半连续函数的性质与应用.

半连续函数的性质与应用.

摘 要

函数的种类极为复杂. 在函数论中, 连续函数的性质和应用占有相当重要的地位. 有一类函数虽然不连续, 但却具有一些与连续函数相近的性质, 即连续函数的一个推广——半连续函数. 从而得到了比连续函数更广泛的一类函数的性质.

通过对半连续函数的研究, 对半连续函数在数学分析中的应用奠定了理论基础. 首先简述连续函数的性质与应用, 之后重点讨论半连续函数的性质, 详细介绍运算性, 保号性, 以及拓扑空间上半连续函数性质定理. 推广到紧致空间中半连续函数的应用. 最后辨析连续函数与半连续函数性质、应用, 最终应用连续函数性质解决半连续函数的问题.实际上半连续函数理论在古典分析和现代分析中都有着较为广泛的应用. 比如在最优化问题、变分不等式问题、相补问题及对策论问题都有着举足轻重的作用.

关键词：半连续；连续；函数

Abstract

Category of function is very complicated. Characterization and application of continuous functions are very important in the function theory. Although a kind of function is also continuous, its characterization is similar with the continuous functions, which is called extension of the continuous functions semi-continuous functions, thus a kind of function with more winder characterization is obtained.

Through the study, half of the continuous function in the mathematical analysis continuous function which lay a theoretical foundation for the application. First, this paper expounds the nature of the continuous function and application, and then discusses the nature of the semi-continuous functions, detailed mathematical and application, introduced the number of topological space, and the first half of the continuous function theorem of generalized to nature. Tight space in the application of semi-continuous functions. Finally differentiate continuous function and semi-continuous functions properties, application, and finally application continuous function semi-continuous functions nature solution of the problem. Half a continuous function in the classical theory analysis and modern analysis has a wide range of applications. For example, in the most problems, variational inequalities, phase problems and countermeasures for the theory of and so on all has a pivotal role.

Key words: semi－continuous; continuous; functions;

目 录

摘要 ........................................................................................................................................... II

Abstract ................................................................................................................................... III

绪论 ............................................................................................................................................ 1第1章1.1 连续函数

2 连续函数的性2

质

连续函数的局部性质及应用 2

闭区间上连续函数的基本性质 3 一致连续性及其应用 4

7

第2章 半连续函数

2.1 上下半连续函数的性质 7

运算性质及应用 7 保号性及应用 8 无介值性 8

函数的界 8

9

保半连续性 10

2.2 拓扑空间上半连续函数的性质 12

运算性质及其应用 13 确界性质及其应用 14 紧致空间上的半连续函数 15 长度的半连续性 15 第3章 半连续函数的异同

17 3.1 半连续函数与连续函数的比较 17 3.2 半连续函数与连续函数区别 18 第4章 运用连续函数解决半连续函数问题 ..................................................................... 20 结论 .......................................................................................................................................... 22 参考文献 .................................................................................................................................. 23 致谢 .......................................................................................................................................... 24

绪 论

函数的种类极为繁多. 在函数论中, 连续函数和它的的性质占有相当重要的地位. 有一类函数虽然不连续, 但却具有一些与连续函数类似的性质. 这就是所谓半连续函数. 半连续函数理论在古典分析和现代分析中都有着较为广泛的应用. 上(下)半连续概念自提出以来已得到广泛应用, 例如最优化问题、变分不等式问题、相补问题及对策论问题等等. 并且通过对半连续函数性质的研究, 可以证得闭区间上半连续界的存在性. 半连续函数存在广泛的应用价值, 可将自变量的取值空间从一维延拓到一般的拓扑空间. 并对性质进行深入的研讨.

很多学者都在研究这类课题. 在国内, 张风、魏建刚于1999年6月《下半连续函数的逼近性质》中讨论了下半连续的广义实值函数, 通过Lipschitz函数逼近的基本性质, 并由此导出了实值函数的广义连续性定理. 刘丽波, 许洁, 崔晓梅, 蒋慧杰在2008年2月发表的《下半连续函数的充要条件》中主要针对下半连续函数在闭区间上充要性进行论证, 并且构造出半连续的阶梯函数. 在国外, Magassy OUSMANE,WU Cong-xin于2002年2月在《模糊实函数》中讨论了模糊半连续函数、半连续函数的逼近性.

函数的半连续性在广义函数论、积分论以及凸分析等很多学科中均有广泛应用. 关于半连续函数的定义, 在不同的集合上有不同的表述: 如文献[1]在距离空间中定义了半连续函数, 文献[2]在Banach空间中定义了半连续函数, 文献[3]给出了拓扑空间中半连续的定义, 其他方式的定义可参见文献[4-14], 但其本质都是相同的. 本文的第一部分简单论述连续函数的性质,第二部分再详细讲述半连续函数定义的基础上, 证明闭区间上的上半连续函数是有上界、下半连续函数是有下界的. 给出判定函数在闭区间上是上半连续的充要条件, 至于下半连续函数的情形也同样可仿照进行. 在拓扑空间上半连续函数的性质中介绍运算性质及确界性质. 给出这两种性质的应用. 并且对紧致空间中相应的理论进行介绍. 之后的第三章主要辨析连续函数与半连续函数性质、应用上的异同. 运用对比分析的方法来解决半连续问题中的难点. 最终把理论与实际相结合, 把半连续函数理论问题结合到人类日常生活实践中去, 更好的运用书本上的知识解决了日常中实际问题.

