(时间：20分钟 分值：32分)
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1．(14分)(2018·百校联盟4月联考)如图1所示，半径为R的四分之一光滑圆弧轨道固定在地面上．长直平板车放在光滑的水平面上，其右端与光滑圆弧轨道等高且平滑对接．小车的左端挡板上连接有一劲度系数很大的轻质弹簧．平板车右端到弹簧右端的距离为L.一物块从四分之一圆弧轨道的上端由静止下滑，运动到圆弧轨道的最低点时对轨道的压力为F，平板车的质量为物块质量的3倍．重力加速度为g，整个过程中忽略弹簧的形变量，求：
图1
(1)物块的质量大小；
(2)若平板车的上表面光滑，物块在平板车上运动的时间为多少(不计物块与弹簧作用的时间)；
(3)若平板车的上表面粗糙，物块滑上车后最终停在平板车的右端，则物块与平板车上表面间的动摩擦因数为多少；物块与弹簧作用过程中弹簧具有的最大弹性势能为多少．
【解析】 (1)物块在四分之一光滑圆弧轨道上下滑的过程中，根据机械能12守恒得：mgR＝2mv
v2
在轨道最低点，由牛顿第二定律得：F－mg＝mR F
联立解得：m＝3g.
(2)物块滑上平板车的速度v＝2gR
物块与轻弹簧发生弹性碰撞的过程，由动量守恒得：mv＝3mv1－mv2 1112
由能量守恒得：2mv2＝2×3mv21＋mv2 2
11
联立解得：v1＝v2＝2v＝22gR
LL
则物块与弹簧作用前在车上运动的时间：t1＝v＝
2gRLLL
物块与弹簧作用后在车上运动的时间为t2＝＝v＝ v1＋v22gR因此物块在平板车上运动的总时间为t＝t1＋t2＝
2L
. 2gR
(3)设物块与平板车上表面间的动摩擦因数为μ，物块停在平板车右端时物块与车的共同速度为v3，根据动量守恒得：mv＝4mv3
11
根据功能关系得：2μmgL＝2mv2－2×4mv23 3R联立解得：μ＝8L
当弹簧具有最大弹性势能时，物块与平板车具有共同速度，根据动量守恒得：mv＝4mv4
112根据功能关系得：μmgL＋Ep＝2mv2－2×4mv4 1联立解得：Ep＝8FR.
F2L3R1
【答案】 (1)3g (2) (3)8L 8FR
2gR
2．(18分)(2018·湖南株洲质检)如图2所示，在真空室内的P点，能沿纸面向各个方向不断发射电荷量为＋q、质量为m的粒子(不计重力)，粒子的速率都相同．ab为P点附近的一条水平直线，P到直线ab的距离PC＝L，Q为直线ab5
上一点，它与P点相距PQ＝2L.当直线ab以上区域只存在垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场时，水平向左射出的粒子恰到达Q点；当ab以上区域只存在平行该平面的匀强电场时，所有粒子都能到达ab直线，且它们到达ab直线时动能都相等，其中水平向左射出的粒子也恰好到达Q点．已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
图2
(1)粒子的发射速率；
(2)匀强电场的场强大小和方向；
(3)仅有磁场时，能到达直线ab的粒子所用最长时间和最短时间的比值． 【解析】 (1)设粒子做匀速圆周运动的半径为R，过O作PQ的垂线交PQ于A点，如图甲所示：
甲
由几何知识可得 PCPQ
＝QAQO
5L代入数据可得粒子轨迹半径R＝QO＝8 v2
洛伦兹力提供向心力Bqv＝mR 5BqL
解得粒子发射速度为v＝8m. (2)真空室只加匀强电场时，由粒子到达ab直线的动能相等，可知ab为等势面，电场方向垂直ab向下．
水平向左射出的粒子经时间t到达Q点，在这段时间内 L
CQ＝2＝vt 1
PC＝L＝2at2
qE
式中a＝m 25qLB2
解得电场强度的大小为E＝8m. (3)只有磁场时，粒子以O1为圆心沿圆弧PD运动，当圆弧和直线ab相切于D点时，粒子速度的偏转角最大，对应的运动时间最长，如图乙所示．据图有
乙
L－R3sin α＝R＝5 解得α＝37°
故最大偏转角γmax＝233°
γmax粒子在磁场中运动最大时长t1＝360°T 式中T为粒子在磁场中运动的周期．
粒子以O2为圆心沿圆弧PC运动的速度偏转角最小，对应的运动时间最短．据图乙有
L/24sin β＝R＝5 解得β＝53°
速度偏转角最小为γmin＝106° γmin故最短时长t2＝360°T
因此，粒子到达直线ab所用最长时间和最短时间的比值 t1γmax233t2＝γmin＝106. 5BqL25B2qL233
【答案】 (1)8m (2)8m 电场方向垂直ab向下 (3)106
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