初中数学基础知识及经典题型

2021-10-05 来源：好走旅游网

综合知识讲解

第一章绪论 .................................................................................... 2 1.1 初中数学的特点 ......................................................................... 2 1.2 怎么学习初中数学 ..................................................................... 2 1.3 如何去听课 ................................................................................. 5 1.4 几点建议 ..................................................................................... 6 第二章应知应会知识点 ........................................................................ 7 2.1 代数篇 ......................................................................................... 7 2.2 几何篇 ....................................................................................... 11 第三章例题讲解 .................................................................................. 18 第四章兴趣练习 ................................................................................... 29 4.1 代数部分 ................................................................................... 29 4.2 几何部分 ................................................................................... 44 第五章复习提纲 .................................................................................. 49

第一章绪论

1.1 初中数学的特点

１．２．３．４．５．６．７．８．９．１０．１１．１２．１３．１４．１５．１６．

1.2 怎么学习初中数学

1，培养良好的学习兴趣。

两千多年前孔子说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”意思说，干一件事，知道它，了解它不如爱好它，爱好它不如乐在其中。“好”和“乐”就是愿意学，喜欢学，这就是兴趣。兴趣是最好的老师，有兴趣才能产生爱好，爱好它就要去实践它，达到乐在其中，有兴趣才会形成学习的主动性和积极性。

在数学学习中，我们把这种从自发的感性的乐趣出发上升为自觉的理性的“认识”过程，这自然会变为立志学好数学，成为数学学习的成功者。那么如何才能建立好的学习数学兴趣呢？

（1）课前预习，对所学知识产生疑问，产生好奇心。

（2）听课中要配合老师讲课，满足感官的兴奋性。听课中重点解决预习中疑问，把老师课堂的提问、停顿、教具和模型的演示都视为欣赏音乐，及时回答老师课堂提问，培养思考与老师同步性，提高精神，把老师对你的提问的评价，变为鞭策学习的动力。

（3）思考问题注意归纳，挖掘你学习的潜力。

（4）听课中注意老师讲解时的数学思想，多问为什么要这样思考，这样的方法怎样是产生的？

（5）把概念回归自然。所有学科都是从实际问题中产生归纳的，数学概念也回归于现实生活，如角的概念、直角坐标系的产生都是从实际生活中抽象出来的。只有回归现实才能对概念的理解切实可*，在应用概念判断、推理时会准确。 2，建立良好的学习数学习惯。

习惯是经过重复练习而巩固下来的稳重持久的条件反射和自然需要。建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。良好的学习数学习惯还包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。另外还要保证每天有一定的自学时间，以便加宽知识面和培养自己再学习能力。 3，有意识培养自己的各方面能力。

数学能力包括：逻辑推理能力、抽象思维能力、计算能力、空间想象能力和分析解决问题能力共五大能力。这些能力是在不同的数学学习环境中得到培养的。在平时学习中要注意开发不同的学习场所，参与一切有益的学习实践活动，如数学第二课堂、数学竞赛、智力竞赛等活动。平时注意观察，比如，空间想象能力是通过实例净化思维，把空间中的实体高度抽象在大脑中，并在大脑中进行分析推理。其它能力的培养都必须学习、理解、训练、应用中得到发展。特别

是，教师为了培养这些能力，会精心设计“智力课”和“智力问题”比如对习题的解答时的一题多解、举一反三的训练归类，应用模型、电脑等多媒体教学等，都是为数学能力的培养开设的好课型，在这些课型中，学生务必要用全身心投入、全方位智力参与，最终达到自己各方面能力的全面发展 4、及时了解、掌握常用的数学思想和方法。

学好初中数学，需要我们从数学思想与方法高度来掌握它。中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上几个：集合与对应思想，分类讨论思想，数形结合思想，运动思想，转化思想，变换思想。有了数学思想以后，还要掌握具体的方法，比如：换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。在具体的方法中，常用的有：观察与实验，联想与类比，比较与分类，分析与综合，归纳与演绎，一般与特殊，有限与无限，抽象与概括等。

解数学题时，也要注意解题思维策略问题，经常要思考：选择什么角度来进入，应遵循什么原则性的东西。高中数学中经常用到的数学思维策略有：以简驭繁、数形结合、进退互用、化生为熟、正难则反、倒顺相还、动静转换、分合相辅等。

5、逐步形成 “以我为主”的学习模式。

数学不是老师教会的，而是在老师的引导下，自己主动的思维活动去获取的。学习数学就要积极主动地参与学习过程，养成实事求是的科学态度，独立思考、勇于探索的创新精神；正确对待学习中的困难和挫折，败不馁，胜不骄，养成积极进取，不屈不挠，耐挫折的优良心理品质；在学习过程中，要遵循认识规律，善于开动脑筋，积极主动去发现问题，注重新旧知识间的内在联系，不满足于现成的思路和结论，经常进行一题多解，一题多变，从多侧面、多角度思考问题，挖掘问题的实质。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。

6、针对自己的学习情况，采取一些具体的措施。

记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中扩展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。

1.3 如何去听课

认真听好每一节棵。

要上好每一节课，数学课有知识的发生和形成的概念课，有解题思路探索和规律总结的习题课，有数学思想方法提炼和联系实际的复习课。要上好这些课来学会数学知识，掌握学习数学的方法。概念课

要重视教学过程，要积极体验知识产生、发展的过程，要把知识的来龙去脉搞清楚，认识知识发生的过程，理解公式、定理、法则的推导过程，改变死记硬背的方法，这样我们就能从知识形成、发展过程当中，理解到学会它的乐趣；在解决问题的过程中，体会到成功的喜悦。习题课

要掌握“听一遍不如看一遍，看一遍不如做一遍，做一遍不如讲一遍，讲一遍不如辩一辩”的诀窍。除了听老师讲，看老师做以外，要自己多做习题，而且要把自己的体会主动、大胆地讲给大家听，遇到问题要和同学、老师辩一辩，坚持真理，改正错误。在听课时要注意老师展示的解题思维过程，要多思考、多探究、多尝试，发现创造性的证法及解法，学会“小题大做”和“大题小做”的解题方法，即对选择题、填空题一类的客观题要认真对待绝不粗心大意，就像对待大题目一样，做到下笔如有神；对综合题这样的大题目不妨把“大”拆“小”，以“退”为“进”，也就是把一个比较复杂的问题，拆成或退为最简单、最原始的问题，把这些小题、简单问题想通、想透，找出规律，然后再来一个飞跃，进一步升华，就能凑成一个大题，即退中求进了。如果有了这种分解、综合的能力，加上有扎实的基本功还有什么题目难得倒我们。复习课

