论文 对合矩阵

长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练

对合矩阵

系 （部）： 信息与计算科学 专 业： 数学与应用数学 学 号： 2009031121 学生姓名： 陈付平 成 绩：

2012 年６ 月

对合矩阵

陈付平

长沙学院 信息与计算科学系, 湖南 长沙, 410022

摘要：对合矩阵的定义、对合矩阵的判定、对合矩阵的几何意义

关键词：对合矩阵、初等变换、秩、相似、特征值、对合变换

引言：

对合矩阵是举阵中的一类矩阵，它在代数数学中有着广泛的应用，本文通过对对合矩阵的介绍，了解对合矩阵的判断以及对合矩阵的几何意义。

1 对合矩阵的定义：

矩阵A满足条件A2E，则称A是对合矩阵。

2 对合矩阵的判断

设A为nn矩阵，则下列条件都是A为对合矩阵的充要条件： （1）A1A1。

（2）A为对合矩阵。 （3）A为对合矩阵。 （4）

*秩AE秩AEn （[1] P208 3）

0En秩(E-A)0En秩(E+A) (5)矩阵A相似于形如的方阵。

（注：此处[K]K=1,2,6.表命题出处，见参考文献） 下面我们分别对上述几个命题进行证明：

证明（1）：由对合矩阵的定义，显然成立。

AA1A1为对合矩阵。

2证明（3）： A为对合矩阵，即AE。

22 则AAE1

证明（2）： A为对合矩阵

） AA1AA（由（1）

222*22 AAAAAAE A 即A*为对合矩阵。

*E （*）

n1 AAE1,又A*A

2n12 得A1 有A1

（*）式两端同时式乘以A，右乘以A，得

* 右边AEAA

2 即AE A为对合矩阵。

0AE证明（4）：考察矩阵 （*） AE0 A为对合矩阵，即**2*2A*2 对（*）式作分块矩阵的初等变换

0AE0AE0AE0AEAEAE2EAE

(AE)(AE)(AE)(AE)00022E2EAE2E0由初等变换不改变矩阵的秩

A2E0AE 有秩000秩AEEA2E

0 即秩AE秩AE秩 所以A A2222AE秩E秩AEn

E 即

E0秩A2E0秩AE秩AEn

2在证明命题（5）之前，先证明几个命题：

命题1、矩阵A的特征值等于（考虑它们的重数）矩阵A的特征值的平方。

（[3] P182 1126）

证明：设A的所以特征值为1,2,s

有EA12sEA12s 可知 则

2EA22122222s2

EA21222s2 证毕。

命题2、若A为对合矩阵，则A的特征值为+1或—1 .（[2] P216 7（2）） 证明：设是A的一个特征值

E的一个特征值

2有1， 因而1

反之A的特征值为+1或-1 不能推出A为对合矩阵

11 反例：A 01则是A22112 A的特征多项式为EA10 10 则A的特征值为1（2重）

111112E 但A0101012112 同理，有B的特征值为-1（2重），但BE 01100的特征值为-1（2重）2 C11， 但CE 0001命题3、若矩阵A适合A 证明：A22En，则A必可对角化。（[2] P221 10（1）））

En，则A的特征值为+1或-1。

它们相应的特征子空间为V1和V1。

考察齐次线性方程组EAX0和EA0，

它们的解空间分别为V1和V1。 则维V1n秩EA,维V1n秩EA

由（4）秩AE秩AEn 知维V1维V1n

特征子空间的非零向量均为特征向量， 知A有n个线性无关的特征向量。 则A可对角化。 另证：AE，则A2E0

2令g111有gA0 A的最小多项式m 有m|g

进而A的初等因子都是一次的， 说明A可对角化。

20En秩(E-A)由以上两个命题，可得，任一对合矩阵必相似于形如的方阵0En秩(E+A)证明（5）：已证。

0En秩(E-A)矩阵A相似于 0En秩(E+A)即可逆矩阵P，使得

0En秩(E-A)APP 0En秩(E+A)100En秩(E-A)1En秩(E-A)PPP 则AP0En秩(E+A)0En秩(E+A)210En秩(E-A)0En秩(E-A)PP 0En秩(E+A)0En秩(E+A) P1EPP1PEA为对合矩阵。 B都是对合矩阵，命题4、设A，则积AB是对合矩阵的充件条件是A与B可交换。（[4]