- 1 -

第1章 连续函数

函数的种类繁多, 而连续函数是高等数学中重点讨论的一类函数. 在人类生活的自然界中存在许多现象, 它们和连续函数有很大的关联. 例如温度的变化, 农作物的生长等都是连续地变化的, 这类现象在函数关系上的反映, 就是函数的连续性．

定义1.1[15](函数的连续性)

1．(定义) 0, 0, 使得, 当xx0时, 恒有

h(x)h(x0)

则称函数在点x0处连续．

2．若limh(x)h(x0), 则称h在点x0连续．

xx0例1.1 易知函数h(x)x2在点x0处是连续的, 因为

limh(x)lim(x2)2h(0)

x0x0

1.1 连续函数的性质

1.1.1 连续函数的局部性质及应用

如果函数f在点x0连续, 那么f在点x0处有极限, 而且其极限值与函数值f(x0)相等, 根据函数极限的性质能推断出函数f在U(x0)的性态．

定理1.1(局部有界性) 如果函数h在点x0处连续, 那么函数h在某U(x0)内有界． 证 设limh(x)=A, 取1, 则0, 使得对一切xU(x0;)有

xx0h(x)A1h(x)A1

这就证明了函数h在U(x0;)内有界．

定理1.2(局部保号性) 函数f在x0连续, 且有f(x0)0 (或f(x0)0), 则对任何正数rf(x0)(或rf(x0)), 存在某U(x0), 使得对一切xU(x0)有

f(x)r (或f(x)r)

1f(x0), 则当f(x0)0时, 在某U(x0), 2在具体应用局部保号性的时候, 可取r- 2 -

有f(x)1f(x0)成立． 2定理1.3(四则运算性) 若函数g和h在点x0连续, 则gh, gh, gh(这里

h(x0)0)也都在点x0连续．

以上两个性质的证明, 都可以由函数极限有关定理推得.

定理1.4(复合函数的连续性) 连续函数的复合函数是连续的. 即函数f在点x0处连续, h在点u0处连续, u0f(x0)则复合函数hf在点x0处是连续的.

证 由于h在u0连续知, 0, 10, 当uu01时有

h(u)h(u0) (1-1)

又因为u0f(x0), 以及uf(x)在点x0连续, 所以对10, 0, 使得当

xx0, 有uu0f(x)f(x0)1, 由(1-1)得: 0, 0, 当

xx0时有

h(f(x))h(f(x0))

因而, 得出hf在点x0连续．

例1.2 求limcos(1x2)．

x1解 cos(1x2)可以看作是函数g(u)cosu与f(x)1x2的复合．得

limcos(1x2)cos(lim(1x2))cos01

x1x1 闭区间上连续函数的基本性质

定理1.5(函数在闭区间上最大、最小值) 如果函数h在闭区间[a,b]上连续, 那么存在h在[a,b]上有最大值与最小值．

证 因为函数h在[a,b]上有界, 由确界原理可以得到, h的值域h([a,b])有上确界, 记作M．

下证[a,b]使h()M, 倘若对于一切x[a,b]有h(x)M成立, 令

g(x)1, x[a,b]. 又知道函数g在[a,b]上连续, 因而g在[a,b]上有上界.

Mh(x)1G, x[a,b]

Mh(x)假设:G是g的一个上界, 则存在

0g(x)推出h(x)M1, x[a,b], 这与M为h([a,b])的上确界 (最小上界) 相矛盾, G所以[a,b]使得h()M. 即h在[a,b]上有最大值．同理可以得到h在[a,b]上有最

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小值．

推论1.2(有界性定理) 若函数f在闭区间[a,b]上连续, 则有f在[a,b]上有最大值与最小值．

定理1.6(介值性定理) 如果函数f在闭区间[a,b]上连续. 而且还有f(a)f(b), 假设u为介于f(a)与f(b)之间的任何实数(f(a)uf(b)或f(a)uf(b))，那么至少存在点x0(a,b)使得f(x0)u.

例题 1.3 证明:如果有r0, n为正整数, 那么存在唯一正数x0, 使得

nx0r(x0称为r的n次正根)即算数根, 记作x0nr．

证 存在性, 当x时有xn, 因而存在正数a使得anr, 因为

f(x)xn在[0,a]上连续, 而且有f(0)rf(a), 故由介值性定理至少存在一点

nx0(0,a), 使得f(x0)x0r.

唯一性 设正数x, 使x1nr有

nn1n2x0x1n(x0x1)(x0x0x1n1)0

n1n2因(x0x0x1x1n1)0，故x0x10，即x1x0.