在数学学习过程中，要有一个清醒的复习意识，逐渐养成良好的复习习惯，从而逐步学会学习。数学复习应是一个反思性学习过程。要反思对所学习的知识、

技能有没有达到课程所要求的程度；要反思学习中涉及到了哪些数学思想方法，这些数学思想方法是如何运用的，运用过程中有什么特点；要反思基本问题(包括基本图形、图像等)，典型问题有没有真正弄懂弄通了，平时碰到的问题中有哪些问题可归结为这些基本问题；要反思自己的错误，找出产生错误的原因，订出改正的措施。在新学期大家准备一本数学学习“病例卡”，把平时犯的错误记下来，找出“病因”开出“处方”，并且经常拿出来看看、想想错在哪里，为什么会错，怎么改正，通过你的努力，到高考时你的数学就没有什么“病例”了。并且数学复习应在数学知识的运用过程中进行，通过运用，达到深化理解、发展能力的目的，因此在新的一年要在教师的指导下做一定数量的数学习题，做到举一反三、熟练应用，避免以“练”代“复”的题海战术。

1.4 几点建议

1、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。如：我在讲课时的注解。

2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。

3、记忆数学规律和数学小结论。

4、与同学建立好关系，争做“小老师”，形成数学学习“互助组”。 5、争做数学课外题，加大自学力度。 6、反复巩固，消灭前学后忘。

7、学会总结归类。①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类。

总之，对初中生来说，学好数学，首先要抱着浓厚的兴趣去学习数学，积极展开思维的翅膀，主动地参与教育全过程，充分发挥自己的主观能动性，愉快有效地学数学。

其次要掌握正确的学习方法。锻炼自己学数学的能力，转变学习方式，要改变单纯接受的学习方式，要学会采用接受学习与探究学习、合作学习、体验学习

等多样化的方式进行学习，要在教师的指导下逐步学会“提出问题—实验探究—开展讨论—形成新知—应用反思”的学习方法。这样，通过学习方式由单一到多样的转变，我们在学习活动中的自主性、探索性、合作性就能够得到加强，成为学习的主人。

第二章应知应会知识点

2.1 代数篇一数与式（一）有理数 1 有理数的分类 2 数轴的定义与应用 3 相反数 4 倒数 5 绝对值

6 有理数的大小比较 7 有理数的运算（二）实数 8 实数的分类 9 实数的运算 10 科学记数法 11 近似数与有效数字 12 平方根与算术根和立方根 13 非负数

14 零指数次幂负指数次幂（三)代数式

15 代数式代数式的值 16 列代数式（四）整式

17 整式的分类

18 整式的加减乘除的运算 19 幂的有关运算性质 20 乘法公式 21 因式分解（五）分式 22 分式的定义 23 分式的基本性质 24 分式的运算（六）二次根式 25 二次根式的意义 26 根式的基本性质 27 根式的运算二方程和不等式（一）一元一次方程

28 方程方程的解的有关定义 29 一元一次的定义 30 一元一次方程的解法 31 列方程解应用题的一般步骤（二）二元一次方程 32 二元一次方程的定义 33 二元一次方程组的定义

34 二元一次方程组的解法（代入法消元法加减消元法） 35 二元一次方程组的应用（三）一元二次方程 36 一元二次方程的定义

37 一元二次方程的解法（配方法因式分解法公式法十字相乘法） 38 一元二次方程根与系数的关系和根的判别式 39 一元二次方程的应用

（四）分式方程 40 分式方程的定义

41 分式方程的解法（转化为整式方程检验） 42 分式方程的增根的定义 43 分式方程的应用（五）不等式和不等式组 44 不等式（组）的有关定义 45 不等式的基本性质 46 一元一次不等式的解法 47 一元一次不等式组的解法 48 一元一次不等式（组）的应用三函数

（一）位置的确定与平面直角坐标系 49 位置的确定 50 坐标变换

51 平面直角坐标系内点的特征

52 平面直角坐标系内点坐标的符号与点的象限位置 53 对称问题：P(x,y)→Q(x,- y）关于x轴对称 P(x,y)→Q(- x,y)关于y轴对称 P(x,y)→Q(- x,- y)关于原点对称 54 变量自变量因变量函数的定义

55 函数自变量因变量的取值范围（使式子有意义的条件图象法） 56 函数的图象：变量的变化趋势描述（二）一次函数与正比例函数

57 一次函数的定义与正比例函数的定义 58 一次函数的图象：直线，画法 59 一次函数的性质（增减性）

60 一次函数y=kx+b(k≠0)中k b符号与图象位置 61 待定系数法求一次函数的解析式（一设二列三解四回）

62 一次函数的平移问题

63 一次函数与一元一次方程一元一次不等式二元一次方程的关系（图象法）

64 一次函数的实际应用 65 一次函数的综合应用（1）一次函数与方程综合（2）一次函数与其它函数综合（3）一次函数与不等式的综合（4）一次函数与几何综合（三）反比例函数 66 反比例函数的定义 67 反比例函数解析式的确定 68 反比例函数的图象：双曲线 69 反比例函数的性质（增减性质） 70 反比例函数的实际应用

71 反比例函数的综合应用（四个方面面积问题）（四）二次函数 72 二次函数的定义

73 二次函数的三种表达式（一般式顶点式交点式） 74 二次函数解析式的确定（待定系数法） 75 二次函数的图象：抛物线画法（五点法） 76 二次函数的性质（增减性的描述以对称轴为分界）

77 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中a b c △与特殊式子的符号与图象位置关系

78 求二次函数的顶点坐标对称轴最值 79 二次函数的交点问题 80 二次函数的对称问题

81 二次函数的最值问题（实际应用） 82 二次函数的平移问题

83 二次函数的实际应用 84 二次函数的综合应用（1）二次函数与方程综合（2）二次函数与其它函数综合（3）二次函数与不等式的综合（4）二次函数与几何综合

2.2 几何篇

1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等

5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短 7 经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行这两条直线也互相平行 9 同位角相等两直线平行 10 内错角相等两直线平行 11 同旁内角互补两直线行 12 两直线平行同位角相等 13 两直线平行内错角相等 14 两直线平行同旁内角互补 15 三角形两边的和大于第三边 16 三角形两边的差小于第三边 17 三角形三个内角的和等180° 18 直角三角形的两个锐角互余

19 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边对应角相等

22 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (SAS) 23 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) 24 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) 25 有三边对应相等的两个三角形全等 (SSS)

26 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) 27 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 到一个角的两边的距离相同的点在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线底边上的中线和高互相重合 33 等边三角形的各角都相等并且每一个角都等于60°

34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)

35 三个角都相等的三角形是等边三角形

36 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37 在直角三角形中如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40 和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 关于某条直线对称的两个图形是全等形

43 如果两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44 两个图形关于某直线对称如果它们的对应线段或延长线相交那么交点在对称轴上

