅考虑C,D,C的特征值为1,0,0，D的特征值为2,0,0,C的正惯性指数为1,负惯性指数为0，D的正惯性指数也为1,负惯性指数为0，C,D合同。

111300【例2】 判断A111,B000是否等价，相似，合同,？

111000【解】r(A)r(B)1，二者等价；

如何判断矩阵的等价,相似,合同？

300A为对称阵一定相似于对角阵B000；从而A一定合同于对角阵B. 000