一致连续性及其应用

定义1.4 若函数h定义在区间I上, 对0, ()0, 使得x',

x''I, 只要x'x'', 有

h(x')h(x'')

则称函数h在区间I上一致连续．

定理1.7(一致连续性定理) 如果函数h在闭区间[a,b]上连续, 那么有函数h在

[a,b]上一致连续．

例1.4 假设区间I1的右端点为c, cI1, 区间I2的左端点也为c, cI2 (I1,I2可分别为有限或无限区间) 按一致连续性的定义. 证明:如果函数h分别在I1和I2上一致连续, 那么函数h在II1I2上也一致连续．

证 0, 由于函数h在I1和I2上的一致连续性, 10, 20使得x',

x''I1, 只要x'x''1, 就有

h(x')h(x'')

x', x''I1, 只要x'x''2, 就有

h(x')h(x'')

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点xc作I1的右端点, 函数h在点c为左连续, 作I2的左端点, 函数h在点c为右连续, 所以函数h在点c连续, 因而对0, 30当xc3时有

h(x)h(c)2

令min(1,2,3), x', x''I, x'x'', 对 1．x', x''同时属于I1或同时属于I2, 则h(x')h(x'')成立 2．x', x''分别属于I1与I2, 设x'I1, x''I2则

x'ccx'x''x'3

因而由h(x)h(c)2得h(x')h(c)2, 同理得到h(x'')h(c)2从而

h(x')h(x'')成立, 得出函数h在I上一致连续.

例题1.5 证明:在区间(a,b)上有穷个一致连续函数的和与它们的乘积在此区间内仍是一致连续的．

证 由有穷个函数相加成或相乘可逐次分解成两个函数相加或相乘, 因而, 假设

h(x)与g(x)都在区间(a,b)上一致连续, 0, 由h(x)在(a,b)上一致连续,

10使(a,b)中x'与x'', 当x'x''1时, 有

h(x')h(x'')2

又因为g(x)在(a,b)上一致连续, 20, 使得(a,b)中, x'与x''当x'x''2时, 有

g(x')g(x'')2

令min{1,2}当x'x''（x'与x''为(a,b)中任何两点)时, 有

[h(x')g(x')][h(x'')g(x'')]h(x')h(x'')g(x')g(x'')22

因而得到g(x)h(x)在(a,b)上是一致连续的．

性质1.5 如果函数F(x)在有限区间(a,b)上是一致连续的, 那么函数F(x)在(a,b)上必有界．

证 0, 0, 使得(a,b)中x', x'', 当x'x''时, 有

F(x')F(x'')

当ax'a, ax''a时, 有F(x')F(x'')；

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当bx'b, bx''时, 有F(x')F(x''), 因此, 根据柯西收敛准则, 得知F(a0)limF(x)与F(b0)limF(x)存在．

xa0xb0例题1.6 在闭区间[a,b]上定义函数F(x):

F(x)axbF(x)F(a0)xa

F(b0)xb因而F(x)在闭区间[a,b]上连续, 从而有界, 因此F(x)在区间(a,b)上有界． 性质1.6 如果函数h(x)与g(x)在区间(a,b)上一致连续，那么h(x)g(x)在(a,b)上也是一致连续的.

证 L0, M0, 使得

h(x)L, g(x)M (axb)

0, 根据h(x)与g(x)在区间(a,b)上的一致连续性, 取0, 对区间(a,b)中的x'与x'', 当x'x''时, 有

h(x')h(x'')2M, g(x')g(x'')2L

得

h(x')g(x')h(x'')g(x'')[h(x')h(x'')]g(x')h(x'')[g(x')g(x'')]

2MM2LL

因而得到h(x)g(x)在区间(a,b)上是一致连续的．

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第2章 半连续函数

半连续函数是连续函数的拓展, 它弱于连续函数, 实际应用较为广泛, 本章研究半连续函数的概念与性质. 在此基础上, 对连续函数的性质与半连续函数的性质进行比较分析.

首先用“”语言来叙述半连续函数的定义．

定义2.1 0, 0, 当xx0时, 有h(x)h(x0), 则称函数h(x)在点x0处上半连续．

0, 0, 当xx0时, 有h(x)h(x0), 则称函数h(x)在点x0处下半连续．

由定义知道, 函数h(x)在点x0处连续的充要条件, 是函数h(x)在点x0处同时上、下半连续．

例2.1 假设函数fy是从R到R的, fy(0)0, 而对于x0, fy(x)xn对于所有的偶整数y, fy在点0是下半连续的, 对于所有的奇整数y, fy在点0既不是下半连续的也不是上半连续的．

2.1 上下半连续函数的性质

2.1.1 运算性质及应用

性质2.1 如果在闭区间[a,b]上, 函数g(x), h(x)上（下)半连续, 那么它们的和

g(x)h(x)也在闭区间[a,b]上上（下)半连续．

性质2.2 如果在闭区间[a,b]上, 函数h(x)和g(x)0上半连续(或h(x)和g(x)0, 且下半连续), 它们的积g(x)h(x)在闭区间[a,b]上为上半连续的, 如果h(x)0上（下）半连续, g(x)0为下（上半连续）, 那么g(x)h(x)下（上)半连续．