45 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分那么这两个图形关于这条直线对称

46 直角三角形两直角边a b的平方和等于斜边c的平方即a+b=c

47 如果三角形的三边长a b c有关系a+b=c 那么这个三角形是直角三角形 48 四边形的内角和等于360° 49 四边形的外角和等于360°

50 多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)×180° 51 任意多边的外角和等于360° 52 平行四边形的对角相等 53 平行四边形的对边相等

54 夹在两条平行线间的平行线段相等 55 平行四边形的对角线互相平分

56 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60 矩形的四个角都是直角 61 矩形的对角线相等

62 有三个角是直角的四边形是矩形 63 对角线相等的平行四边形是矩形 64 菱形的四条边都相等

65 菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角 66 菱形面积=对角线乘积的一半即S=(a×b)÷2 67 四边都相等的四边形是菱形

68 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69 正方形的四个角都是直角四条边都相等

70 正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分每条对角线平分一组对角 71 关于中心对称的两个图形是全等的

72 关于中心对称的两个图形对称点连线都经过对称中心并且被对称中心平分

73 如果两个图形的对应点连线都经过某一点并且被这一点平分那么这两个图形关于这一点对称

74 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75 等腰梯形的两条对角线相等

76 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77 对角线相等的梯形是等腰梯形

78 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等那么在其他直线上截得的线段也相等

79 经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰 80 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 81 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半 82 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半 L=(a+b) S=L×h

83 如果a:b=c:d 那么ad=bc 如果ad=bc 那么a:b=c:d 84 如果a/b=c/d 那么 (a±b)/ b=(c±d)/d

85 如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0) 那么 (a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b

86 三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例

87 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线) 所得的对应线段成比例

88 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三角形的第三边

89 平行于三角形的一边并且和其他两边相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似

91 两角对应相等两三角形相似(ASA)

92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 两边对应成比例且夹角相等两三角形相似(SAS)

94 三边对应成比例两三角形相似(SSS)

95 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例那么这两个直角三角形相似

96 相似三角形对应高的比对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 97 相似三角形周长的比等于相似比 98 相似三角形面积的比等于相似比的平方

99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值

100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值任意锐角的余切值等于它的余角的正切值

101 圆是定点的距离等于定长的点的集合

102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104 同圆或等圆的半径相等

105 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆 106 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹是着条线段的垂直平分线 107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线

108 到两条平行线距离相等的点的轨迹是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

109 不在同一直线上的三个点确定一条直线

110 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧 112 圆的两条平行弦所夹的弧相等

113 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114 在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等所对的弦的弦心距相等

115 在同圆或等圆中如果两个圆心角两条弧两条弦或两弦的弦心距中有

一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 116 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等

118 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径

119 如果三角形一边上的中线等于这边的一半那么这个三角形是直角三角形 120 圆的内接四边形的对角互补并且任何一个外角都等于它的内对角 121 ①直线L和⊙O相交 d＜r ②直线L和⊙O相切 d=r ③直线L和⊙O相离 d＞r

122 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123 圆的切线垂直于经过切点的半径

124 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126 从圆外一点引圆的两条切线它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

127 圆的外切四边形的两组对边的和相等 128 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129 如果两个弦切角所夹的弧相等那么这两个弦切角也相等 130 圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等

131 如果弦与直径垂直相交那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

132 从圆外一点引圆的切线和割线切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

133 从圆外一点引圆的两条割线这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

134 如果两个圆相切那么切点一定在连心线上 135 ①两圆外离d＞R+r ②两圆外切 d=R+r

③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)

④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r) 136 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137 把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

138 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆这两个圆是同心圆 139 正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n

140 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 141 正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长 142 正三角形面积√3a/4 a表示边长

143 如果在一个顶点周围有k个正n边形的角由于这些角的和应为 360° 因此k×(n-2)180°/n=360°化为 (n-2)(k-2)=4

144 弧长计算公式:L=n∏R/180

145 扇形面积公式:S扇形=n∏R/360=LR/2 146 内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)

第三章例题讲解

【例１】如图10，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F． FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF。（1）求证：ΔBEF∽ΔCEG．（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由．

（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？ A

M BxE

图10

解析过程及每步分值

所以BGCE,DCG1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABDG ············ 1分

GBFE

所以△BEF∽△CEG ························· 3分（2）△BEF与△CEG的周长之和为定值．················· 4分理由一：

过点C作FG的平行线交直线AB于H ，

因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．所以 FH＝CG，FG＝CH 因此，△BEF与△CEG的周长之和等于BC＋CH＋BH

由 BC＝10，AB＝5，AM＝4，可得CH＝8，BH＝6，

所以BC＋CH＋BH＝24 ·························· 6分理由二：

H由AB＝5，AM＝4，可知

DA在Rt△BEF与Rt△GCE中，有：

4343EFBE,BFBE,GEEC,GCCE，

所以，△BEF的周长是

1212BE， △ECG的周长是CE 55又BE＋CE＝10，因此BEF与CEG的周长之和是24． ··········· 6分

43x,GC(10x) 551143622x[(10x)5]x2x ········· 8分所以yEFDG2255255655121(x)2配方得：y． 256655所以，当x时，y有最大值． ····················· 9分

6121最大值为． ······························ 10分

6【例２】如图二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与坐标轴交于点A B C且OA＝

1 OB＝OC＝3 ．

（1）求此二次函数的解析式．（2）写出顶点坐标和对称轴方程．

（3）点M N在y＝ax2＋bx＋c的图像上(点N在点M的右边) 且MN∥x轴求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径．

解析过程及每步分值

，，0)B(3，，0)C(0，3)分别代入yax2bxc （1）依题意A(1········ 1分

（3）设BE＝x，则EF解方程组得所求解析式为yx2x3 ··················· 4分（2）yx2x3(x1)4 ······················ 5分

2224)，对称轴x1 ······················ 7分 顶点坐标(1，r) （3）设圆半径为r，当MN在x轴下方时，N点坐标为(1r，········ 8分

同理可得另一种情形r117 2圆的半径为

117117或 10分

22【例3】已知两个关于x的二次函数y1与当xk时，y217；且二次函数y2的

图象的对称轴是直y2，y1a(xk)22(k0)，y1y2x26x12线x1．

（1）求k的值；

（2）求函数y1，y2的表达式；

（3）在同一直角坐标系内，问函数y1的图象与y2的图象是否有交点？请说明理由．

解析过程及每步分值

（1）由y1a(xk)22，y1y2x26x12

得y2(y1y2)y1x26x12a(xk)22x26x10a(xk)2．又因为当xk时，y217，即k6k1017，解得k11，或k27（舍去），故k的值为1．

（2）由k1，得y2x26x10a(x1)2(1a)x2(2a6)x10a，所以函数y2的图象的对称轴为x22a6，

2(1a)于是，有2a61，解得a1，

2(1a)所以y1x22x1，y22x24x11．

，2)；（3）由y1(x1)22，得函数y1的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为(1由y22x24x112(x1)29，得函数y2的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标

，；为(19)故在同一直角坐标系内，函数y1的图象与y2的图象没有交点．

【例4】如图,抛物线yx24x与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB

所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点. （1）求点A的坐标;

（2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;

（3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当

462S682时,求x的取值范围.

