经济数学练习题

一 判定题

1 曲线r{cos,cos2,sin}不是正那么曲线。 ( ) 2 圆柱螺线r{acos,asin,b}的切线与z轴成固定角。( ) 3 空间曲线r = r (t), 当r(t)常数时,该空间曲线是圆。 ( ) 4 假设两个曲面间的变换是保角变换,那么该变换也是等距变换。 ( ) 5 曲线(c)是曲线(c*)的渐缩线,那么曲线(c*)是曲线(c)的渐伸线。 ( ) 6 du4dudv6dv可作为曲面的第一大体形式。( ) 7 若drn0那么方向(d);()是正交方向。( ) 8 罗德里格定理事实上是主方向判定定理。( )

9 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充分必要条件是l0。( ) 10 曲面的欧拉公式为knk1cos2k2sin2。( ) 11 等距互换必然是保角变换。( )

12 空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确信。( )

13 曲面之间的一个变换，若是伎曲面上对应曲线的交角相等那么称为变换。( ) 14 两个曲面之间的一个变换是保角变换的充要条件是它们的第一成比例。( ) 15 若是曲面上有直线，那么它必然是曲面的渐近曲线。( ) 二 填空题

1 向量函数r (t)具有固定长的充要条件是关于t的每一个值，r'(t)都与r (t)___________。 2 设r ( t )为可微分的向量函数，且r'(t)a（a为常向量，a0），那么曲线r = r ( t )的图形是___________。

3 螺线r = { cost , sin t , t}上点（1，0，0）的切线方程是___________。 4 正螺线r = {u cos v , u sin v , b v }坐标曲线的方程是___________。

5 仅由曲面的第一大体形式动身所能成立的几何性质，称为曲面的___________性质。 6

已

知

22a=_________,=_________=_________

r{cos3x,sin3x,cos2x},0x2，

=_________,=_________。

7 曲面在渐近曲线上一点处的切平面必然是_________曲线。

8 曲面的曲纹坐标网是渐近网的_________条件是L=N=0。 9 曲面的曲纹坐标网是共轭网的_________条件M=0。

10 主方向的判别定理（罗德里格定理），若是方向(d)(du:dv)是主方向那么：_________。 11 曲面上的曲纹坐标网是率线网的充分必要条件是_________。 12 曲面的第三大体形式为_________。

13 每一个可展曲面或是柱面、或是锥面、或是_________曲面。 14 一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的_________恒等于零。 15 设wvp;vq；那么：d(w)=_________。

16 沿曲面上一条曲线平行移动时，维持_________不变。 17 若是曲面的平行移动与途径无关，那么_________曲面。 18 测地线是它的切线沿自身平行的曲线，即_________曲线。 19 当向量v沿测地线平移时，它与测地线的_________维持不变。 20 正规曲线（c）：r = r ( t )称为简单的，若是向量函数r ( t )在_________是_________；_________的。

2f(x2)x4x5，那么f(x) 21．假设函数

．

22．设需求量q对价钱p的函数为q(p)100e ． 23．

p2，那么需求弹性为

Epdcosxdx ．

24．设A,B,C是三个事件，那么A发生，但B,C至少有一个不发生的事件表示为 ．

25．设A,B为两个n阶矩阵，且IB可逆，那么矩阵方程ABXX的解

X ．

26.已知共线四点A、B、C、D的交比(AB，CD)=2，那么(CA，BD)=_______. 27.对合由_______唯一决定.

28.二阶曲线确实是_______的全部.

29.证明公理体系的和谐性经常使用_______法.

30.罗巴切夫斯基平面上既不相交，又不平行的两直线叫做_______直线. ，称为仿射不变性和仿射不变量. 32.共线三点的简比是_______不变量.

33.平面内三对对应点(原象不共线，映射也不共线)决定唯一_______. 34.点坐标为(1，0，0)的方程是_______.

2235.u1u2 =0代表点_______的方程.

ex,5x036．函数f(x)2的概念域是

x1,0x2 ．

37．limx0xsinx___________________． x ．

38．函数f (x) = -sin3x的原函数是 39．设A,B均为n阶矩阵，那么等式(AB)2A22ABB2成立的充分必要条件是 ．

102140．齐次线性方程组AXO的系数矩阵为A0102那么此方程组的一样解0000为 .