性质2.3 如果在闭区间[a,b]上, 函数g(x)0上（下）半连续, 那么间[a,b]上下（上)半连续．

1在闭区g(x)- 7 -

性质2.4 如果函数g(x)在x0处上半连续, 而且有g(x0)0, 0, 使得

x(x0,x0)时有g(x)0．

如果函数g(x)在点x0处下半连续, 而且还有g(x0)0, 那么0, 使得

x(x0,x0)时, g(x)0．

性质2.5 如果函数h(x)在闭区间[a,b]上, 上 (下) 半连续, 那么有

1．函数h(x)在闭区间[a,b]上有上 (下) 界, 即M0使得x[a,b]时, 有

h(x)M．

2．函数h(x)在闭区间[a,b]上能达到其上 (下) 确界．即x0[a,b], 使得

h(x0)sup{h(x):x[a,b]}

证 1．应用用半连续的定义证明性质2.1, 因为函数h(x), g(x)都是上半连续的,

x0[a,b], 0, 0当xx0, x[a,b]时有

h(x)h(x0)2, g(x)g(x0)2

所以h(x)g(x)h(x0)g(x0), 因而得出h(x)g(x)在闭区间[a,b]上上半连续． 2．应用上半连续的等价描述性质2.1, 因为函数g(x), h(x)在闭区间[a,b]上上半连续, 故x0[a,b]时

xx0limh(x)h(x0), limg(x)g(x0)

xx0又因为

xx0lim(h(x)g(x))limh(x)limg(x)

xx0xx0 h(x0)g(x0)

所以得出函数h(x)g(x)在闭区间[a,b]上上半连续．

2.1.2 保号性及应用

定理2.2(上半连续函数的局部保负性) 即是如果函数g(x)在点x0处上半连续,

g(x0)0, 那么0, 使得x(x0,x0)时有g(x)0. 同理可得下半连续具有局部保正性．

2.1.3 无介值性

半连续函数, 介值性定理不成立．

11,当0x2例2.2 设g(x)在闭区间[0,1]上, 函数g(x)是上半连续的, 但是

10,当x12- 8 -

a(0,1)(g(1),g(0))没有x(0,1)使得g(x)a．

2.1.4 函数的界

定理2.3 有界闭区间上的上半连续函数必有上界, 并且能达到上确界. 也就是说: 如果函数g(x)在闭区间[a,b]上上半连续, 那么

1．函数g(x)在闭区间[a,b]有上界, 即M0, 对x[a,b]存在, g(x)M． 2. 函数g(x)可以在闭区间[a,b]上达到上确界, 即x0[a,b], 使得

g(x0)sup(g(x))存在．

x[a,b]证1. 应用反证法, 假设函数g(x)在闭区间[a,b]上无界, xn[a,b], 使

g(xn)n(n1,2)由致密性原理, 在{xn}中存在收敛的子序列{xnk}, 使得xnkx0 (当k)．又因为[a,b]为闭区间, 因而有x0[a,b], 但是g(xnk)nk, 当k时, g(xnk), 所以得到limg(x)． 但是函数g(x)在闭区间[a,b]上上半连续,

xx0有limg(x)g(x0), 推得g(x0)与题意相互矛盾．

xx0因为函数g(x)有上界, supg(x)M, 如果函数g(x)在闭区间[a,b]上达不

xE到上确界, 那么x[a,b], g(x)M, Mg(x)0, 所以得到

[a,b]上上半连续, 从而有上界, M'0, 使得x[a,b]有g(x)M1在闭区间

Mg(x)1M'因而得出

Mg(x)1, 这与Msupg(x)相互矛盾． M'xEx[a,b]2．假设supg(x)g(x0)M．

由supg(x)得到, x0[a,b], 使得M为函数g(x)在点x0处的子极限, 因为函

x[a,b]数g上半连续, 得g(x0)limg(x)M．推出Mg(x0)．利用有限覆盖定理可以证明

xx0结论．

xr[a,b], UOxr(xrr,xrr), 使得g(x)g(xr)1 (xOr)．

从闭区间[a,b]的开覆盖{Oxr|xr[a,b]}中可以造出有限个子覆盖{Oxi}in1于是得到

Mmax{g(xi)1|i1,2,,n}为函数f(x)在闭区间[a,b]上的界．

2.1.5 内闭区间上有界

性质2.3 如果函数g(x)在区间(a,b)内上(或下)半连续, 那么必然存在内闭区间

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[,][a,b]．使得函数g(x)在[,]区间上保持有界．

证 设函数g(x)在区间(a,b)内下半连续, 设 [,][a,b]函数g(x)在闭区间

[,]上无界, 得到

1．x1(a,b)有g(x1)1, 因为函数g(x)下半连续, 11使得

1[x11,x12](a,b)

并且x1有g(x)1．

2．因为函数g(x)在任何闭区间上无上界, 所以对1, x2使得g(x2)2, 又因为函数g(x)的下半连续性, 20, 使得

x2[x22,x22]

时, 有g(x)2．

3．以此类推得到12n区间长度为n2时) 而且在每个区间n上, 恒有g(x)n．

4．根据区间套定理得知, n(n1,2,), 因而f()n(n1,2,),因此

f()与题意相互矛盾. 推理可知, 连续函数单调序列的极限不一定是连续的．

20 (当nn2例2.4 fy(x)xn在区间[0,1]上连续, 当y增加时单调递减有极限

1,x1时 f(x)0,0x1时但函数f(x)在区间[0,1]上不连续．

2.1.6 保半连续性

性质2.4 假设函数fy(x)在E上是有定义的, 并且是上半连续函数, 那么就有

fy(x)f(x)(y1,2,), xE, 有

f1(x)f2(x)fy(x)fy1(x)

limfy(x)f(x), 则f(x)在E上上半连续．(表示从下方趋近, 表示从上方趋近).