解析过程及每步分值

解：（1）∵yx24x(x2)24 ∴A(-2,-4)

（2）四边形ABP1O为菱形时，P1(-2,4)

4) 548四边形ABP3O为直角梯形时，P1(，)

55612四边形ABOP4为直角梯形时，P1(，)

55四边形ABOP2为等腰梯形时，P1(，（3） 25

由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线l的函数关系式是y=-2x

①当点P在第二象限时，x<0, △POB的面积SPOB∵△AOB的面积SAOB14(2x)4x 21448， 2∴SSAOBSPOB4x8(x0) ∵462S682，

S462∴ S682232x4x84622即 ∴

S1424x86822∴x的取值范围是

142232 x22②当点P在第四象限是，x>0,

过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A′、P′ 则四边形POA′A的面积

SPOAAS梯形PPAASPPO∵△AA′B的面积SAAB42x1(x2)(2x)x4x4 221424 2∴SSPOAASAAB4x8(x0) ∵462S682，

3xS4624x8462∴ 即 ∴S4S6824x8682∴x的取值范围是

【例4】随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。

某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的

利润y1与投资量x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y2与投资量

x成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）

（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；

（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？

解析过程及每步分值

解：（1）设y1=kx,由图①所示，函数y1=kx的图像过（1，2），所以2=k1，k2 故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x；

因为该抛物线的顶点是原点，所以设y2=ax，由图12-②所示，函数y2=ax的图像过（2，2），

2所以2a2，a221 212x； 2（2）设这位专业户投入种植花卉x万元（0x8），

则投入种植树木（8x）万元，他获得的利润是z万元，根据题意，得

111z=2(8x)+x2=x22x16=(x2)214

222当x2时，z的最小值是14；

因为0x8，所以2x26

故利润y2关于投资量x的函数关系式是y所以(x2)36

21(x2)218 212所以(x2)14181432，即z32，此时x8

2所以

当x8时，z的最大值是32.

【例5】如图，已知 A(4,0)，B(0,4)，现以A点为位似中心，相似比为9:4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．

（1）求C点坐标及直线BC的解析式;

（2）一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;

（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为32的点P．

解析过程及每步分值

解:（1）过C点向x轴作垂线，垂足为D，由位似图形性质可知：

△ABO∽△ACD， ∴

AOBO4． ADCD9由已知A(4,0)，B(0,4)可知： AO4,BO4．

∴ADCD9．∴C点坐标为(5,9)．直线BC的解析是为：化简得： yx4

y4x0 94504c（2）设抛物线解析式为yax2bxc(a0)，由题意得：925a5bc ，

b24ac01a225a114解得： b14b25c41c24 ∴解得抛物线解析式为y1x24x4或y2又∵y2124xx4． 255124xx4的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去． 255∴满足条件的抛物线解析式为yx24x4 （准确画出函数yx4x4图象）

（3）将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，设P到直线AB的距离为h，故P点应在与直线AB平行，且相距32的上下两条平行直线l1和l2上．由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为32．如图，设l1与y轴交于E点，过E作EF⊥BC于F点，在Rt△BEF中EFh32，EBFABO45， ∴BE6．∴可以求得直线l1与y轴交点坐标为(0,10) 同理可求得直线l2与y轴交点坐标为(0,2) ∴两直线解析式l1:yx10；l2:yx2．

2yx24x4yx24x4根据题意列出方程组： ⑴；⑵

∴解得：x16x21x32x43

；；；

y116y29y30y41

∴满足条件的点P有四个，它们分别是P2(1,9)，P4(3,1). 1(6,16)，P3(2,0)，P

【例6】如图，抛物线L1:yx22x3交x轴于A、B两点，交y轴于M点.抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2，L2交x轴于C、D两点.

（1）求抛物线L2对应的函数表达式；

（2）抛物线L1或L2在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P是抛物线L1上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上，请说明理由.

解析过程及每步分值

【例7】如图，在矩形ABCD中，AB9，AD33，点P是边BC上的动点（点

P不与点B，点C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，△PQR与矩形

ABCD重叠部分的面积为y．

（1）求CQP的度数；

（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上？（3）①求y与x之间的函数关系式；

②当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的

C P

（备用图1）

（备用图2）

7？ 27C

解析过程及每步分值

解：（1）如图，

四边形ABCD是矩形，ABCD，ADBC．

又AB9，AD33，C90，

CD9，BC33．

tanCDBBC3，CDB30． CD3PQ∥BD，CQPCDB30．

（2）如图1，由轴对称的性质可知，△RPQ≌△CPQ， D

C P B

RPQCPQ，RPCP．

由（1）知CQP30，RPQCPQ60，

R （图1）

RPB60，RP2BP． CPx，PRx，PB33x．

在△RPB中，根据题意得：2(33x)x，解这个方程得：x23．

（3）①当点R在矩形ABCD的内部或AB边上时，

1132x， 0x≤23，S△CPQCPCQx3x222△RPQ≌△CPQ，当0x≤23时，y32x 2，

当R在矩形ABCD的外部时（如图2），23x33在Rt△PFB中，

RPB60，

D C P

PF2BP2(33x)，

又

RPCPx，RFRPPF3x63，

E F R （图2）

在Rt△ERF中，

EFRPFB30，ER3x6．

S△ERF1332ERFRx18x183， 22yS△RPQS△ERF，

当23x33时，y3x218x183．

②矩形面积933273，当0x≤23时，函数y增大，所以y的最大值是63，而矩形面积的32x随自变量的增大而27727373，的值27277而7363，所以，当0x23时，y的值不可能是矩形面积的；

27当23x33时，根据题意，得：

3x218x18373，解这个方程，得x332，因为33233，所以x332不合题意，舍去．所以x332．

综上所述，当x332时，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积等于矩形面积的

7． 27第四章兴趣练习

4.1 代数部分

1. 已知：抛物线yaxbxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．其中点A在x

轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA2x25x40的两个根，且抛物线的对称轴是直线x1．

（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；

（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC

于点E，连结CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．

2. 已知，如图1，过点E0，1作平行于x轴的直线l，抛物线y12x上的两点A、B的4横坐标分别为1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF．

（1）求点A、B、F的坐标；（2）求证：CFDF；

（3）点P是抛物线y12x对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQ⊥PO交x轴4于点Q，是否存在点P使得△OPQ与△CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

y B F A O D l C E （图1）

x F O C E 备用图

D x y 3. 已知矩形纸片OABC的长为4，宽为3，以长OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点（与点O、A不重合），现将△POC沿PC翻折得到△PEC，再在AB边上选取适当的点D，将△PAD沿PD翻折，得到△PFD，使得直线PE、PF重合．

