一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．(★★★★)若
（i是虚数单位）是实数，则实数a 的值是 -1 ．
2．(★★★★)已知集合A={x|x＞1}，B={x|x -2x＜0}，则A∪B= {x|x＞0} ．
2
3．(★★★★)命题“若实数a满足a≤2，则a ＜4”的否命题是 真 命题（填“真”、“假”之一）．
2
4．(★★★★)在如图所示的算法流程图中，若输入m=4，n=3，则输出的a= 12 ．
5．(★★★★)把一个体积为27cm 的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1cm 的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为
．
3
3
6．(★★★★)在约束条件 下，则 的最小值是 ．
7．(★★★★)设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为②（或②③④⇒①） （用代号表示）正确的一个命题： ①③④⇒．
8．(★★★)在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是双曲线 △ABC的顶点C在双曲线的右支上，则
的值是
．
的左、右焦点，
9．(★★)已知点A（0，2）抛物线y =2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物线与点B，过B做l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p=
．
2
10．(★★★)若函数
，则函数y=f（f（x））的值域是
．
11．(★★★★)在直三棱柱中，AC⊥BC，AC=4，BC=CC 1=2，若用平行于三棱柱A 1B 1C 1-ABC的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小 值为 24 ．
12．(★★)已知椭圆
，A、B是其左右顶点，动点M满足MB⊥AB，连接AM交椭圆
与点P，在x轴上有异于点A、B的定点Q，以MP为直径的圆经过直线BP、MQ的交点，则点Q的坐标为 （0，0） ．
13．(★★)在三角形ABC中，过中线AD中点E任作一直线分别交边AB，AC与M、N两点，设
则4x+y的最小值是 ．
14．(★★)设m∈N，若函数 {0，3，14，30} ．
存在整数零点，则m的取值集合为
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(★★★)如图，平面PAC⊥平面ABC，点E、F、O分别为线段PA、PB、
AC的中点，点G是线段CO的中点，AB=BC=AC=4，PA=PC=2 ．求证：
（1）PA⊥平面EBO； （2）FG∥平面EBO．
16．(★★★)已知函数 （1）设
，且
．
，求θ的值； ，且△ABC的面积为
，求sinA+sinB的值．
（2）在△ABC中，AB=1，
17．(★★★)在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：
的左、
右顶点分别为A 1、A 2，上、下顶点分别为B 1、B 2．设直线A 1B 1的倾斜角的正弦值为 ，圆C与以线段OA 2为直径的圆关于直线A 1B 1对称．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）判断直线A 1B 1与圆C的位置关系，并说明理由； （3）若圆C的面积为π，求圆C的方程．
18．(★★★)心理学家研究某位学生的学
习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x天后的存留量 ；若在t（t
＞4）天时进行第一次复习，则此时存留量比未复习情况下增加一倍（复习的时间忽略不计），其后存留量y 2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为
，存留量随
时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”
（1）若a=-1，t=5，求“二次复习最佳时机点”；
（2）若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．
19．(★★★)已知各项均为正数的等差数列{a n}的公差d不等于0，设a 1，a 3，a k是公比为q的等比数列{b n}的前三项， （1）若k=7，a 1=2；
（i）求数列{a nb n}的前n项和T n；
（ii）将数列{a n}和{b n}的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n}，设其前n项和为S n，求
*
的值
（2）若存在m＞k，m∈N 使得a 1，a 3，a k，a m成等比数列，求证k为奇数．
20．(★★)已知函数
，其中a是实数．设A（x 1，f（x
1
）），B（x 2，f（x 2））为该函数图象上的两点，且x 1＜x 2．
（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x 2＜0，证明：x 2-x 1≥1； （Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．
三、选做题.在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题20分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修4-1：几何证明选讲
21．(★★)如图，过圆O外一点M作圆的切线，切点为A，过A作AP⊥OM
于P．
（1）求证：OM•OP=OA ；
（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K．求证：∠OKM=90o．
2
B.选修4-2：矩阵与变换 22．(★★★)已知矩阵M= （1）求矩阵M；
（2）求曲线5x +8xy+4y =1在M的作用下的新曲线方程．
2
2
有特征值λ 1=4及对应的一个特征向量 ．
C.选修4-4：坐标系与参数方程
23．(★★★)在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C的参数方程为
（α为
参数）．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程
为ρcos（θ- ）=2
（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．
D.选修4-5：不等式选讲 24．(★★)不等式选讲
设x，y，z为正数，证明：2（x +y +z ）≥x （y+z）+y （x+z）+z （x+y）．
3
3
3
2
2
2
四.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
25．(★★★)如图，已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面与底面垂直，
AA 1=AB=AC=1，AB⊥AC，M、N、P分别是CC 1、BC、A 1B 1的中点． （1）求证：PN⊥AM；
（2）若直线MB与平面PMN所成的角为θ，求sinθ的值．
26．(★★)一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分．
（1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ； （2）求恰好得到n（n∈N ）分的概率．
*
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