x0证 1．x0E, 应为有f(x0)limfy(x0), 所以0, 0, 当nN时,

n有fy(x0)f(x0)

2．设y是固定的, 因为函数fy(x)在E上上半连续, 0, 当xE时有

xx0时有fy(x)f(x0)

3．fy(x)f(x), f(x)fy(x), 因而有f(x)f(x0)得出函数f(x)在E上上半连续．

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注记2.5 如果函数序列{fy(x)}在区间[a,b]上有定义, 那么每个fy都连续, 则在闭区间[a,b]上有

1．当fy(x)f(x)时, 函数f(x)上半连续； 2．当fy(x)f(x)时, 函数f(x)下半连续．

定理2.6 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义,那么上半连续, 则存在一个递减的连续函数序列

f1(x)f2(x)fy(x)

得limfy(x)f(x)．

y注记2.6 上半连续函数, 总可以用连续函数从上方逼近．

证 (构造函数fy(x)) 对于固定的点x与y, 函数yx'x是x'的连续函数, 所以上半连续, 已知函数f(x')是上半连续的,f(x')yx'x是x'的上半连续函数, 从而得到在闭区间[a,b]上有上界, 并且达到上确界．

即x[a,b]使得

{f(x')yx'x} f(x)yxxmax'x[a,b]'''x令fy(x)max．（证明函数连续)由上式得到 {f(x)yxx}[a,b], f(x)y'x[a,b]fy(x)f(x)yxxf(x')yx'x得到

fy(x)f(xn(x'))yxn(x')x

f(xn(x'))yxn(x')x'yx'x

fy(x')yx'x

得到fy(x')fy(x)yx'x. 此时对于x', x[a,b]都成立, x'与x互换也同时成立, 因而得出

fy(x')fy(x)yx'x

表明函数fy(x)在闭区间[a,b]上连续．

如果要证得函数fy(x), 假设mn则有

fy(x)f(xm(x))yxm(x)x f(xm(x))mxm(x)xfm(x)

因而得到fy(x)．

- 11 -

序列{fy(x)}有下界的证明, 固定的x在

fy(x)=f(x)yxxf(x')yx'x

中令x'x, 得到fy(x)f(x), 故而x[a,b], {fy(x)}有下界．因而得到

g(x)limfy(x)存在, 并且有fy(x)f(x)．

y

如果要证得g(x)f(x), 因为函数f(x)上半连续, 0, 0, 当

x'[a,b], x'x时有f(x')f(x)又因为函数f(x)上半连续, 因而在闭区间

[a,b]上上有界, 因此对于固定的x, 当x时, 有xn(x)x因为

fy(x)f[xy(x)]yxy(x)x

如果有x, 则的邻域使得(x,x)xxx11yyk(x)在此邻域之外, 但是函数

f(x)在闭区间[a,b]上有上界, 即得M0, 使得f(x)M, 因此有

fyk(x)f[xyk(x)]ykxyk(x)x

Mnyxyk(x)xMyk1

与fy(x)g(x), (n时) 相互矛盾．

'得到N0, 当nN时, 有xxy(x), 于是由f(x)f(x)得到

f(xy(x))f(x), 但是

fy(x)f(xy(x))yxy(x)xf(xy(x))

有fy(x)f(x), 令n取极限, 得g(x)f(x), 由0, 知道

g(x)f(x), 得出g(x)f(x)．

2.2 拓扑空间上半连续函数的性质

关于半连续函数的定义, 在不同的集合上有不同的表述, 但是其中的本质是相同的, 我们用X表示拓扑空间, R表示实直线, N表示自然数集, u(x0)表示点x0的开邻域, U表示X0的开邻域, {xn}nN或{xn}表示X中的序列, 表示空集, A表示集合A的内部．

定义2.7 设X是一个拓扑空间, 函数g:XR, x0X．

1．如果函数g(x)在点x0处是上半连续的, 那么0, Uu0使得xU, 恒有g(x)g(x0)；

2．如果函数g(x)在点x0处是下半连续的, 那么0, Uu0使得xU,

- 12 -

恒有g(x)g(x0)；

3．如果函数g(x)在点x0处是连续的, 那么0, Uu0使得xU, 恒有

g(x)g(x0)；

4．如果函数g(x)是上（下）半连续的, 那么在X上每一点是上（下）半连续． 从而函数g(x)在点x0处连续, 当且仅当函数g(x)在点x0处既是上半连续的又是下半连续的．

性质 2.7 拓扑空间中的一个集合成为G集, 则它是这个空间中的可数个开集的交．

推论2.7 假设X是一个拓扑空间, 函数f:XR, x0X则有①函数f是上半连续的；②aR, f1(,a)开于X（f1(a,)开于X）；③aR, f1[a,)闭于X (f1(,a]闭于X)．