（1）若点E落在BC边上，如图①，求点P、C、D的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；

（2）若点E落在矩形纸片OABC的内部，如图②，设OPx，ADy，当x为何值时，y取得最大值？

（3）在（1）的情况下，过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q，使△PDQ是以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标． y C E y B C F E F D D B O 图①

P A x O P 图②

新世纪教育网 www.xsjjyw.com 精品资料版权所有@新世纪教育网 4. 如图，已知抛物线yx24x3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，•抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（1，0）．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由． y C D A E B O x 5. 如图①，已知抛物线yax2bx3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（－3，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标． y y C C

B B A A M O O x x

图① 图②

二、动态几何

，AD6厘米，DC4厘米，BC的6. 如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，A90°∶4，坡度i3动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出

发以3厘米/秒的速度沿BCD方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动

点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t秒．（1）求边BC的长；

（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；

（3）连结PQ，设△PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？

DCQAB

P 1127. 已知：直线yx1与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线yxbxc与直线交

22于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；

（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标．

（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AMMC|的值最大，求出点M的坐标．

2y E A D O B C x 8. 已知：抛物线yaxbxca0的对称轴为x1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A3， 2．0、C0，（1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关

系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

O A B

x 4)；矩形9. 如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为(2，ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD2，AB3．

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；

（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动．设它们运动的时间为t秒．．．．．（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．

5时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由； 2②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这

①当t个最大值；若不存在，请说明理由．

C B

D O (A) E

图1

10. 已知抛物线：y1y C N B M P x D O A 图2

E x 12x2x． 2（1）求抛物线y1的顶点坐标．

（2）将抛物线y1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y2，求抛物线

y2的解析式．

（3）如下图，抛物线y2的顶点为P，x轴上有一动点M，在y1、y2这两条抛物线上是

否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

【提示：抛物线yax2bxc（a0）的对称轴是xb，顶点坐标是2ab4acb2，】 2a4a

2y 5 4 3 2 1 P y2 y1 5 6 7 8 9 x 1 O 1 2 3 4 1 2 3 4 11. 如图，已知抛物线C1：yax25的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．

（1）求P点坐标及a的值；（4分）

（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）

（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．（5分）

0)、C(8，0)、D(8，8)．12. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(4，抛

物线yax2bx过A、C两点．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于

点E．

①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？ ②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值． y A F D

P E Q

C O B x

13. 如图1，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，-1），且P（-1，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．

（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

 y QB AO x MC P 图2

14. 如图，矩形ABCD中，AB = 6cm，AD = 3cm，点E在边DC上，且DE = 4cm．动点P从点A开始沿着A→B→C→E的路线以2cm/s的速度移动，动点Q从点A开始沿着AE以1cm/s的速度移动，当点Q移动到点E时，点P停止移动．若点P、Q从点A同时出发，设点Q移动时间为t（s），P、Q两点运动路线与线段PQ围成的图形面积为S（cm2），求S与t的函数关系式． D E C Q A B P 15. 如图，已知二次函数y(xm)kx轴相交于两个不同的点 m 的图象与

22A(x1，0)、B(x2，0)，与y轴的交点为C．设△ABC的外接圆的圆心为点P．

（1）求⊙P与y轴的另一个交点D的坐标；

（2）如果AB恰好为⊙P的直径，且△ABC的面积等于5，求m和k的值．

16. 如图，点A、B坐标分别为（4，0）、（0，8），点C是线段OB上一动点，点E在x轴

Ett(0)正半轴上，四边形OEDC是矩形，且OE2OC．设O重合部分的面积为S．根据上述条件，回答下列问题：（1）当矩形OEDC的顶点D在直线AB上时，求t的值；（2）当t4时，求S的值；

（3）直接写出S与t的函数关系式；（不必写出解题过程）（4）若S12，则t ．

17. 直线y，矩形OEDC与△AOBy B C O D E A x 3x6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到4运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→

达A点，运动停止．点Q沿线段OA

B→A运动．

（1）直接写出A、B两点的坐标；

（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当S48时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第5四个顶点M的坐标． y B

x Q O A

18. 如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部的线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：SABC于水平宽与铅垂高乘积的一半．

A铅垂高

1ah，即三角形面积等2图1

解答下列问题：

如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；

（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB=

9S△CAB，8若存在，

求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． y

D 1 x

O 1 A

图2

19. 如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为(10)点B在x轴上．已，、，(03)，知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．

（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P的横坐标为m用含m的代数式表示线段PF的长．，（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．

B x A O F

C P x=1

20. 如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，B60°．从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿ACB的方向运动，点Q以2厘米/秒的速

度沿ABCD的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，设

P、Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米（这里规定：．．．．

点和线段是面积为O的三角形），解答下列问题：（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是秒；

（2）点P、当△APQ是等边三角形时x的值是秒； Q从开始运动到停止的过程中，（3）求y与x之间的函数关系式．

D P A Q B C 21. 定义一种变换：平移抛物线F1得到抛物线F2，使F2经过F1的顶点A．设F2的对称轴分别交F1，F2于点D，B，点C是点A关于直线BD的对称点．

0)，（1）如图1，若F1：yx，经过变换后，得到F2：yxbx，点C的坐标为(2，则①b的值等于______________；

②四边形ABCD为（）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

22B的坐标为(2，c1)，求△ABD的（2）如图2，若F1：yaxc，经过变换后，点

面积；

21227xx，经过变换后，AC23，点P是直线AC上的333动点，求点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值．

（3）如图3，若F1：y y D O（A） B （图1）

F1 F2

y D F1 F2 A B O （图3）

x y D P C x A O B C x C F1 F2 （图2）

22. 如图，已知直线y1x1交坐标轴于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形2ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E．

（1）请直接写出点C,D的坐标；（2）求抛物线的解析式；

（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上

时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关

系式，并写出相应自变量t的取值范围；

（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C ,E两点

间的抛物线弧所扫过的面积．

D C

x O B E 1yx12

E23. 如图，点A、B坐标分别为（4，0）、（0，8），点C是线段OB 上一动点，点在x轴

Ett(0)正半轴上，四边形OEDC是矩形，且OE2OC．设O，矩形OEDC与△AOB重合部分的面积为S．根据上述条件，回答下列问题：

（1）当矩形OEDC的顶点D在直线AB上时，求t的值；（2）当t4时，求S的值；

（3）直接写出S与t的函数关系式；（不必写出解题过程） y B （4）若S12，则t ．

D C O x E A

24. 如图所示，某校计划将一块形状为锐角三角形ABC的空地进行生态环境改造．已知△ABC的边BC长120米，高AD长80米．学校计划将它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分（如图）．其中矩形EFGH的一边EF在边BC上，其余两个顶点H、G分别在边AB、AC上．现计划在△AHG上种草，每平米投资6元；在△BHE、△FCG上都种花，每平方米投资10元；在矩形EFGH上兴建爱心鱼池，每平方米投资4元．

