《任意角的三角函数》教学设计

《任意角三角函数》教学设计

一、教学内容分析

本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通 过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期

现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。 《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

二、学生情况分析

本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的

是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。 三、教学目标

知识与技能目标:

借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； 能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值； 能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。 方法与过程目标：

在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。

情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。 四、教学重、难点分析：

重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

难点：引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。 五、教学方法与策略：

教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体

参与、揭示本质、经历过程.根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.

六、教具、教学媒体准备：

为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维

教学过程

一、情景设置:

问题1、初中时的锐角三角函数如何定义的？

（学生上黑板画图，给出定义，教师根据学生展示情况进行点评） 锐角三角函数的定义：在直角△OAP中，∠A是直角，那么

问题2、如果将锐角置于平面直角坐标系中，如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表 示锐角三角函数呢？ y A O P 1 / 4

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(学生分组讨论，展示成果，教师规范思路和解答步骤) 建立平面直角坐标系，设点P的坐标为（x，y），那么|OP|x2y2，于是

y P N 问题3、对于确定的锐角，其三角函数值与终边上选取的点P有何关系？ 这说明三角函数值的决定量是什么？

学生互动：锐角的三角函数值都是比值关系，与终边上选取的点P的位置无关， 可以利用相似三角形证明.

教师利用几何画板的动态效果，展示三角函数值与点P的位置无关， O 仅与角有关.

问题4、你能用学过的知识来刻画一下角与这个比值的关系吗？ 学生回答：对于确定的角，比值

M A x

yxy,,都惟一确定，故正弦、余弦、正切都是角的函数. rrx问题5、终边落在第一象限内的角能用上述比值表示吗？任意角呢？ 请你给出任意角的三角函数定义。 （学生回答，教师板书课题） 二、数学理论、建构数学

在平面直角坐标系中，设任意角的终边上任意一点P（x,y），它与原点的距离是r(rx2y20)，我们规定：

yy叫做的正弦，记作sin,即sin；

rrxx（2）比值叫做的余弦，记作cos,即cos；

rryy（3）比值(x0)叫做的正切，记作tan,即tan；

xx（1）比值

sin ，cos, tan分别叫角的正弦函数、余弦函数、正切函数.以上三种函数都称为三角函数. 学生活动1：利用单位圆对三角函数定义简化.

取r=1，即选取角终边与单位圆的交点为P(x，y)，

O x P y则sin=y, cos=x, tan

x学生活动2：写出三角函数的定义域，用函数的定义对三角函数进行分析，完成下表.

三角函数 对应法则 自变量 定义域 正弦函数 余弦函数 正切函数 2 / 4

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值 域 学生活动3、概念辨析：判断下列说法是否正确：

1、若角终边上点P的纵、横坐标均变为原来的2倍，则对应的三角函数值变为原来的2倍； （ ）

2、任意角的三角函数均有意义； （ ） 3、若角不同，则对应的正弦值也不同； （ ） 4、因为三角函数值是一个比值，所以任意角的三角函数值为正值. （ ） 学生分组活动5：请你根据三角函数的定义判断各象限角的三角函数值的正负. （师生共同总结识记口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”）

y y y

+ ———

sin cos tan 三、例题剖析

O O O x x 例1、已知角的终边经过点P(2，-3),求角的正弦、余弦、正切值.

（学生板演，教师点评） 解：因为x=2,y=-3,

—所以 rx 22(3)213,

所以 siny3313, r13135,求x的值. 13变式：已知角的终边经过点P(-x，-6)，且cos（学生独立完成，实物投影仪展示解题过程，强调解题规范性） 例2、确定下列三角函数值的符号： （1）cos7； 120（2）sin(465)； （3）tan11. 377是第二象限角，所以cos0. 12120（学生板演，其它学生上黑板对解答过程进行指正） 解：（1）

0000 （2）因为4652360255，即465是第三象限角，所以sin(465)0.

（3）因为

1151111，即是第四象限角，所以tan20

3333四、巩固练习

1、已知角的终边经过点P(-3，4),求角的正弦、余弦、正切值.

3 / 4

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2、已知角的终边经过点P(2x，-6)，且cos12,求x的值. 133、设是三角形的一个内角，在sin, cos, tan, tan4、确定下列各角的正弦、余弦、正切值的符号： 5、若cos0,tan0，试确定角为第几象限角. 思考：函数y五、课堂小结

2中，哪些有可能取负值.

|sinx|cosx|tanx|的值域为 sinx|cosx|tanx师：通过学习,你对任意角三角函数有了哪些新的认识？还有哪些体会？ 学生回答（2或3个学生）

六、板书设计：

任意角的三角函数 1、三角函数定义： 例1、 七、教学反思： 本节课的教学特别注意了以下几点：（1）前后知识的联系，知识的产生、发展过程， 如任意角的三角函数的定义，由初中所讲锐角的情况逐渐过渡到“任意角”的情况．（2）2、三角函数值符号判断 例2、 “一全正，二正弦， 注重了知识的探究，如三角函数值在各象限的符号．这里由学生自己去研究，讨论，探索得三正切，四余弦” 出一般性结论，培养了学生获取知识、探究知识的能力，强化了自主学习的意识．（3）注意概念的理解，体现数学思想的应用；（4）注意了例题选取的典型性，练习的层次性和变化性，巩固知识到位．从教学效果来看，基本达到预定的教学目标，但也反映出一定的问题，教学的任务过于丰富，容量有点偏大，教学中学生的反应与预想的存在一定的差异.学生在由锐角三角函数向任意角的三角函数理解时仍存在一定的困难，利用定义判断三角函数值得符号上面仍显稚嫩，部分学生没有深入体会到其中的关键.教师在教学过程后还需要对学生的学习状况进一步的研究，在下一课时进行时要预设一定的练习巩固.

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