2.2.1 运算性质及其应用

运算性质的基本性质是, 实直线上半连续函数的形式在图谱空间中的推广． 定理2.8 设X为拓扑空间, g:XR,h:XR

1．如果函数g(x), h(x)均是上、下半连续的, 那么它们的和g(x)h(x)上 (下) 半连续；

2．如果函数g(x)上 (下) 半连续, 那么有函数g(x)0, 则续；

3．如果函数g(x)上 (下) 半连续, 那么函数g(x)为下 (上) 半连续． 证明：对2上半连续进行证明, 下半连续的情况同理可以证明．1与2应用实直线上半连续函数的证明可以得到, 这里就不予以证明．

证 x0X, (0,1), 又因为函数g(x)在点x0处是上半连续的, 则f(x0)1为下 (上) 半连g(x)g2(x0)0) 因为有Uu0使得xU, 恒有g(x)g(x0), (其中11g(x0)g(x)0, xU, 有

11g(x)g(x)11g2(x0)g(x0)1g(x0)1 g(x0)由于x0X, 得到

1在X上是下半连续的． g(x)例 2.8[16] 设X为拓扑空间, g:XR, h:XR

- 13 -

1．如果函数g(x), h(x), 均是上(下)半连续, 而且有g(x)h(x)0 (xX), 则存在g(x)h(x)在X上是上半连续的；

2．如果函数g(x)上半连续, 有g(x)0, 但是h(x)是下半连续, 有h(x)0, 那么存在g(x)h(x)在X上是下半连续的；

3．如果函数g(x)是下半连续的, g(x)0, h(x)是上半连续的, h(x)0, 使得

g(x)h(x)在X上为上半连续．

x0X, 证1． 因为函数g(x)h(x)0, 假设函数g(x)0, 并且有函数h(x)0；

0因为函数g(x), h(x)在X上均是上半连续的, Uu(x), 使得xU有

0g(x)g(x0)0, 0h(x)h(x0)0

其中

0因而得到

[g(x0)h(x0)](g(x0)h(x0))2420

g(x)h(x)(g(x0)0)(h(x0)0)g(x0)h(x0)

g(x)h(x)在X上均是上半连续．

2．x0X, 0, Uu(x0), xU有

0g(x)g(x0)0, h(x0)0h(x)0

0则有

h(x0)g(x0)(h(x0)g(x0))2420

g(x)h(x)(g(x0)0)(h(x0)0)g(x0)h(x0)

从而得到g(x)h(x)在X上是下半连续的．

3．x0X, 因为有g(x0)0, h(x)0, 则存在

g(x0)h(x0)0,  (01(g(x0)h(x0))) 2由于函数g的下半连续性与函数h的上半连续性, Uu(x0)使得xU有

g(x)g(x0)0, h(x)h(x0)0

0h(x0)g(x0)(h(x0)g(x0))2420

2.2.2 确界性质及其应用

定理2.9[17] 设S是一族从X到R的实值函数

1．如果每一个hS在X上是上半连续的, 那么f(x)inf{h(x)|hS}在X上是上

- 14 -

半连续的；

2．如果每一个hS在X上是下半连续的, 那么函数g(x)sup{h(x)|hS}在X上是下半连续的．

证 1．因为f1([a,)){xX:f(x)a}；h1([a,)){xX:h(x)a}则有

hSh1([a,)){xX:h(x)a,hS}

又因为x0h1([a,)), hS恒有h(x0)a, 则有

hSf(x0)inf{h(x0)|hS}a

因此得到x0f1([a,))．x0f1([a,)), 有f(x0)a, 则有

f(x0)inf{h(x0)|hS}a

所以hS有h(x0)a, 即是x0h1([a,)), 从而得出

hSg1([a,])h1([a,))

hS所以证得函数f是上半连续的．

因为hS都是上半连续的, aR, 有h1([a,))闭于X, 故而得到

hSh1([a,))f1([a,))闭于X, 进而得到函数f是上半连续的．

2.2.3 紧致空间上的半连续函数

定理2.10 对于所有从一个紧致空间E到R内的下半连续的映射f, 至少存在E的一个点a, 使得f(a)inff(x). 事实上, 令minff(x)．对于所有的m, 使得

xExEf(x)的x的集合E是闭集, 并且是非空的．另外, E的族对于包含关系是全序的,

这是由于E是的递增函数, 因为E的交集不是空集．在这个交集任意取一个点a, 对于所有的m, 有f(a), 因而f(a)．另外, 由于m的定义, 有fm, 故

f(a)m．

推论2.10 总有从一个紧致空间E到(,]内的下半连续的映射在E上是有下界的．

事实上, 我们有mf(a)．对于上半连续的函数有类似的结论．如果我们应用这些结果到连续函数, 就重新得到原先的断言：紧致空间上的连续函数取到下确界和上确界的结论．

下一节就研究这些结论对于变分法的一个重要应用．

2.2.4 长度的半连续性

一条曲线的长度是这条曲线的函数；当曲线在我们就要明确的意义下连续变动时,

- 15 -

人们可能期待它的长度也连续地变化. 其实根本不是这样. 像下面的初等例子所表明的那样：

设Cn是方程为yn1sinnx(0x,nN)的平面曲线. 立即得到所有这些曲线有同样的长度, 这是一个数l. 而当n时, 这些曲线一致收敛到线段[0,]. 因而这个一致收敛不蕴含长度的收敛．

可以修改这个例子, 而用任何大于等于的数代替l. 但是值得注意的是不能用一个小于的数代替l.