（1）当FG长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等？

（2）当矩形EFGH的边FG为多少米时，△ABC空地改造总投资最小？最小值为多少？

25. 已知：t1，t2是方程t2t240的两个实数根，且t1t2，抛物线y2A H K G B

D F

22xbxc的图象经过点A(t1，，0)B(0，t2)． 3（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设点P(x，y)是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形，求

OPAQ的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

OPAQ的面积为24时，是否存在这样的点P，使

OPAQ（3）在（2）的条件下，当

为正方形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

y Q B

x O A

三、说理题

0)B(1，，0)C(0，2)三点． 26. 如图，抛物线经过A(4，，（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

y x O B 1 4 A

27. 如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．抛物线yax2bxc与y轴交于点D，与直线yx交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C．（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长．（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由．

D N

E A O x C F M B

28. 如图1，已知：抛物线y过B、C两点的直线是y12xbxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，经21x2，连结AC． 2（1）B、C两点坐标分别为B（_____，_____）、C（_____，_____），抛物线的函数关系

式为______________；

（2）判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）若△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFC（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）？若能，求出在AB边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．

b4acb2[抛物线yaxbxc的顶点坐标是,]

2a4a2

y y A C O B x A C O B x 图1

图2(备用)

29. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．

（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与

线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为

6，那么5EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

D B A E x

O C

30. 如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CMCEEO（1）试比较EO、EC的大小，并说明理由．（2）令m由．

（3）在（2）的条件下，若CO1，CE，Q为AE上一点且QF，再以CM、CO为边作矩形CMNO．

S四边形CFGH，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理

S四边形CMNO132，抛物线3ymx2bxc经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式．

（4）在（3）的条件下，若抛物线ymxbxc与线段AB交于点P，试问在直线BC2K为顶点的三角形与△AEF相似？若存在，B、上是否存在点K，使得以P、请求直线KP与y轴的交点T的坐标；若不存在，请说明理由．

4.2 几何部分

经典难题（一）

1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．（初二） C E

A B

D O F

2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．

A D 求证：△PBC是正三角形．（初二）

P C B

3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、

CC1、DD1的中点．

A D

求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二） D2 A2 A1

B2 C2

B C

4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC

的延长线交MN于E、F．

F 求证：∠DEN＝∠F． E

N C

经典难题（二）

1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M． A （1）求证：AH＝2OM；

（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）

· H E

B C M D

2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q． G E 求证：AP＝AQ．（初二） O · C

B D

M N Q P A

3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：

设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN

E 于P、Q．

C 求证：AP＝AQ．（初二）

A Q M · N P

· O B

4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形

CBFG，点P是EF的中点．

D 求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二） G C E

经典难题（三）

1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．

求证：CE＝CF．（初二）

D A

F E

B C

2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．

求证：AE＝AF．（初二）

A D F

B C

3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．

求证：PA＝PF．（初二） A D A

B P C E

4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于

B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）

O D B P

经典难题（四）

1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．

求：∠APB的度数．（初二）

A P B C

2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．（初二） A D

B C 3、Ptolemy（托勒密）定理：设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）

B C

4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且 AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二） A D F

P B E C

经典难题（五）

1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，l＝PA＋PB＋PC，求证：

≤l＜2．

B A P C D 2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．

3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．

A B P C D P

B C 4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．

第五章复习提纲

初中数学总复习提纲

第一章实数

★重点★ 实数的有关概念及性质，实数的运算 ☆内容提要☆

一、重要概念

1．数的分类及概念数系表：

正整数

0 整数

(有限或无限循环性数) 负整数有理数

正分数分数

负分数实数

正无理数

无理数(无限不循环小数)

负无理数

说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）

2）有标准

整数有理数分数正数无理数

实数 0 整数有理数分数负数

无理数

2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x≥0）常见的非负数有：

a2(a为一切实数) │a│

a(a≥0)

性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。 3．倒数： ①定义及表示法

②性质：A.a≠1/a（a≠±1）;B.1/a中，a≠0;C.0＜a＜1时1/a＞1;a

＞1时，1/a＜1;D.积为1。 4．相反数： ①定义及表示法

②性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商

为-1。

5．数轴：①定义（“三要素”）

②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）

定义及表示：

奇数：2n-1

偶数：2n（n为自然数）

7．绝对值：①定义（两种）：

代数定义： a(a≥0)

│a│= -a(a<0)

几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。

②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。

二、实数的运算

1．运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）

2．运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的] 分配律）

3．运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左” 到“右”（如5÷

1×5）;C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。 5三、应用举例（略）

附：典型例题

1．已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b│ =b-a.

a x b

2.已知：a-b=-2且ab<0，（a≠0，b≠0），判断a、b的符号。

第二章代数式

★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算 ☆内容提要☆

一、重要概念

分类：单项式

整式多项式有理式分式代数式无理式

1.代数式与有理式

用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。整式和分式统称为有理式。

2.整式和分式

含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。 3.单项式与多项式

没有加减运算的整式叫做单项式。（数字与字母的积—包括单独的一个数或字母）几个单项式的和，叫做多项式。

说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如，

x2 =x,x2=│x│等。

x4.系数与指数

区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看 5.同类项及其合并

条件：①字母相同;②相同字母的指数相同合并依据：乘法分配律 6.根式

表示方根的代数式叫做根式。

含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。

注意：①从外形上判断;②区别：3、7是根式，但不是无理式（是无理数）。 7.算术平方根

⑴正数a的正的平方根（a[a≥0—与“平方根”的区别]）; ⑵算术平方根与绝对值

① 联系：都是非负数，a2=│a│

②区别：│a│中，a为一切实数;a中，a为非负数。

8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化

化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。

把分母中的根号划去叫做分母有理化。 9.指数

n⑴ a·a…a=a (a—幂，乘方运算)

n个

nnn① a＞0时，a＞0;②a＜0时，a＞0（n是偶数），a＜0（n是奇数） ⑵零指数：a=1（a≠0）负整指数：ap0=1/a（a≠0,p是正整数）

二、运算定律、性质、法则

1．分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则 2．分式的性质

bbm=（m≠0） aambbb⑵符号法则：

aaa⑴基本性质：

⑶繁分式：①定义;②化简方法（两种）

3．整式运算法则（去括号、添括号法则） 4．幂的运算性质：①a·a=am

nmn;②a÷a=amnmn;③(am)n=amn;④

anan(ab)=ab;⑤()n

bbnnn技巧：()bapa()p b5．乘法法则：⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。 6．乘法公式：（正、逆用）(ab)2a22abb2 （a+b）（a-b）=ab (a±b)(a2abb2)=ab

7．除法法则：⑴单÷单;⑵多÷单。 8．因式分解：⑴定义;⑵方法：A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分组分解法;E.求根公式法。

9．算术根的性质：

3322a2＝a;(a)2a(a0);abab(a≥0,b≥

0);

aa(a≥0,b＞0)(正用、逆用) bb10．根式运算法则：⑴加法法则（合并同类二次根式）;⑵乘、除法法则;⑶分母有理

化：A.

