XUEZI发展数学表征，提升解题能力
安淑华博士在谈及美国数学教学的特征时，曾经用了“应用”“解释”“理解”“建模”“表征”“沟通”等关键词。在这些关键词中，我认为“表征”是重中之重，因为“表征”是“理解”的润滑剂，是促进“建模”的催化剂，是“应用”强化剂。回顾我们的日常教学天平上，似乎更多地偏重于“应用”，期待孩子们达到“熟能生巧”的境界，在刷题的背后，我们也收到了些许“安慰”。教学的天平真的就平衡了吗？要想平衡，我认为孩子们的“理解”和“应用”在分量上应该稍作调整，同时它们之间还需要互相联系，而“模型”就是它们的连接点和关键点。下面，我就结合一些教学实践谈一谈我对数学表征的理解，以及借用“表征”，实现“理解”——“建模”——“应用”的三连击的思考与探索。
一、“表征”是润滑剂，通过“解释”促进“理解”首先，孩子们在数学学习中，要有使用“表征”的意识。表征，原是认知心理学的术语，指“信息在头脑中的呈现方式。它既是客观事物的反映，还是被加工的客体。”将表征同数学学习结合在一起，就是将数学知识通过加工，将知识的特征解释明白，并将文字化的语言表述成易于孩子们理解与接受的形式，从而促进孩子们理解数学知识，因此，“表征”是数学学习的重要环节、首要环节，只有会“表征”，孩子们才能会学数学。
其次，孩子们在数学学习中，要有使用“表征”的方法。《美国数学教师教学表征对学生数学学习的影响》一书中指出“实际生活、教学模型、图片、口语和书面语言5种不同的知识表征方式”。这五种不同的表征方法，好像五条不同的解决问题的路径。
比如五上《解决问题的策略——列举》单元教学后，孩子们都会遇到这样一道题：张三、李四、王二、赵大四人久别重逢，四人站成一排照相，问有多少种站法。面对这样的问题，不少孩子就开始了“表征”，有些孩子是从口语和书面语言的符号表征开始的，将四个人分别命名为A、B、C、D，A站在第一个的有6种情况，分别是ABCD、ABDC、ACBD、ACDB、ADBC、ADCB，同样以B、C、D为第一个的也分别是6种，于是共有24种站法。
由此看来，采用表征，可以激发孩子们积极输入信息、转码成适合他们学习的有效形式。从中，大大地提高孩子们解释问题、理解问题的能力，接近问题的本质，本质抓住了，问题也就迎刃而解了。因此，“表征”是促进学生理解数学知识及问题的润滑剂，疏通的过程使思路更加畅通。
二、“表征”是催化剂，通过“沟通”达成“建模”表征，除了可以帮助孩子们理解知识之外，更重要的是许建光
在理解基础之上，完成知识的构建形成模型，帮助解题。因此，表征就是催化剂，是催生“模型”的重要方法。
比如，上例的解决方法中，也有些孩子采用模型表征，将四个站位演变成四空模型。第一站位的有4种情况，第二站位的有3个人可供选择，第三站位的有2个人可供选择，第四站位的只有1个人选择，因为是分步骤进行的，所以列出算式4×3×2×1=24种。如果我们将上例稍作改编，这种模型表征的优势就更为突出了：A、B、C、D四个人站成一排照相，要求 （1）A站边 （2）A、B都站边 （3）A或B站边 （4）A和B都不站边，各有多少种站法。这里，可以继续沿用上面的符号表征和模型表征，问题（1）A站在边上，用符号列举共12种；用模型表征思考即3×2×1×2=12种。问题（2）A站在左边，B站在右边，共有ACDB、ADCB；A站在右边，B站在左边有BCDA、BDCA，共4种。用模型表征，第一站位有两个选择，第二站位也有两个选择，第三个站位有一个选择，第四个站位也有一个选择，即2×2×1×1=4种。问题（3）如果继续沿用符号列举法，就会发现中间有重复的，这时候，不妨在模型表征的基础，继续沟通思路，A或B站边，也就是从24种总站法中，排除C、D站中间的4种情况，即20种。问题（4）A、B都不站边就只能在中间了，C、D站两边，第一站有两种选择，第二站位有两种选择，第三站位有一种选择，第四站位也有一种选择，共有四种选择。问题解决过程中，似乎通过模型的表征，更便于思考与解题。当然，模型表征也不是凭空而来，是建立在符号表征之上，迫于要化繁为简的需要，再经过沟通与思考，催化得到适合解题的模型表征。
三、“表征”是强化剂，通过“探索”促进“应用”表征的效用除了可以润滑理解、催化模型之外，还可以强化应用。比如上述例题，是关于站队一排拍照的，我们也可以将此题改成给数字卡片、排数的练习；也可以将站一排拍照改为站两排、将站一排改为围成一圈拍照……这些无疑是给表征的使用增加了一些障碍，从中，我们更多地看到孩子们的各种探索尝试、各种表征的运用，而表征的灵活化、多元性也为孩子们所启迪。比如，四个人围成一圈拍照，我们借用符号表征开始探索，发现ABCD、BCDA、CDAB、DABC其实是一种围圈方式，只是分别从A、B、C、D四人数起，也就是上例中的24种方式中，每四种就是同一种，因此，围圈共有24÷4=6种。
综上所述，表征是数学学习的重要途径与方法，我们在平日的教学中，要有意识地组织孩子运用表征，创造性地展开数学学习，以提升数学解题能力。
（作者单位：江苏省淮安市天津路小学）
学子 ２０１７．０７63
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