换句话说, 收敛到线段[0,]的曲线长度的下极限等于. 这正是下半连续性, 我们精确的表述这个事实．

参数化曲线空间:设T是R的一个紧致区间, E是一个距离空间. 根据前面的定义, 所有从T到E内的连续映射定义一条参数化曲线, 于是可以考虑从T到E内的连续映射的集合(T,E)作为T上的E的参数化曲线的集合. 取与由

d(f,g)supd(f(t),g(t))

tT定义的一致收敛的与这个距离关联的拓扑作为(T,E)上的拓扑．

对于f(T,E), 用L(f)表示由f定义的曲线的长度. 我们有了一个定义在拓扑空间(T,E)上的数值函数．

定理2.11 长度L(f)是(T,E)的f的下半连续函数．

证 对于T的所有有限子集{t1,t2,,tn}, 其中t1t2tn, 对于所有

f(T,E)．令

V(f)d(f(ti),f(ti1))

i对于所有aT, 从(T,E)到E内的映射ff(a)是连续的, 于是对于所有, 映射

fV(f)是连续的．

推论2.11 从(T,E)到R内的映射f (f的全变差) 是下半连续的．

对于变分法的应用：单变量变分法的问题直译是在给定的曲线集合里求一条曲线, 其长度是最小的．

- 16 -



第3章 半连续函数的异同

3.1 半连续函数与连续函数的比较

半连续函数与连续函数联系非常的紧密. 正如上面所提到的, 实际上半连续函数就是连续函数的拓展所形成的, 它们具体有多少联系我们举例来说明．

例3.1 如果函数g(x)在闭区间[a,b]上(下)半连续, 那么函数g(x)在[a,b]上有上(下)界．

证 假设函数g(x)在闭区间[a,b]上半连续但没有上界, 由假设得到, 存在一数列

{xn}[a,b]得g(xn)n(n1,2,), 因为{xn}为有界数列, 必有收敛的子数列{xnk}．

设limxnkA因为axnkb(k1,2)有A[a,b], 从而函数g(x)在A点上半连

k续．

由定义, 1, 00, 当xA0 (x[a,b]) 有g(x)g(A)1 又因为limxnkA对于00, kK时有xnkA0, 从而当kK时有

knkg(xnk)g(A)1 (kK)

即nkg(A)1 (kK), 它与题意矛盾, 因而上半连续函数在闭区间[a,b]上有上界．

同理证得函数g(x)在闭区间[a,b]上(下)半连续有下界. 进而得出上 (下) 半连续函数不仅有界, 而且还能达到上 (下) 确界．

例3.2 如果函数g(x)在闭区间[a,b]上上半连续, 那么在x0[a,b]使得

g(x0)supg(x)．

x[a,b]证 假设函数g(x)在闭区间[a,b]上取不到上确界A, 即对x[a,b],

Ag(x)0, 令G(x)1, x[a,b]. 因为函数g(x)在闭区间[a,b]上上半连

Ag(x)续, 0, 0, 使得当xx0时, 有g(x)g(x0) (x0[a,b]) ，即

A11111a, 得到为下半连续函数, 因而函数

G(x)G(x)G(x0)G(x)G(x0)- 17 -

G(x)上半连续, 所以函数G(x)在闭区间[a,b]上有界, 设B为函数G(x)的一个上界,

有0G(x)1B, 得到

Ag(x)g(x)A1 (x[a,b]) B与Asupg(x)相互矛盾, 因而结论成立. 同理得到：下半连续函数在闭区间[a,b]上必

x[a,b]能取到下确界．

3.2 半连续函数与连续函数区别

两个连续函数的和仍然是连续函数, 但是两个半连续函数的和不一定是半连续函数．

反例3.3 假设

1x01x0f(x)3x0, g(x)3x0

1x01x0得到函数f(x)处处上半连续, 而g(x)处处下半连续, 但是f(x)g(x)在点x0处是不连续的．

反例3.4 假设

4pp31xq为奇数xq为奇数qqqqp3p4xq为偶数 f(x)2xq为偶数, g(x)1qqqq2x为无理数2x为无理数3p1xq为奇数qqpp3h(x)3xq为偶数 (为既约分数)

qqq3x为无理数f(x)、g(x)、h(x)都是处处半连续的, 但是

- 18 -

4p2xq为奇数qq4pf(x)g(x)h(x)2xq为偶数

qq0x为无理数是无处半连续的．

设{fy(x)}为闭区间[a,b]上对y来说的单调不增的上半连续函数列且有下界, 则

limfy(x)f(x)存在且函数f(x)在闭区间[a,b]上上半连续．

y证 因为{fy(x)}是对y来说的单调不增且有下界的函数列, 从而limfy(x)f(x)y存在．

证明 函数f(x)在闭区间[a,b]上连续.