三 选择题 单项选择题

1 曲线r(){sin,cos,1}，从0到1的弧长是。（ ） A 、1 B、 2 C、2 D、1/2

2 假设空间曲线r ( t )与r'(t)都平行于固定平面，那么该曲线的挠率为。（ ） A。1 B。-1 C。2 D。0 3 抛物线y = x2在x = 0点的相对曲率1是。（ ）

A。1 B。2 C。-1 D。1/2

4 曲面上的点依照杜邦指标线Lx2 + 2Mxy + Ny2=1进类，当LN - M2<0时，称点P为。 A。椭圆点 B。双曲点 C。抛物点 D。平点 （ ） 5 已知曲面上一点P的高斯曲率K=2，平均曲率H=3/2，该曲面在点P处的两个主曲率为 A。 二、1 B。二、0 C。一、1/2 D。-一、1 （ ） 多项选择题

7 空间曲线（C）知足以下条件之一，均是平面曲线。（ ） A。0 B、r'r''0 C、k=0 D、 (r',r'',r''')0 8 以下关系式中表示曲线相对曲率的有（ ）

x'y''x''y'x''y'x'y''d2y/dx2 A。2 B。x y – x y C。 D。

(xy2)3/2(x2y2)3/2[1(dy/dx)2]3/29 以下曲线为一样螺线的有（ ）

A。曲线的主法线与固定方向成固定角 B。曲线的切线与固定方向成固定角 C。曲线的副法线与固定方向成固定角 D。曲线的曲率与挠率之比为定值。

11x13 10．线性方程组23x29知足结论（ ）．

A．无解 B．有无穷多解 C．只有0解 D．有唯一解 11．以下各函数对中，（

）中的两个函数是相等的．

x2f(x)1A．x1，g(x)x1 B．f(x)x2，g(x)x

C．f(x)lnx2，g(x)2lnx D．

f(x)sin2xcos2x，g(x)1 f(x)xsin2k,x012．设函数x1,x0 在x = 0处持续，那么k = ( ) A．-2

B．-1

C．1 D．2

13. 函数f(x)lnx在x1处的切线方程是（ ）． A.xy1 B. xy1 C. xy1 D. xy1

14．以下函数在区间(,)上单调减少的是（ ）． A．sinx B．2 x C．x 2 D．3 - x

15.若f(x)dxF(x)c，那么xf(1x2)dx=（ ）.

1F(1x2)c1F(1x2)c A. 2 B. 2

C. 2F(1x2)c D. 2F(1x2)c 16．以劣等式中正确的选项是（ ）．

xd(cosx)lnxdxd(1) A . sinxd B.

x axdx1x1 C. lnad(a)dxd(x) D. x

17．设23，25，22，35，20，24是一组数据，那么这组数据的中位数是（ A. 23.5 B. 23

．

）

C. 22.5 D. 22

2E(X)1E[3(X2)]= 18．设随机变量X的期望，方差D(X) = 3，那么

( ) ．

A. 36 B. 30 C. 6 D. 9

19．设A,B为同阶可逆矩阵，那么以劣等式成立的是（ ）

111111(AB)AB(AB)BA A. B.

T11T111(AB)A(B)(kA)kA C. D. （其中k为非零常数）

20．设f(x)1，那么f(f(x))（ ）． x112A． B．2 C．x D．x

xx21．曲线y = sinx +1在点(0, 1)处的切线方程为（ ）．

A. y = x +1 B. y = 2x +1 C. y = x -1 D. y = 2x -1 22. 假设

f(x)e1xdxec，那么f (x) =（ ）．

1x11 B． 22xx11C． D． -

xxA．-23．设A,B为同阶可逆矩阵，那么以劣等式成立的是（ ） A. (ABT)1A1(BT)1 B. (ATB)1(A1)TB1 C. (AB)TBTAT D. (AB)TATBT 24. 线性方程组x1x21 解的情形是（ ）．

x1x20A. 有无穷多解 B. 只有0解 C. 有唯一解 D. 无解

四 计算题

1 求圆柱螺线xacos,yasin;zb在0；点的三个大体向a; Y和紧密平

面、主法线方程。

2 求曲线r(t){acht;asht;at}曲率与挠率。

22Iv(dudv),v0求坐标曲线的测地曲率。 3 已知曲面的第一大体形式为

4 求球面r{Rcos,cos;Rcossin;Rsin}上的第一、第二大体形式及法曲率。 5 求曲面z = xy2的渐近曲线。

6 计算悬链面r{cosh,ucosv;cosh,usinv,u}的第一、第二大体形式。 7 计算抛物面2x3=5x12+4x1x2+2x22 在原点的第一、第二大体形式。

