情境观察

将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、

B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是 ，∠CAC′= °．

问题探究

如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.

拓展延伸

如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形

ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.

思路点拨：沿矩形的对角线剪开所得的两个三角形是全等的，由如图2中位置及全等关系可得BC=AD，∠CAC′=90°；在图3中，当等腰Rt△ABE和等腰

Rt△ACF的直角顶点重合于直线GP上的点A时，构建了如图2所示的两个直角三角形全等的数学模型，即Rt△ABG≌Rt△EAP. Rt△ACG≌Rt△FAQ，进而得到AG=EP，AG=FQ，从而得到EP=FQ.在图4中，当背景由等腰直角三角形变为矩形时，但矩形的长与宽之比均为k,从而构建了如图2所示的两直角三角形相似（全等）的数学模型，借助相似比及 Rt△EPH≌Rt△FQH.容易得出HE=HF 。

解：情境观察 AD（或A′D），90

问题探究 结论：EP=FQ. 证明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.

∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP. ∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.

同理AG=FQ. ∴EP=FQ.

拓展延伸 结论： HE=HF. 理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q.

∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，

∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°， ∴∠ABG=∠EAP.∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP， ∴ = . 同理△ACG∽△FAQ，∴ = .

∵AB= k AE，AC= k AF，∴ = = k，∴ = . ∴EP=FQ. ∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF

点评：本题以课题学习的方式呈现，解决此题的关键在于简单情景入手，准确把握相关图形的特征与模型，透过现象看到数学活动问题的本质（直角顶点重合于直线上某一点时，酝酿与构建了两直角三角形全等或相似关系），不被“动”及“变化的图形”所迷，关键是在于由特殊到一般、由简单到复杂的思维方式，这类试题不仅结论可以类比，而且思维方法、证明过程及说理过程也可通过类比得出，这种模式应引起我们的重视与关注。