1a;B.

bab1;C.. aamanbn11．科学记数法：a10（1≤a＜10,n是整数＝三、应用举例（略）四、数式综合运算（略）

第三章统计初步

★重点★

☆ 内容提要☆

一、重要概念

1.总体：考察对象的全体。

2.个体：总体中每一个考察对象。 3.样本：从总体中抽出的一部分个体。 4.样本容量：样本中个体的数目。

5.众数：一组数据中，出现次数最多的数据。

6.中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数据的平均数）

二、计算方法

1.样本平均数：⑴x1''(x1x2xn);⑵若x1x1a，x2x2a，…，n'xnxna,则xx'a(a—常数，x1，x2，…，xn接近较整的常数a);⑶加权平均数：

xx1f1x2f2xkfk(f1f2fkn);⑷平均数是刻划数据的集中趋势（集

n中位置）的特征数。通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确。

1[(x1x)2(x2x)2(xnx)2];⑵若n21'2'2'22''''x1x1a,x2x2a,…,xnxna,则s[(x1x2xn)nx]（a

n2．样本方差：⑴s2—接近x1、x2、…、xn的平均数的较“整”的常数）;若x1、x2、…、xn较“小”较“整”，则s221222[(x1x2xn)nx];⑶样本方差是刻划数据的离散程度（波动大小）n的特征数，当样本容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差去估计总体方差。

3．样本标准差：ss2

三、应用举例（略）

第四章直线形

★重点★相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、性质。 ☆ 内容提要☆

一、直线、相交线、平行线

1．线段、射线、直线三者的区别与联系从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。 2．线段的中点及表示

3．直线、线段的基本性质（用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”） 4．两点间的距离（三个距离：点-点;点-线;线-线）

5．角（平角、周角、直角、锐角、钝角） 6．互为余角、互为补角及表示方法 7．角的平分线及其表示

8．垂线及基本性质（利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”） 9．对顶角及性质

10．平行线及判定与性质（互逆）（二者的区别与联系）

11．常用定理：①同平行于一条直线的两条直线平行（传递性）;②同垂直于一条直线的两条直线平行。

12．定义、命题、命题的组成 13．公理、定理 14．逆命题

二、三角形分类：⑴按边分;

⑵按角分

1．定义（包括内、外角）

2．三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n边形内角和;④n边形外角和。⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。⑶角与边：在同一三角形中，

等边等角

大边大角

小边小角

3．三角形的主要线段

讨论：①定义②××线的交点—三角形的×心③性质 ① 高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线

⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形

4．特殊三角形（直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形）的判定与性质

5．全等三角形

⑴一般三角形全等的判定（SAS、ASA、AAS、SSS） ⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②专用方法 6．三角形的面积

⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。 7．重要辅助线

⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线 8．证明方法

⑴直接证法：综合法、分析法

⑵间接证法—反证法：①反设②归谬③结论 ⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等 ⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法 ⑸证线段和差关系：延结法、截余法 ⑹证面积关系：将面积表示出来

三、四边形分类表：

1．一般性质（角） ⑴内角和：360°

⑵顺次连结各边中点得平行四边形。

推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。

推论2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。 ⑶外角和：360° 2．特殊四边形

⑴研究它们的一般方法:

定义→性质→判定

对面边角对称积角性线轴中对心

称对称

⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定 ⑶判定步骤：四边形→平行四边形→矩形→正方形

┗→菱形──↑

⑷对角线的纽带作用：

相等且互相平分矩形垂直相等互相平分相等且互相垂直四边形平行四边形正方形

相等垂直菱形

互相垂直平分

互相垂直平分且相等

3．对称图形

⑴轴对称（定义及性质）;⑵中心对称（定义及性质） 4．有关定理：①平行线等分线段定理及其推论1、2

②三角形、梯形的中位线定理 ③平行线间的距离处处相等。（如，找下图中面积相等的三角形）

5．重要辅助线：①常连结四边形的对角线;②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。

6．作图：任意等分线段。

四、应用举例（略）

第五章方程（组）

★重点★一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法;方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）

☆ 内容提要☆

一、基本概念

1．方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组） 2．分类：

一次方程二次方程高次方程

整式方程

有理方程方程无理方程

分式方程

二、解方程的依据—等式性质 1．a=b←→a+c=b+c

2．a=b←→ac=bc (c≠0) 三、解法

1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→ 系数化成1→解。

2．元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法 ②加减法

四、一元二次方程

1．定义及一般形式：ax2bxc0(a0) 2．解法：⑴直接开平方法（注意特征）

⑵配方法（注意步骤—推倒求根公式）

⑶公式法：x1,2bb24ac2(b4ac0)

2a⑷因式分解法（特征：左边=0）

3．根的判别式：b4ac 4．根与系数顶的关系：x1x22bc,x1x2 aa逆定理：若x1x2m,x1x2n，则以x1,x2为根的一元二次方程是：

x2mxn0。

5．常用等式：x1x2(x1x2)2x1x2 (x1x2)(x1x2)4x1x2 五、可化为一元二次方程的方程

1．分式方程 ⑴定义

去分母 ⑵基本思想：分式方程整式方程

⑶基本解法：①去分母法②换元法（如，⑷验根及方法 2．无理方程 ⑴定义

⑵基本思想：

3x62x27） x1x2无理方程

乘方有理方程

⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②换元法（例，2x2917x2）⑷验根及方法

3．简单的二元二次方程组

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。

六、列方程（组）解应用题㈠概述

列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：

⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。 ⑹答案。

综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。

㈡常用的相等关系

1．行程问题（匀速运动）基本关系：s=vt

C A B ⑴相遇问题(同时出发)：相遇处 ←乙甲→

s甲+s乙=sAB;t甲t乙

⑵追及问题（同时出发）：

A 甲→ (甲)→ A 乙→

B 乙→ （相遇处）

B （相遇处）

而后在B处追

C s甲sACs乙;t甲(AB)t乙(CB)

若甲出发t小时后，乙才出发，

上甲，则

s甲s乙;t甲tt乙

⑶水中航行：v顺船速水速;v逆船速水速

2．配料问题：溶质=溶液×浓度溶液=溶质+溶剂 3．增长率问题：ana1(1r)n1

4．工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位“1”）。 5．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。㈢注意语言与解析式的互化如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、…… 又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc。

㈣注意从语言叙述中写出相等关系。

如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x与y的差为3，则x-y=3。㈤注意单位换算如，“小时”“分钟”的换算;s、v、t单位的一致等。

七、应用举例（略）

第六章一元一次不等式（组）

★重点★一元一次不等式的性质、解法 ☆ 内容提要☆

1．定义：a＞b、a＜b、a≥b、a≤b、a≠b。

2．一元一次不等式：ax＞b、ax＜b、ax≥b、ax≤b、ax≠b(a≠0)。 3．一元一次不等式组：

4．不等式的性质：⑴a>b←→a+c>b+c

⑵a>b←→ac>bc(c>0) ⑶a>b←→ac⑷（传递性）a>b,b>c→a>c ⑸a>b,c>d→a+c>b+d.

