新人教版《一元二次方程》单元综合测试题含答案

一、填空题(每题2分，共2020

11．方程x(x－3)=5(x－3)的根是_______．

22．下列方程中，是关于x的一元二次方程的有________．

11(1)2y2+y－1=0；(2)x(2x－1)=2x2；(3)2－2x=1；(4)ax2+bx+c=0；(5)x2=0．

2x3．把方程(1－2x)(1+2x)=2x2－1化为一元二次方程的一般形式为________．

2114．如果2－－8=0，则的值是________．

xxx5．关于x的方程(m2－1)x2+(m－1)x+2m－1=0是一元二次方程的条件是________． 6．关于x的一元二次方程x2－x－3m=0•有两个不相等的实数根，则m•的取值范围是定______________．

7．x2－5│x│+4=0的所有实数根的和是________． 8．方程x4－5x2+6=0，设y=x2，则原方程变形_________ 原方程的根为________．

9．以－1为一根的一元二次方程可为_____________(写一个即可)．

110．代数式x2+8x+5的最小值是_________．

2二、选择题(每题3分，共18分)

11．若方程(a－b)x2+(b－c)x+(c－a)=0是关于x的一元二次方程，则必有( )． A．a=b=c B．一根为1 C．一根为－1 D．以上都不对

x2x612．若分式2的值为0，则x的值为( )．

x3x2 A．3或－2 B．3 C．－2 D．－3或2 13．已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8，则x2+y2的值为( )． A．－5或1 B．1 C．5 D．5或－1

14．已知方程x2+px+q=0的两个根分别是2和－3，则x2－px+q可分解为( )． A．(x+2)(x+3) B．(x－2)(x－3) C．(x－2)(x+3) D．(x+2)(x－3)

15已知α，β是方程x2+2020x+1=0的两个根，则(1+2020α+α2)(1+2020β+β2)的值为( )．

A．1 B．2 C．3 D．4

16．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2－6x+8=0的解，•则这个三角形的周长是( )．

- 1 -

A．8 B．8或10 C．10 D．8和10 三、用适当的方法解方程(每小题4分，共16分)

17．(1)2(x+2)2－8=0； (2)x(x－3)=x；

(3)3x2=6x－3； (4)(x+3)2+3(x+3)－4=0．

四、解答题(18，19，20201题每题7分，22，23题各9分，共46分) 18．如果x2－10x+y2－16y+89=0，求

x的值． y

19．阅读下面的材料，回答问题:

解方程x4－5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是:

设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2－5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4． 当y=1时，x2=1，∴x=±1； 当y=4时，x2=4，∴x=±2；

∴原方程有四个根:x1=1，x2=－1，x3=2，x4=－2．

(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到________的目的，•体现了数学的转化思想． (2)解方程(x2+x)2－4(x2+x)－12=0．

2020图，是丽水市统计局公布的2020～2020年全社会用电量的折线统计图．

（1） 填写统计表:

- 2 -

2020～2020年丽水市全社会用电量统计表: 年 份 2020 2020 2020 2020 全社会用电量 13.33 (单位:亿kW·h)

(2)根据丽水市2020年至2020年全社会用电量统计数据，求这两年年平均增长的百分率(保留两个有效数字)．

21．某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．

(1)若商场要求该服装部每天盈利12020，每件衬衫应降价多少元？ (2)试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．

1122．设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程x2+bx+c－a=0有两个

22相等的实数根，•方程3cx+2b=2a的根为x=0． (1)试判断△ABC的形状．

(2)若a，b为方程x2+mx－3m=0的两个根，求m的值．

23．已知关于x的方程a2x2+(2a－1)x+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．(1)求a的取值范围；(2)是否存在实数a，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．

- 3 -

1． 4 ∴当a<0时，方程有两个不相等的实数根． 解:(1)根据题意，得△=(2a－1)2－4a2>0，解得a<

(2)存在，如果方程的两个实数根x1，x2互为相反数，则x1+x2=－①，

2a1=0 a11，经检验，a=是方程①的根． 221 ∴当a=时，方程的两个实数根x1与x2互为相反数．

2 上述解答过程是否有错误？如果有，请指出错误之处，并解答．

24、如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；点Q以2cm/s的速度向点B移动，经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm? D C

Q

B A P

25、如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝12cm，AB＝6cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动(不与B点重合)，动直线QD从AB开始以2cm/s速度向上平行移动，并且分别与BC、AC交于Q、D点，连结DP，设动点P与动直线QD同时出发，运动时间为t秒，

(1)试判断四边形BPDQ是什么特殊的四边形？如果P点的速度是以1cm/s，

C 则四边形BPDQ还会是梯形吗？那又是什么特殊的四边形呢？

(2)求t为何值时，四边形BPDQ的面积最大，最大面积是多少？

解得a=

Q

D

1、如图，在平面直角坐标系内，已知点A(0，6)、点B(8，0)，动点↑ P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点BA B Q从点←P 开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的y - 4 -