证 假设函数f(x)不是上半连续的, 则x0[a,b]及收敛于点x0的数列{xn}使得

limf(xn)f(x0)limfy(x0)

ny当y充分大时有limf(xn)fy(x0)又由于fy(xn)f(xn)得到

nnlimfy(xn)limf(xn)fy(x0)

nnlimfy(xn)fy(x0)

这与fy(x)上半连续相互矛盾. 因而函数f(x)在闭区间[a,b]上上半连续．

同理得到, 如果函数fy(x)是闭区间[a,b]上对y来说的单调非减的下半连续函数列而且有上界, 那么limfy(x)f(x)存在, 并且函数f(x)在闭区间[a,b]上下半连

y续．半连续的这一个性质是连续函数所没有的, 就是说单调有界连续的函数列的极限函数未必是连续的．

假设fy(x)x, x[0,1]

因为函数fy(x)在区间[0,1]上连续, 单调有界, fy(x)的极限函数为

1x1 fy(x)limfy(x)y00x1所以函数f(x)在区间[0,1]上不是连续函数．

2x为有理数假设函数g(x)在所有有理点为上半连续, 在所有的无理点为下

2x为无理数半连续, 但是函数g(x)处处不连续 (只要把2与-2改写成一相同数值, 函数g(x)变为在有理数与无理数上处处连续)．

- 19 -

第4章 运用连续函数解决半连续函数问题

在我们所学习的教材中连续函数章节提到过黎曼函数, 那是我们初学函数时, 证明过程比较简单. 现在我就用连续函数的性质进行拓展, 进而去解决半连续函数上黎曼函数的证明．

p1x,p、q为既约分数,q0qRiemann 函数 R(x)q在无理点处, 既是上半

0x为无理数连续又是下半连续, 在有理点时上半连续, 但不下半连续 (函数f(x)在某点x0处连续的充分必要条件是函数f(x)在点x0处同时上、下半连续)．

假设(0,1)为无理数, 0, 满足

1的正整数q, 显然只有有限个 (但至q少有一个, 例q2), 从而使R(x)的有理数x(0,1)只有有限个 (至少有一个, 例

1), 设为x1,x2,xn取 2min(x1,,xn,,1)

则对xU(;)((0,1)), 当x为有理数时, 有R(x)；当x为无理数时R(x)0．于是xU(;)有

R(x)R()R(x)

证明了R(x)在无理点处连续, 即在此点处既是上半连续又是下半连续．

同理设

p1p为(0,1)内任意有理数, 取0, N, 在U(;)内, q2qqx(0,1), 使得

p1R(x)R()0

qq- 20 -

因此在有理点处上半连续, 而非下半连续的．

我们可以自己构造下半连续函数．半连续函数至少像连续函数一样接近于我们的感觉经验．下面例举一个实例, 已便于我们理解．

当我们注视不透明的物体时, 在所有从我们的眼睛出发的任意半直线上, 仅能看到此物体的单独一个点, 这个点到我们眼睛的距离是这条半直线的方向函数. 这个函数不是连续的, 而是下半连续的, 只要我们认为所观察的物体是一个闭集．

事实上, 给定一个拓扑空间E, 设A是乘积空间ER的一个闭子集. 对于所有

xE, 设fA(x)是横坐标为x的A的点的纵坐标的下确界, 这个例子可以试用到E上

所有下半连续的函数的证明.

- 21 -

结 论

半连续函数是连续函数的拓展, 它弱于连续函数. 对半连续函数的问题的解决, 通过研究连续函数的性质与应用的方法，去剖析半连续函数的性质及其应用问题.

本文是从R上连续函数的定义着手, 进而讨论在不同空间中的半连续函数,文献[4-14]对拓扑空间上半连续函数运算性、确界性的性质定理进行阐述.

文章首先是简单介绍连续函数理论, 在实数集中是分层叙述半连续函数的运算性、保号性、无介值性、界的存在性理论问题，但是本文在研究实数集理论, 又通过对文献[4-14]的研究在拓扑空间上半连续函数, 运算性、确界性的应用得以证明, 而对紧致空间上半连续函数简介, 将其应用到长度的半连续性, 达到本文的升华. 在第三章中就是对连续函数与半连续函数的总结, 运用举例证明, 进行对比分析, 明晰连续函数与半连续函数的差异, 解决问题.

最后运用我们熟知黎曼函数在无理点时既是上半连续又是下半连续, 但是在有理点处运用连续性质理论, 以及半连续性质定理, 得出了黎曼函数在有理点处上半连续, 而非下半连续的结论.

半连续函数性质定理是固定的. 但是半连续函数在我们生活与实践中的应用却是随处可见. 就如文中所提的实例中的情况而言, 对于半连续问题是我们知识积累过少, 在实际的生活上应用不能得心应手. 因此在以后进一步的研究中, 应该熟知理论与实际的结合, 最大程度的发挥理论与实践集合理论, 把数学知识运用到生活中去. 对于半连续函数在生活中的理论研究会进一步在社会时间中得到拓展.

- 22 -

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- 23 -

119.

致 谢

我要深深感谢的是我的指导老师王焱老师. 本文从最初的选题、酝酿构造,直到最后的修改、定稿始终得到我的导师的悉心指导和帮助. - 24 -