8 计算位于半径为R的球面上半径为a的圆的测地曲率。

9 计算球面r{Rcos;cos;Rcossin;Rsin}的第一大体形式 10 求正螺面r{ucosv,usinv;av}上的测地线。

x22x3limx3sin(x3)11．

22xy2yy(x)xyee12．设函数由方程确信，求y(x)．

2xcos2xdx013．

y14．求微分方程

yx21x的通解．

15.求直线x-2y+3=0上无穷远点的坐标。

16.求仿射变换

x7xy1y4x2y4

的不变点.

17.求四点(2，1，-1)，(1，-1，1)，(1，0，0)，(1，5，-5)顺这顺序的交比.

118.试求二阶曲线的方程，它是由两个射影线束x1-λx3=0与x2-x3=0 (=2)所决定

的.

19.求二次曲线2x2+xy-3y2+x-y=0的渐近线.

dyxex20．求微分方程2的通解．

dx3y

1102T21．设矩阵A124，B2，求(2IA)B.

3113x1x2x3022．求线性方程组2x1x28x33x40 的一样解．

2x3xx4012

五 证明题

1 证明：若是空间曲线的所有切线都通过一个空点那么此空间曲线是直线。

2 在曲面上一点，含du ; dv的二次方程Pdu2+2Qdudv+Rdv2确信两个切方向(du:dv)和

(u:v)证明这两个方向垂直的充要条件是：ER-2FQ+GD=0

3 问曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线是测地线

吗？什么缘故？

4 证明一条曲线的所有切线不可能同时都是另一条曲线的切线。

5 证明一条曲线rr(s)为一样螺线的充要条件是(r;r,r)0)。

6 证明：在曲面Z=f (x)+g (y)上曲线族 x=常数；y=常数组成共轭网。

7 证明：命题1 K2=Kg2+Kn2。

8 曲面的第一大体形式为I=E（u）du2+G(u)dv2求证：u-曲线是测地线。 9．设A是mn矩阵，试证明AA是对称矩阵．

T10.过二次曲线的核心F，引两条共轭直线l,l′，证明l⊥l′. 证明：

11．试证：假设B1,B2均与A可互换，那么B1B2也与A可互换． 12．试证：假设B1,B2均与A可互换，那么B1B2也与A可互换．

六 综合题

1 若是一曲面的曲率线的紧密平面与切平面交成空角,那么它是平面曲线。

2 给出曲面上一条曲率线,设上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角.求

证是一条平面曲线。

3 证明曲面上曲纹坐标网是曲线网的充分必要条件是F=M=0。 4 求证平面族a2x+2ay+2=2a的包络

5 证明ruuruv0的曲面s:rr(u;v)是柱面。

6求半径为R的球面上测地三角形三内角之和。 7 证明曲率恒等于零的曲线是直线。 8 证明挠率恒等于零的曲线是平面曲线。

经济数学练习题答案

一 判定题

1 × 2 √ 3 √ 4 × 5 √ 6 × 7 √ 8 √ 9 √ 10 × 11√ 12 √ 13 × 14 × 15 √ 二 填空题

1.垂直 2.直线 3.

x10rz0 4.

du0，dv0 5. 内在

6.

1a{3cosx;3sinx;4};568; ;

25sin2x25sin2x{sinx;cosx;0};{4cosx;4sinx;3};

157 。渐近 8 。充分必要 9。充分必要 10。dndr 11。F=M=0 12。 III=ds*2=dn2=edu2+2fdudv+gdv2 13。 一条曲线的切线 14。 高斯曲率 15。 dw()pwd 16 。向量的内积 17。纹曲面必然是可展 18。 测地线是自平行 19。夹角 20。 一个周期内 21. x1 22.2p 23. cosxdx 24. A(BC) 25．(IB)1A 226. -1 27. 两对不同的对应元素

28. 两个射影线束对应直线交点 29. 模型 30. 分散

31. 通过一切透视仿射不改变的性质和数量 32. 仿射 33. 仿射变换 34. u1=0 35. (1，1，0)、(1，-1，0) 36. [-5，2） 37. 0 38.

