1．（3 分）已知△ABC 的三边长分别是 3cm、4cm、5cm，则△ABC 的面积是（ A．6cm2 【答案】A
【分析】首先根据勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面 积等于两条直角边的乘积的一半进行计算． 【解答】解：∵32+42＝25＝52， ∴△ABC 是直角三角形，
∴△ABC 的面积是 ×3×4＝6（cm2）． 故选：A．
2．（3 分）下列选项中的三条线段的长度，能组成三角形的是（ A． ，1， 【答案】C
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求解． 【解答】解：A、 + ＝1，不能构成三角形，故此选项不合题意； B、5+12＜18，不能构成三角形，故此选项不合题意； C、1.5+1.4＞2，能构成三角形，故此选项符合题意； D、1+
＜2
，不能构成三角形，故此选项不合题意．
B．5，12，18
C．1.5，1.4，2
） D．2
，1，
B．7.5cm2
C．10cm2
D．12cm2
）
故选：C．
3．（3 分）三角形内到三角形各边的距离都相等的点是三角形的（ A．三条中线的交点 B．三个内角的角平分线交点 C．三条高线的交点 D．不能确定 【答案】B
【分析】利用角平分线的性质进行判断．
【解答】解：三角形内到三角形各边的距离都相等的点是三角形的三个内角的平分线的 交点． 故选：B．
）
4．（3 分）能说明命题“若 x（x+1）（x﹣2）＝0，则 x＝0”是假命题的反例是（ A．x＝0 【答案】D
【分析】要证明一个命题是假命题只要举一个反例即可．
B．x＝﹣2
C．x＝1
D．x＝﹣1
）
【解答】解：当 x＝﹣1 时，x（x+1）＝0 也成立，所以证明命题“若x（x+1）＝0，则 x ＝0”是假命题的反例是：x＝﹣1； 故选：D．
5．（3 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点 D，过点 D 作 直线 EF∥BC，交 AB 于 E，交 AC 于 F，图中等腰三角形的个数共有（
）
A．3 个 【答案】C
B．4 个 C．5 个 D．6 个
【分析】先由已知运用角平分线及平行线的性质找出相等的角，再根据等角对等边找出 等腰三角形．
【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点 D， ∴∠ABD＝∠DBC＝∠BCD＝∠DCF， ∴△EBD、△DBC、△FDC 是等腰三角形， ∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，且△ABC 是等腰三角形， ∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠AFE＝∠ABC， ∴△AEF 是等腰三角形．
所以共有△EBD、△DBC、△FDC、△ABC、△AEF5 个等腰三角形． 故选：C．
6．（3 分）三角形分别满足下列条件：（1）一个内角等于另外两个内角之和；（2）三边分别
为 1， ， ；（3）三个内角之比为 3：4：5；（4）一边上的中线等于这条边的一半；
） B．2 个
C．3 个
D．4 个
其中直角三角形有（ A．1 个 【答案】C
【分析】（1）根据三角形的内角和定理和已知求出∠C 即可； （2）根据勾股定理的逆定理判断即可；
（3）设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，根据三角形的内角和定理求出 x，再求出 ∠C 即可；
（4）根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，再根据三角形的内角和定 理求出即可．
【解答】解：（1）设三角形是△ABC， ∵∠C＝∠A+∠B，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠C＝180°， ∴∠C＝90°，
即当三角形的一个内角等于另外两个内角之和时，三角形是直角三角形； （2）∵12+（
）2＝（
）2，
∴此三角形是直角三角形；
（3）设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴3x+4x+5x＝180， 解得：x＝15， ∴∠C＝5x°＝75°，
即此时三角形不是直角三角形；
（4）如图，
∵CD 为△ACB 的中线，CD＝ AB， ∴AD＝CD＝BD，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD， ∵∠A+∠ACD+∠BCD+∠B＝180°， ∴2∠ACD+2∠BCD＝180°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， 即∠ACB＝90°， ∴△ABC 是直角三角形， 即直角三角形有 3 个， 故选：C．
7．（3 分）如图，在△ABC 中，CF⊥AB 于 F，BE⊥AC 于 E，M 为 BC 的中点，EF＝7，BC ＝10，则△EFM 的周长是（
）
A．17 【答案】A
B．21 C．24 D．27