1

P508 508）

证明：设AB是对合矩阵

ABABABABAB

22两端左乘以A，右乘B，由ABE，

22得ABABABBA ABBA

等式两端同时乘以AB，

2ABBAABBA2BBEBB2E 即AB为对合矩阵 。

即有E21命题5、与对合矩阵相似的矩阵均为对合矩阵。 证明：对合矩阵A，设矩阵B与A相似，

即可逆矩阵T，使得BT则B212TATT1ATT1ATT1A2TT1ETE即B为对

2AT

合矩阵。

命题6：如果B是幂等矩阵（B则

，则A2BE是对合矩阵。 B）

2证明：B是幂等矩阵，即BB。

A22BE2BE2BE4B24BE24BBEE22

即A为对合矩阵。

命题7、一方阵如果有下列三个性质中的任何两个性质，则必有第三个性质：（[6]）

① 对称阵； ② 正交阵； ③ 对合阵。

证明：仅证由①，②推出③，即对称的正交矩阵为对合矩阵。

A满足条件 ①，即A'A

A满足条件②，即AA'A'AE

'2则AAAAAE A为对合矩阵。

3 对合矩阵的几何意义

定义：数域P上线性空间V的线性变换称为对合变换，如恒等变换。

2，其中是

n维线性空间V中，取定一组基之后，就建立了由数域P上的n维线性空间V的线性变换到数域P上的nn矩阵的一个1—1对应，可知n维对合矩阵对应着n维线性空间中的对合变换。这里，我们只讲对合变换的几何意义而不考虑线性空间的维数。

是线性空间V关于某子空间V1平行于某补子空间V2 对合变换的几何意义：

的反射。换句话说：VV1V2 ，并且如果V1,；

V2,。

（[3]）P243 1537）（[6] P238 例19） 证明：分别取使得和的所有x的集合作成的V1和V2，易

证V1，V2是V的子空间。

11V；取1；2 。则

22121112221112212112222

1112222故1V1,2可知VV2

V1V2

V1V2 由V1，有

由

V2，有

则 得0。

{0}

即V1V2所以VV1V2。

例1、设V为数域P上nn矩阵，关于矩阵的加法和数乘作成的线性空间。定义

变换AA'，AV。则为上的线性变换，求的特征值 ，特征向量

'AA

''及Jardon标准形。（[6] P288 27） 解：AV， 由 知2AAA2A，

2 即为对合变换。Eij(i,j1,2,,n)为空间的一组基。空间的维

数为n。

对合变换在这组基下的矩阵为对合矩阵。

则的特征值为1或-1。 的属于1的特征向量，由A1AAA'

n(n1) 2 知特征向量为对称矩阵，特征子空间有维数为 的属于-1的特 征向量，由A1AAA'

n(n1) 知特征向量为反对称矩阵，特征子间空的维数为。

20En(n1)2 因而的若当标准形为J。

0En(n1)2n2n2由于全体对合矩阵所构成的集合，对加法和数乘都不封闭，因而我们不能在环、群

的意义下讨论对合矩阵；但我们可以由与对合矩阵相似的矩阵均为对合矩阵，通过所有的可逆矩阵，求出所有同阶的对合矩阵；另外，对合矩阵具有十分良好的几何意义，利用对合矩阵，我们可以考虑空间中的一些保形运动。此外，对合矩阵的多项式具有十分简单的形式，其最高次数只能为1，这给我们的计算带来很大的方便。

参考文献：

[1] 张禾瑞，郝柄新．北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编．《高等代数》，高等

教育出版社，1978年；[1] P208 3． [2] 姚慕生．《高等代数学》，复旦大学出版社，2003年； [3] 普罗斯库列柯夫，《线性代数习题集》（周晓钟译），人民教育出版社，1981年； [4] 杨子胥，《高等代数习题解》（上册），山东科学出版社，2001年； [5] 刘学鹏等主编，《高等代数复习与研究》，南海出版社，1995年； [6] 李师正主编，《高等代数解题方法与技巧》，高等教育出版社，2004年；