A P O Q x 时间为t秒，

(1)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？

24(2)当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？

5

2、有一边为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ＝PR＝5cm，QR＝8cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q两点重合时，等腰三角形PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头方向匀速运动，

(1)t秒后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为5，求时间t； (2)当正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为7，求时间t；

A D

P

Q R C B

3、如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D，(1)求点B的坐标；(2)当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；(3)当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB， y BD5且，求这时点P的坐标；

C BA8B

D

A O P

- 5 -

l

x

答案:

1．x1=3，x2=10

2．(5) 点拨:准确掌握一元二次方程的定义:即含一个未知数，未知数的最高次数是2，整式方程． 3．6x2－2=0 4．4 －2 点拨:把5．m≠±1 6．m>－

1看做一个整体． x1 点拨:理解定义是关键． 127．0 点拨:绝对值方程的解法要掌握分类讨论的思想． 8．y2－5y+6=0 x1=2，x2=－2，x3=3，x4=－3

9．x2－x=0(答案不唯一) 10．－27

11．D 点拨:满足一元二次方程的条件是二次项系数不为0．

12．A 点拨:准确掌握分式值为0的条件，同时灵活解方程是关键．

13．B 点拨:理解运用整体思想或换元法是解决问题的关键，同时要注意x2+y2式子本身的属性．

14．C 点拨:灵活掌握因式分解法解方程的思想特点是关键． 15．D 点拨:本题的关键是整体思想的运用．

16．C 点拨:•本题的关键是对方程解的概念的理解和三角形三边关系定理的运用． 17．(1)整理得(x+2)2=4， 即(x+2)=±2， ∴x1=0，x2=－4 (2)x(x－3)－x=0， x(x－3－1)=0， x(x－4)=0， ∴x1=0，x2=4．

(3)整理得3x2+3－6x=0， x2－23x+1=0，

由求根公式得x1=3+2，x2=3－2． (4)设x+3=y，原式可变为y2+3y－4=0，

- 6 -

解得y1=－4，y2=1， 即x+3=－4，x=－7． 由x+3=1，得x=－2．

∴原方程的解为x1=－7，x2=－2． 18．由已知x2－10x+y2－16y+89=0， 得(x－5)2+(y－8)2=0， ∴x=5，y=8，∴

x5=． y819．(1)换元 降次

(2)设x2+x=y，原方程可化为y2－4y－12=0， 解得y1=6，y2=－2．

由x2+x=6，得x1=－3，x2=2． 由x2+x=－2，得方程x2+x+2=0，

b2－4ac=1－4×2=－7<0，此时方程无解． 所以原方程的解为x1=－3，x2=2． 20201) 年 份 2020 2020 2020 2020 全社会用电量 13.33 14.73 17.05 21.92 (单位:亿kW·h) (2)设2020年至2020年平均每年增长率为x， 则2020年用电量为14.73亿kW·h， 2020年为14.73(1+x)亿kW·h， 2020年为14.73(1+x)2亿kW·h．

则可列方程:14.73(1+x)2=21.92，1+x=±1.22， ∴x1=0.22=22%，x2=－2.22(舍去)．

则2020～2020年年平均增长率的百分率为22%．

21．(1)设每件应降价x元，由题意可列方程为(40－x)·(30+2x)=12020 解得x1=0，x2=25，

当x=0时，能卖出30件； 当x=25时，能卖出80件．

根据题意，x=25时能卖出80件，符合题意． 故每件衬衫应降价25元． (2)设商场每天盈利为W元．

W=(40－x)(30+2x)=－2x2+50x+12020－2(x2－25x)+12020－2(x－12.5)2+1512.5 当每件衬衫降价为12.5元时，商场服装部每天盈利最多，为1512.5元．

- 7 -

121x+bx+c－a=0有两个相等的实数根， 2211 ∴判别式=(b)2－4×(c－a)=0，

2222．∵

整理得a+b－2c=0 ①，

又∵3cx+2b=2a的根为x=0， ∴a=b ②．

把②代入①得a=c，

∴a=b=c，∴△ABC为等边三角形． (2)a，b是方程x2+mx－3m=0的两个根， 所以m2－4×(－3m)=0，即m2+12m=0， ∴m1=0，m2=－12．

当m=0时，原方程的解为x=0(不符合题意，舍去)， ∴m=12．

23．上述解答有错误．

(1)若方程有两个不相等实数根，则方程首先满足是一元二次方程， ∴a2≠0且满足(2a－1)2－4a2>0，∴a< (2)a不可能等于

1且a≠0． 41． 21且a≠0， 4∵(1)中求得方程有两个不相等实数根，同时a的取值范围是a<而a=

11>(不符合题意) 24所以不存在这样的a值，使方程的两个实数根互为相反数．

- 8 -