1cos3x + c (c 是任意常数) 339. A,B可互换 40．x12x3x4 (其中x3,x4是自由未知量)

x2x42

三 选择题

1。A 2。D 3。A 4。B 5。A

7。ABD 8。ACD 9 。BCD 10. D 11．D 12. C 13. A 14. D 15. B 16. C 17. A 18. C 19. B 20．C 21. A 22. B 23. C 24. D

四 计算题

1解：三个大体向量

ar'0r'{asin,acos,b}asinacosb22222

1ab22{asin,acos,b}0e1e2e30ab1ab22{0,a,b}

a00r'r''{0,ab,a2} 02222r'r''aabaab(a)0紧密平面：

(r'r'')r''(r'r'')r'1{a,0,0}

r'r''r'a r'{asin,acos.b},r''{acos,asin,0} r(0){a,0,0},r'(0){0,a,b},r''(0){a,0,0}

Xa所求紧密平面方程为

0aZY a b= 0，即 bYaZ0

00 主法线方程为：法平面方程为(Xa)0(Y0)a(Z0)b0。即aYbZ0

aYbZ0 ,即Y=Z=0

bYaZ02.解：r'{asht,acht.a},r''{acht,asht,0},r'''{asht,acht,0} 于是r'2acht，

e1achte2ashte3222 r'r''asht acht 0{asht,acht,a}，

0 r'r''2a2cht，

r'r''r'3 因此曲率为k122acht2，

挠率为(r',r'',r''')1， 23(r'r'')2acht3已知曲面的第一大体形式为Iv(du2dv2),v0求坐标曲线的测地曲率。 解 E=G=v，F=0，Gu=0 , Ev=1 u-线的测地曲率

KguKguEvu-线的测地曲率：4解：r

2EG2vvGu0 2GE1

{Rcoscos,Rcossin,Rsin}，

r{Rcossin,Rcoscos,0}，

r{Rsincos,Rsinsin,Rcos}，

由此得第一类大体量ER2cos2,F0,GR2 因此 I2R2cos2d2R2d2。 又 n r rrrEGF2{coscos,cossin,sin}，

{Rcoscos,Rcossin,0} {Rsinsin,Rsincos,0}

r{Rcoscos,Rcossin,Rsin}

故LRcos2,M0,NR 因此II2(R2cos2d2Rd2) 法曲率kn5 解：pII1。 IRzzy2,q2xy ， xy2z2z2z r0,s2y,t22x, 2xyxy Lr1pqs1pqt1pq22222201pq2y220,

M1y4xy2x1y4xy4y42422,

N2,

故渐进曲线方程为6 见教材77页。 7 见教材86页。 8见教材158页。 9 解：由r

1y4xy422dxdy2x1y4xy422dy20。

{Rcoscos;Rcossin;Rsin}可得出

r{Rcossin;Rcoscos;0}

r{Rsincos;Rsinsin;Rcos}

由此取得曲线面的第一类大体量

ErrR2cos2

Frr0

GrrR2

因此IR2cos2d2R2d2 10见教材150页。

x22x3(x3)(x1)11．解 limlim4 （6分）

x3sin(x3)x3sin(x3)12．解 (x2)(y2)(exy)(e2)

2x2yye(yxy)0 （3分） [2yxe]y2xye

xyxyxy2xyexy故 y （6分） xy2yxe12113． 解：2xcos2xdx=xsin2x-2sin2xdx （ 4分）

00202 =

112cos2x= （ 6分）

402 14．解  P(x)1x，Q(x)x21

用公式 ye1xdx1[(x21)exdxdxc] elnx[(x21)elnxdxc]

1x4x2x3x[42c]4x2cx 15.解：化为齐次式

x1-2x2+3x3=0,以x3=0代入

得 x1-2x2=0， x1=2x2 或 x2=12x1

∴ 无穷远点坐标为(2，1，0) 16.解：由 x7xy1y4x2y4

得 6xy104xy40

解此方程，得不变点为(12,2)

17.解：以(2，1，-1)和(1，-1，1)为基底，

那么(2，1，-1)+μ1(1,-1,1)相当于(1，0，0)

∴

211111100 得 μ1=1

又 (2，1，-1)+μ2(1,-1,1)相当于(1，5，-5) ∴

221212155 得 μ2=-32 所求交比为 12 2318.解：∵=

12 (1) 将x1-λx3=0, x2-x3=0中的，λ，代入(1)

2分）

6分） （ （x1得 x12x3xx3x3x1x 112xx233得 x2(x1+2x3)-x3(x1-x3)=0， 化简，即得所求的二阶曲线方程 x1x22x2x3x1x3x230

2112219.解：∵ 系数行列式

123112 2120∴ A31=

54, A32=54, A33=-254, 因其中心坐标 ξ=-115,η=-5 .

