涉及到角平分线的全等

涉及到角平分线的全等

与角平分线相关的问题

角平分线的两个性质：

⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性．

角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，

2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3．OAOB，这种对称的图形应用得也较为普遍，

【例 1】 如图，已知ABC的周长是21，OB，OC分别平分ABC和ACB，ODBC于

D，且OD3，求ABC的面积．

A O B

D C

BDCD，【例 2】 在ABC中，D为BC边上的点，已知BADCAD，求证：ABAC．

AB

DC

【例 3】 如图所示：ABAC，ADAE，CD、BE相交于点O．求证：OA平分DAE．

CD分别是ABC及ACB平分线．CDBE．【例 4】 已知ABC中，ABAC，求证： BE、

A

DEBC

【例 5】 已知ABC中，A60，BD、CE分别平分ABC和ACB，BD、CE交于点

O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．

AEBODC

【例 6】 如图，在ABC中，B60，AD、CE分别平分BAC、BCA，且AD与CE的交点为F．求证：FEFD．

AEFBDC

【例 7】 如图，已知E是AC上的一点，又12，34．求证：EDEB．

D3E1A2BC4

【例 8】 (06北京中考题)如图所示，OP是AOC和BOD的平分线，OAOC，

OBOD．求证：ABCD．

O

【例 9】 已知△ABC中，AB=AC，GE过A且GE∥BC，∠B的平分线与AC和GE分别交于D，E，

∠C的平分线与AB和GE分别交于F，G．求证DE=FG．

ABPDC

【例10】 (“希望杯”竞赛试题)长方形ABCD中，AB=4，BC=7，∠BAD的角平分线交

BC于点E，EF⊥ED交AB于F，则EF=__________．

【例11】 如图所示，已知ABC中，AD平分BAC，E、F分别在BD、AD上．DECD，

EFAC．求证：EF∥AB

AFBEDC

【巩固】如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长

线于点F，交EF于点G，若BGCF，求证：AD为ABC的角平分线．

FGBAEDC

【巩固】在△ABC中，AB3AC，BAC的平分线交BC于D，过B作BEAD，E为垂足，求证：ADDE．

ACD

BE

【例12】 如图所示，AD是ABC的角平分线，DE、DF分别是ABD和ACD的高，

DEF200，则BAC等于________．

【例13】 如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC，AB=6，AC=3，∠BAC=120°．求AD

的长．

【例14】 (2000年南昌市中考题)如图，在△ABC中，BAC90，BD平分ABC交

AC于D，AEBC于E交BD于G，FG∥AC交BC于F，连接DF．求证：DFBC

【例15】 (第十届“希望杯”数学竞赛)如图，如果一个三角形的两条角平分线又是它的两

条高线，试判断这个三角形的形状．已知ABC中，AD,BE既是ABC的角平

分线，又是ABC的高，试判断ABC的形状．

【例16】 (北京市西城区2006年抽样测试八年级(上)附加题，黄冈市数学竞赛试题)如图所

示，在ABC中，AD是BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PBPC与ABAC的大小，并说明理由．

【巩固】在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线．P是AD上任意一点．求证：ABACPBPC．

