应用三角形内角和定理及其推论解题例析

应用三角形内角和定理及其推论解题例析

三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 推论1：直角三角形的两个锐角互余；

推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和； 推论3：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

以上关于三角形的内角和定理及其推论在解题中有比较广泛的应用，下面举例说明。 一、求角度的大小

例1：在△ABC中，若∠A: ∠B: ∠C=1:2:3，则∠C=_______。

解：依题意，不妨设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，因此由三角形的内角和定理可得：x+2x+3x=180°，解之得：x=30°，故∠C=3x=90°。

例2：如图1，已知∠1=20°，∠=25°，∠A=35°，则∠BDC的度数为_______。

A D 1 C

D A E

B

图1 图2 解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-35°=145°， ∴∠DBC+∠DCB=(∠ABC+∠ACB)-( ∠1+∠2)=145°-(20°+25°)=100°. 在△BDC中，∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-100°=80°.

例3：如图2，在直角三角形ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于E，交AC于D。若∠B=53°，则∠CDE=_______.

解：∵△ABC是直角三角形，∠B=53°，∴由三角形内角和定理的推论1，得∠A=90°-53°=37°。

再由三角形内角和定理的推论2，得∠CDE=∠A+∠AED=37°+90°=127°。 二、求多角的和

例4：如图3，一个任意的五角星，它的五个角(∠A、∠B、∠C、∠D、∠E)的和为（ ） A.50° B.100° C.180° D.200°

C 1 B 第 1 页 共 11 页

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A 1 2 C B C D

A 1 2 E

D B E 图3 图4

解：由推论2知，∠2=∠B+∠D，∠1=∠C+∠E；又由定理知：∠1+∠2+∠A=180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，故本题应选C。

例5：如图4，已知∠A=60°，求∠B+∠C+∠D+∠E的度数。 解：由题设可知，∠B+∠C=180°-∠1，∠D+∠E=180°-∠2， ∴∠B+∠C+∠D+∠E=360°-(∠1+∠2） ∵∠1+∠2=180°-∠A=120°,

∴∠B+∠C+∠D+∠E=360°-120°=240°. 三、求角的取值范围

例6：如图5，在△ABC中，∠A>∠B>∠ACB，延长AC到D，求∠BCD的取值范围。

A A D B C D B E C

图5 图6 解：∵∠A>∠ACB，∠B>∠ACB，∴∠A+∠B>2∠ACB, ∵∠A+∠B=180°-∠ACB，∴180°-∠ACB>2∠ACB, ∴∠ACB<60° ∵∠BCD+∠ACB=180°, ∴∠BCD>120°, ∴120°<∠BCD<180°. 四、证角相等

例7：如图6，求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C。

析与证：由于在已知图形中没有三角形，因此要想利用三角形内角和定理及其推论证明结论成立，必须添加辅助线，构成证题所需的三角形。

连结AD并延长到E，如图6中所示，则有∠BDE=∠BAD+∠B，∠CDE=∠CAD+∠C， ∴∠BDE+∠CDE=∠BAD+∠CAD+∠B+∠C，即∠BDC=∠A+∠B+∠C。

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五、证角不等

例8：如图7，已知P是△ABC内的任意一点，求证：∠BPC>∠A。

A P B D C A 图7 图8

析与证：为了使∠BPC与∠A有联系，可延长BP交AC于D，于是由推论3知，∠BPC>∠PDC, 而∠PDC>∠A，故∠BPC>∠A。 六、判断三角形的形状

D B

C E

11∠B=∠C，试判断三角形的形状。 23211解：∵∠A=∠B=∠C，∴∠B=∠C，

32312又∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C+∠C+∠C=180°,

33例9：在△ABC中，∠A=

∴∠C=90°, ∴△ABC为直角三角形。 七、解实际问题

例10：一个零件的形状如图8所示，按规定∠A应等于90°，∠B和∠C应分别是 32°和21°。检验工人量得∠BDC=148°，就可以确定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明零不合格的理由。