5．一元一次不等式的解、解一元一次不等式

6．一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组（在数轴上表示解集） 7．应用举例（略）

第七章相似形

★重点★相似三角形的判定和性质 ☆内容提要☆

一、本章的两套定理

第一套（比例的有关性质）： bd 反比性质： ac adcabc或 adbc更比性质： bdbacd （比例基本定理） abcd合比性质： bdacmacma(bdn0)等比性质: bdnbdnb涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分

割等。

第二套：

平行线分线段

应用于△中推论成比例定理

(骨干定理)

(基本定理)

判定定推论的

理推论

逆定理

相似基本定理相似Rt△ 三角定理3 形定理2 定理1

推论

注意：①定理中“对应”二字的含义;

②平行→相似（比例线段）→平行。二、相似三角形性质

1．对应线段…;2．对应周长…;3．对应面积…。三、相关作图

①作第四比例项;②作比例中项。四、证（解）题规律、辅助线 1．“等积”变“比例”，“比例”找“相似”。

2．找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。⑴

amcmm,(为中间比) bndnnamcm'⑵,',nn bndnamcm'mm'''⑶,'(mm,nn或') bndnnn3．添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

4．对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。

5．对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。

五、应用举例（略）

第八章函数及其图象

★重点★正、反比例函数，一次、二次函数的图象和性质。 ☆ 内容提要☆

一、平面直角坐标系 1．各象限内点的坐标的特点 2．坐标轴上点的坐标的特点

3．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点

4．坐标平面内点与有序实数对的对应关系

二、函数

1．表示方法：⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。

2．确定自变量取值范围的原则：⑴使代数式有意义;⑵使实际问题有意义。

3．画函数图象：⑴列表;⑵描点;⑶连线。

三、几种特殊函数（定义→图象→性质） 1．正比例函数

⑴定义：y=kx(k≠0) 或y/x=k。 ⑵图象：直线（过原点） ⑶性质：①k>0，…②k<0，… 2．一次函数

⑴定义：y=kx+b(k≠0)

⑵图象：直线过点（0,b）—与y轴的交点和（-b/k,0）—与x轴的交点。

y y y y o (k>0,b>0) x o (k<0,b>0) x o (k>0,b<0) x o (k<0,b<0) x

⑶性质：①k>0,…②k<0,… ⑷图象的四种情况： 3．二次函数

⑴定义：yaxbxc(a0)(一般式) ya(xh)k(a0)(顶点式)

特殊地，yax(a0),yaxk(a0)都是二次函数。

⑵图象：抛物线（用描点法画出：先确定顶点、对称轴、开口方向，再对称地描点）。

2222yax2bxc(a0)用配方法变为ya(xh)2k(a0)，则顶点为（h,k）;

对称轴为直线x=h;a>0时，开口向上;a<0时，开口向下。

⑶性质：a>0时，在对称轴左侧…，右侧…;a<0时，在对称轴左侧…，右侧…。 4.反比例函数 ⑴定义：ykkx1或xy=k(k≠0)。 x⑵图象：双曲线（两支）—用描点法画出。

⑶性质：①k>0时，图象位于…，y随x…;②k<0时，图象位于…，y随x…;③两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。

四、重要解题方法

的解析式，要合理选用一般式或顶点式，并应充分运用抛物线关于对称轴对称的特点，寻找新的点的坐标。如下图：

2．利用图象一次（正比例）函数、反比例函数、二次函数中的k、b;a、b、c的符号。

六、应用举例（略）

第九章解直角三角形

★重点★解直角三角形 ☆ 内容提要☆ 一、三角函数

1．定义：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，则sinA= ;cosA= ;tgA= ;ctgA= . 2．特殊角的三角函数值： sinα cosα ctgα 0° 30° 45° 60° 90° / tgα / 3．互余两角的三角函数关系：sin(90°-α)=cosα;… 4．三角函数值随角度变化的关系 5．查三角函数表二、解直角三角形

1．定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 2．依据：①边的关系：abc

②角的关系：A+B=90°

③边角关系：三角函数的定义。

注意：尽量避免使用中间数据和除法。

三、对实际问题的处理

1．俯、仰角： 2．方位角、象限角： 3．坡度：北 i h 仰角西 α 东俯角 l i=h/l=tgα 南

4．在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。四、应用举例（略）

第十章圆

★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④

与圆有关的比例线段定理。

☆ 内容提要☆

一、圆的基本性质

1．圆的定义（两种）

2．有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 3．“三点定圆”定理 4．垂径定理及其推论 5．“等对等”定理及其推论

5．与圆有关的角：⑴圆心角定义（等对等定理）

⑵圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系） ⑶弦切角定义（弦切角定理）

二、直线和圆的位置关系 1.三种位置及判定与性质： d>R 直线与圆相离 d=R 直线与圆相切 d2.切线的性质（重点） 3.切线的判定定理（重点）。圆的切线的判定有⑴…⑵… 4．切线长定理

三、圆换圆的位置关系

1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切) d>R+r 外离 d=R+r 外切 R-r2.相切（交）两圆连心线的性质定理

3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质

四、与圆有关的比例线段 1.相交弦定理 2.切割线定理

五、与和正多边形

O 1.圆的内接、外切多边形（三角形、四边形）

α 2.三角形的外接圆、内切圆及性质 3.圆的外切四边形、内接四边形的性质 β A M B 4.正多边形及计算

3602(右图) n(n2)1801(右图) 内角的一半：n2中心角：n（解Rt△OAM可求出相关元素,Sn、Pn等）六、一组计算公式

1.圆周长公式 2.圆面积公式

3.扇形面积公式 4.弧长公式

5.弓形面积的计算方法

6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算

七、点的轨迹

六条基本轨迹

八、有关作图

1.作三角形的外接圆、内切圆 2.平分已知弧

3.作已知两线段的比例中项 4.等分圆周：4、8;6、3等分

九、基本图形

十、重要辅助线 1.作半径

2.见弦往往作弦心距

3.见直径往往作直径上的圆周角 4.切点圆心莫忘连

5.两圆相切公切线（连心线） 6.两圆相交公共弦

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