APBDC

【例17】 如图，在ABC中，B2C，BAC的平分线AD交BC与D．求证：

ABBDAC．

A

BD 的值．

C

【巩固】(2001年河南省中考题)在ABC中，AD平分BAC，ABBDAC．求B:CABDC

【巩固】如图，在ABC中，ABBDAC，BAC的平分线AD交BC与D．求证：B2C．

ABD

【巩固】如图，ABC中，ABAC，A108，BD平分ABC交AC于D点．求证：BCACCD．

ADC

BC

【巩固】(“希望杯”培训题)如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，AB=AC+CD，

∠B=40°，那么∠C的大小是__________．

【巩固】(“希望杯”试题)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=2∠C，D点在BC上，

AD平分∠BAC，若AB=1，则BD的长为____________．

【巩固】已知等腰ABC，A100，ABC的平分线交AC于D，则BDADBC．

AF1B2EC3D

【巩固】已知：在ABC中，ABCDBD，ADBC，求证：B2C．

【巩固】(天津市数学竞赛题)如图，在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠

ABC交AC于D，作CE⊥BD交BD的延长线于E，则BD与CE的大小关系是__________．

00【巩固】如图所示，在ABC中，A=100，ABC=40，BD是ABC的平分线，

延长BD至E，使DE=AD．求证：BC=AB+CE

【巩固】(1998年“希望杯”第二试)如图，直角△ABC中，BAC90,ABAC,BD

平分ABC交AC 于D，作CEBD交BD延长线于E，作AHBC于H，交BD于M，则BM与CE的大小关系是什么？

【例18】 (2003年莆田市中考题)如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边

上的一点，且AF平分DAE，求证：AEECCD

【例19】 如图所示，在ABC中，AD是BAC的平分线，M是BC的中点，MEAD且

1交AC的延长线于E，CECD，求证ACB2B．

2

【例20】 如图所示，在ABC中，ACAB，M为BC的中点，AD是BAC的平分线，若

1CFAD且交AD的延长线于F，求证MFACAB．

2

ABC3C，ACAB2BE． 【巩固】如图，已知在ABC中，求证：12，BEAE．

A12EBC

【巩固】(04年山东中考题)AD是ABC的角平分线，BEAD交AD的延长线于E，

EF∥AC交AB于F．求证：AFFB．

AF D BE C

【巩固】如图所示，AD是ABC中BAC的外角平分线，CDAD于D，E是BC的中

1点，求证DE∥AB且DE(ABAC)．

2

【巩固】(2002全国初中竞赛)如图13-17，ABC内，BAC60，ACB40，P,Q分别在BC,CA上，并且AP,BQ分别是BAC，ABC的平分线．求证：

BQAQABBP．

【巩固】如图所示，在ABC中，AD平分BAC，ADAB，CMAD于M，求证ABAC2AM．

【例21】 如图，ABC中，ABAC，BD、CE分别为两底角的外角平分线，ADBD于

D，AECE于E．求证：ADAE．

ADEGBCH

【例22】 已知：AD和BE分别是△ABC的∠CAB和∠CBA的外角平分线，CDAD，

CEBE，求证：⑴ DE∥AB；⑵ DE1ABBCCA． 2CDE

【例23】 在ABC中，MB、NC分别是三角形的外角ABE、ACF的角平分线，

AMBM，ANCN垂足分别是M、N．求证：MN∥BC，

1MNABACBC

2AMEBCNFAB

【例24】 在ABC中，MB、NC分别是三角形的内角ABC、ACB的角平分线，

AMBM，ANCN垂足分别是M、N．求证：MN∥BC，

1MNABACBC

2ANMFBCE【例25】 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，A的平分线AE交DC于E．求证：当BE是B的角平分线时，有ADBCAB．

∠B60，【例26】 在△ABC中，CD、AE分别为AB、BC边上的高，求证：DE

1AC． 2AD

【例27】 (北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，过C作

BECCEAB于E，并且AE1(ABAD)，则ABCADC等于多少？ 2

【例28】 如图，AD180，BE平分ABC，CE平分BCD，点E在AD上．

① 探讨线段AB、CD和BC之间的等量关系． ② 探讨线段BE与CE之间的位置关系．

EDABC

【巩固】如图所示，AD平行于BC，DAE=EAB，ABE=EBC，AD=4，BC=2，那么AB=________．

【巩固】如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，A的平分线AE交DC于E，求证：

当BE是B的平分线时，有ADBCAB．

【例29】 如图所示，在ABC中，BAC90，ADBC于D，BCA的角平分线交

0AD与F，交AB于E，FG平行于BC交AB于G． AE=4，AB=14，则BG=______．

【巩固】如图所示，在Rt三角形ABC中，C90,CHAB于H，AG平分BAC，

0交CH于D，交BC于G，在BC上取BE=CG，连接ED，证明：CDE是直角三角形．

【例30】 (1999年镇江市竞赛题)如图，在△ABC中，分别作两角B,C的平分线

BE,CF，AGCF,AHBE，求证：GH∥BC

ABC中，D为BC中点，DEBC交BAC的平分线于点E，EFAB于F【例31】

EGAC于G．求证：BFCG．

AFBDCGE

【例32】 如图所示，BACDAE90，M是BE的中点，ABAC，ADAE，求证

AMCD．

【例33】 如图，点M为正方形ABCD的边AB(或BA)延长线上任意一点，MNDM且与

∠ABC外角的平分线交于点N，此时MD与MN有何数量关系?并加以证明．

DCNABME

【例34】 (北京市数学竞赛试题) 在ABC，BAC5.25，AD是BAC的平分线，过A作

DA的垂线交直线BC于点M．若BMABAC，试求ABC和ACB的度数．

A96，【例35】 ⑴(理工附中06～07学年下学期期中考试)在ABC中，延长BC到D，

ABC与ACD的角平分线相交于点A1，A1BC与ACD的角平分线交于A2，„，1依次类推A4BC与A4CD的角平分线交于A5，求A5大小．

⑵(初二第5届希望杯1试)如右上图，BF是ABD的角平分线，CE是ACD角的平分线，BE与CF 交于G，若BDC140，BGC110，求A的度数．

【例36】 (06北京课改第23题)如图(1)所示，OP是∠MON的平行线，请你利用该图形画

一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： (1) 如图(2)，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系．

(2)如图(3)，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其他条件均不变，请问，你在(1)中得到的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

ABAC，BAC的平分线，DNBC，【例37】 如图，在ABC中，BD、AM分别是ABC、

1GFBD．求证：MNBF．

4GADBMNFC

【例38】 在直角三角形ABC中，C90，A的平分线交BC于D．自C作CGAB交

AD于E，交AB于G．自D作DFAB于F，求证：CFDE．