解：根据三角形内角和定理及其推论，可连结AD，并延长到E。 ∵∠CDE=∠CAD+∠C，∠BDE=∠DAB+∠B， ∴∠CDB=∠CAD+∠DAB+∠B+∠C。 如果零件合格，那么∠CDB=90°+32°+21°=143° 现量得∠CDB=148°，所以零件不合格。 练习：

⒈ 在△ABC中，∠A-∠B=∠B-∠C=20°，求∠A、∠B、∠C的度数。 ⒉ 在△ABC中，∠A+∠C=2∠B，求∠B的度数。

⒊ 如图1，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A=35°，则∠BDC的度数为_____。

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A D 1 B E 2 C

C B

D

图1 图2 ⒋ 如图2，已知AB∥CD，求∠A+∠C+∠AEC的度数。 参考答案

1、∠A=80°，∠B=60°，∠C=40°； 2、∠B=60°； 3、∠BDC=80°； 4、360°。

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与三角形的角相关新题型

三角形的内角和定理、外角性质揭示了三角形的角之间的重要的内在关系，成为重要的几何基础知识．其考查形式也丰富多样，下面我们就关注几类与三角形的角相关的新题型．

一、情境探究型问题

例1 一天，小军和小明在讨论如图所示的图形中，有以下说法：

ABDEC

①AEC既可看成是△AEC的一个内角，也可看成是△ADE,△ABE的一个外角； ②ADE可看成是△ADE,△ADC的一个内角，也可看成是△ABD的一个外角； ③由三角形的外角性质可知ADBDACCDAEAED;

④图中有三组互余的角，如C与EAC、ADE与EAD、B与EAB． 其中，正确的个数是 （ ）． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解：选D;

点评：这个问题置身于两个同学们讨论氛围中，其实是内角、外角的识别问题． 二、操作体验型问题

例2 如图，一块试验田的形状是三角形（设其为△ABC），管理员从BC边上的一点D出发，沿DC→CA→AB→BD的方向走了一圈回到D处，则管理员从出发到回到原处在途中身体 ( ).

A

B

D C．转过270

C

D．转过360

A．转过90 B．转过180

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析解：分析题意，知道管理员走了一圈后，其实是转了一周，即转过360，选D． 点评：解题贵在发现本质，像本题的本质就是，管理员在整个运动过程中，最后转了一圈，即旋转了360．

三、变化探究型问题

例3 如图，已知MON90，点A、B分别在射线OM、ON上移动，OAB的内角平分线与OBA的外角平分线所在直线交于点C，试猜想：随着A、B点的移动，

ACB的大小是否变化？说明理由.

解：ACB的大小不变.

理由：AC平分OABBAC1OABOBD90OAB 211OBD45OAB 2211ACBCBDBAC45OABOAB45.

22CBD点评：这个问题在运动背景下，问题似乎找不到突破方向，具体分析时，同学们可

以做无效线条的删减，以“突显”图形的目的．像本题的本质就是三角形一个内角与外角平分线的夹角问题．

例5 探究与发现：

（1）如图①∠1＋∠2与∠B＋∠C有什么关系？为什么？

（2）把图①△ABC沿DE折叠，得到图②，填空：∠1＋∠2_______∠B＋∠C (填“＞”“＜”“=”)，当∠A＝40°时，∠B＋∠C＋∠1＋∠2＝______ （3）如图③，是由图①的△ABC沿DE折叠得到的，如果∠A＝30°， 则x＋y＝360°－（∠B＋∠C＋∠1＋∠2）＝360°－ ＝ , 猜想∠BDA＋∠CEA与∠A的关系为 .