由 2X2+XY-3Y2=0，

即 (2X+3Y)(X-Y)=0.

得 2X+3Y=0 X-Y=0. (1) 将 X=x+15 Y=y+15 代入(1)

得 2x+3y+1=0 x-y=0

即为所求的渐近线方程

20．解 将原方程分离变量 3y2dyxexdx 两头积分得通解 y3(x1)exc

100102T21．解 因为2IAT= 2010124 0013112001131 =020021=000224121131 因此(2IAT)B=00110=34123 2922．解 因为

130141 10111101110330121 A2183036023010121000x13x3x4 一样解为：， 其中x3，x4是自由未知量．

x2xx342

五 证明题

1证明：若是空间曲线的所有切线都通过一个定点，那么此空间曲线是直线 证明：设空间曲线方程为r{x(t),y(t),z(t)}

切线方程为

Xx(t0)Yy(t0)Zz(t0) t0为任意值。 x'(t0)y'(t0)z'(t0) 假设空间曲线的所有切线都通过一个定点，那么对任意的t0，切线方程有公共解，

a（常向量）r0，由此r易见该曲线的曲率恒为0，即k，积r0，因此分得r = at +b, b也为常向量，这是直线参数方程。

2 在曲面上一点，含du , dv的二次方程： Pdu22QdudvRdv20

确信两个切方向(du:dv)和(u:v)，证明这两个方向相互垂直的充要条件是： ER2FQGD0

证明：设曲面方程为rr(u,v)则Eru•ru,Fru•rv,Grv•rv 是曲面S的第一

类大体量。

)drrudurvdv,rrudurvv若(du:dv)与(u:v)相互垂直。

drr0易见ER2FQGD0)若ER2FQGD0 drr1Edu2FdudvGdvEu2FvGv2222 那么cos 那么cos0

3答：曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线是测地

du1du2r2 线。事实上，设T:uu(s)(i1,2)，那么的切向量为ar1 dsdsiidu'2du212 记a,a,Da1da1ijaiduj,Da2da2ijaiduj

dsdsi,ji,j1 那么曲线的切向量a沿平行移动Da0Da10,Da20

ijDaid2ukkdudu 0(i1,2)ij0(k1,2) 2dsdsdsdsi,j 为测地线

4 见教材38页 5 见教材41页 6 见教材93页 7 证明：

22222kgknksinkcosk 228 证明：u-曲线的方程为dv0由

dv1sin0取得sin0因此0 dsG 代入刘维尔公式得kgd121nE121nGcossin0 ds2G2v2u2E 因此取得u-曲线是测地线。

九、解．证 因为(AAT)T(AT)TATAAT， 因此AA是对称矩阵。

10、.证明：已知F为核心，l，l′为由F所引的二共轭直线，按其点概念，两迷向直线FI，

FJ是二次曲线的切线.

从而 (FI，FJ，l，l′)=-1， 因此 l⊥l′

11. 证 因为AB1B1A，AB2B2A，且

TA（B1B2）=AB1AB2=B1AB2A=（B1B2）A

因此B1B2与A可互换. 12．证 因为AB1B1A，AB2B2A，且

A（B1B2）=AB1AB2=B1AB2A=（B1B2）A

因此B1B2与A可互换.

六 综合试题 1见教材107页

2给出曲面上一条曲率线，设上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角。求 证是一条平面曲线.

r,n,那么其中s是的自然参数,记:rr(u,v),:uu(s),vv(s),dnrncos,两边求导,得nr0,

dsdndrdndr//a,因此nrknr0 由为曲率线知dn//dr,即

dsdsdsds 假设0,那么为平面曲线.

 假设n0,那么因为曲面上的一条曲率线,故dnkndr.而

证 设

knnkkn0因此dn0,即n为常向量.于是为平面曲线.

3证明:F=0是由于坐标网是正交的.M=0是由于它们共轭. 4见教材124页 5见教材127页 6见教材153页

r0 7证明:已知kr0因此a(常向量) 由此取得r 再积分即得rasb

其中b也是常向量,这是一条直线的参数方程. 8见教材43页