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图① 图② 图③

解析：（1）∠1＋∠2=∠B＋∠C 由三角形的内角和是180°易证. （2）∠1＋∠2=∠B＋∠C 280° (∠1＋∠2=∠B＋∠C=180°-40°=140°)

（3）300°,60° ∠BDA＋∠CEA=2∠A (由已知度数得到∠BDA＋∠CEA与∠A的数量关系,不要求证明)

点评：本题看似复杂，其实是三角形内角和与外角性质的综合应用，同学们注意体会其中的方法．除了上面的方法，是不是还可以有其他的方法呢？（补全图②、③折去的部分，利用三角形外角性质分析）试试吧！

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三角形内角和定理及其推论的应用

同学们在学习三角形知识的过程中，首先会学到三角形内角和定理及其推论，其内容如下：

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°； 推论1：直角三角形的两个锐角互余；

推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 下面举一些典型的例子说明定理及其推论的应用。 例1：如图1，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。

A E 1 2 B C

图1 图2 解：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠E+∠C，

而∠1+∠2+∠D=180°,即∠A+∠B+∠E+∠C+∠D=180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。

例2：如图2，∠B=30°，△CDE的三个内角都相等，求∠A的度数。

D

B C

E 1 D

A 180600，又∵∠1=∠B+∠A， 解：∵△CDE的三个内角都相等，∴∠1=3∴∠A=60°-30°=30°。

例3：如图3，在△ABC内，∠A=42°，∠B和∠C的三等分线分别交于D、E。求 ∠BDC、∠BEC的度数。

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A D E B

图3

解：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴而∠A=42°，∴

C

2222∠A+∠ABC+∠ACB=×180°， 333322∠ABC+∠ACB=92°，即∠DBC+∠DCB=92°。 3311∴∠BDC=180°-92°=88°，同理：∠ABC+∠ACB=46°，

33即∠EBC+∠ECB=46°，∴∠BEC=180°-46°=134°。 故∠BDC=88°，∠BEC=134°。

例4：如果一个三角形的每个内角都大于50°，则它们必定都小于80°。 证明：设∠A、∠B、∠C表示三角形的三个内角。

∵∠A>50°，∠B>50°，∴∠C=180°-∠A-∠B<180°-50°-50°=80°. 即∠C<80°.同理：∠A<80°，∠B<80°。

例5：在锐角三角形中，三个内角的度数都是质数，试判断三角形的形状。 解：由于△ABC的各角均为锐角，不妨设∠A≤∠B≤∠C<90°. ∵∠A、∠B、∠C均为质数，且∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A、∠B、∠C的度数中至少有一个为偶数，但偶质数只有2，故∠A=2°，∠B此时不能再为偶数2°。

∴∠B+∠C=180°-2°=178°，而∠B≤∠C≤89°， ∴∠B=∠C=89°，故△ABC为等腰三角形。

例6：△ABC的最大角为最小角的2倍，求第三个角的范围。 解：设三角形的三个角分别为α、β、2α，则α+β+2α=180°，∴α=又α<β<2α，于是

1(180°-β)， 312(180°-β)<β<(180°-β)，即45°<β<72°. 33例7：如图4，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD交BE于F。求证：∠AFB>∠C。 证明：∵∠AFB是△BDF的一个外角，由三角形内角和定理的推论2知，∠AFB>∠BDF。同理可知，∠BDF>∠C，则由不等式的传递性，得∠AFB>∠C。

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A E F B D

C

B 1 A 2 D

C 图4 图5

例8：如图5，凸四边形ABCD，求证：△ABC、△ACD、△BCD、△ABD中，至少有一个三角形的一个内角不超过45°。

证明：∵∠BAD+∠ADC+∠DCB+∠CBA=360°， ∴这四个角中至少有一个不小于90°。

不妨设∠BAD≥90°，由三角形的内角和定理，∠1+∠2≤90°，因而∠1和∠2中至少一个角不超过45°。

练习：

1、 若一个三角形的三个内角之比为4:3:2，则这个三角形的最大内角为________。 2、如图，已知AB∥CD，求证：∠AEC=∠A+∠C。

A

3、 在△ABC中，∠A=

B

11∠B=∠C，试判断三角形的形状。 234、 如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。

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5、 在△ABC中，∠ABC=∠ACB=4∠A，BD是高，求∠DBA的度数。 参考答案 1、80°； 2、（略）； 3、直角三角形； 4、180°； 5、70° 第 11 页 共 11 页