【分析】根据 CF⊥AB 于 F，BE⊥AC 于 E，M 为 BC 的中点，利用直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半，求出 FM 和 ME 的长，即可求解． 【解答】解：∵CF⊥AB，M 为 BC 的中点， ∴MF 是 Rt△BFC 斜边上的中线， ∴FM＝ BC＝ ×10＝5， 同理可得，ME＝ BC＝ ×10＝5， 又∵EF＝7，
∴△EFM 的周长＝EF+ME+FM＝7+5+5＝17． 故选：A．
8．（3 分）如图所示，已知 D 为 BC 上一点且 AB＝AC＝BD，那么∠1 与∠2 之间满足的关 系是（
）
A．∠1＝2∠2 C．2∠1+∠2＝180° 【答案】D
B．∠1+3∠2＝180° D．3∠1﹣∠2＝180°
【分析】由 AB＝AC＝BD，可得∠BDA＝∠1，∠B＝∠C，又由三角形的内角和定理， 可得 2∠C+∠2+∠1＝180°，然后由三角形外角的性质，求得∠C＝∠BDA﹣∠2，即可 求得答案．
【解答】解：∵AB＝BD， ∴∠BDA＝∠1， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C，
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∴2∠C+∠2+∠1＝180°， ∵∠C＝∠BDA﹣∠2， ∴3∠1﹣∠2＝180°． 故选：D．
9．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90° ，AB＝2BC，在直线 BC 或 AC 上取一点 P， 使得△PAB 为等腰三角形，则符合条件的点 P 共有（
）
A．4 个 【答案】C
B．5 个 C．6 个 D．7 个
【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角 形（简称：在同一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可． 【解答】解：如图，
①AB 的垂直平分线交 AC 一点 P A＝PB），交直线 BC 于点 P 1（ P2；
②以 A 为圆心，AB 为半径画圆，交 AC 有二点 P3 ，P4 ，交 BC 有一点 P2 ，（此时 AB＝ AP）；
③以 B 为圆心，BA 为半径画圆，交 BC 有二点 PP交 AC 有一点 P． 5 ，2 ，6 （此时 BP＝BA）2+（3﹣1）+（3﹣1）＝6， ∴符合条件的点有六个． 故选：C．
10．（3 分）如图所示，△ABC 和△CDE 均为等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠CDE＝90°， 点 B，C，D 在一条直线上，点 M 是 AE 的中点，连接 CM，BM，DM．下列结论：①S
△
ABC+S△CDE≥S△ACE；②CM＝ AE；③BM⊥DM；④BM＝DM．其中，结论正确的个
数是（ ）
A．1 个 【答案】D
B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】①由三角形的面积公式、梯形的面积公式及不等式的基本性质 a2+b2≥2ab（a ＝b 时取等号）解答；
②、③、④通过作辅助线 MN，构建直角梯形的中位线，根据梯形的中位线定理及等腰
直角三角形的判定定理解答．
【解答】解：①如图，设等腰直角三角形△ABC 和△CDE 的直角边分别为 a 和 b， ∴S△ABC＝ a2，S△CDE＝ b2，S 梯形 ABDE＝ （a+b）2， ∴S△ACE＝S 梯形 ABDE﹣S△ABC﹣S△CDE＝ab， S
（a2+b2）≥ab（a＝b 时取等号），
∴S△ABC+S△CDE≥S△ACE；
△
ABC+S△CDE＝
故本选项正确；
②∵△ABC 和△CDE 均为等腰直角三角形， ∴AB＝BC，CD＝DE，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠DCE＝∠DEC＝45°， ∴∠ACE＝90°， ∵点 M 是 AE 的中点， ∴CM＝ AE； 故本选项正确；
④如图，过点 M 作 MN 垂直于 BD，垂足为 N． ∵点 M 是 AE 的中点， 则 MN 为梯形中位线， ∴N 为中点，
∴△BMD 为等腰三角形， ∴BM＝DM；故本选项正确；
③又 MN＝ （AB+ED）＝ （BC+CD）， ∴∠BMD＝90°，
即 BM⊥DM；故本选项正确． 故选：D．
二、填空题（每题 4 分，共 24 分）
11．（4 分）如图：在△ABC 中，∠A＝70°，∠B＝60° ，点 D 在 BC 的延长线上，则∠ACD ＝ 130 度．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和可得． 【解答】解：∠ACD＝∠A+∠B＝130°．
12．（4 分）如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为 10cm，那么它的底边长为 4cm 或 2cm ．
【答案】4cm 或 2cm．
【分析】已知等腰三角形的周长，求三边，则需要列出所有的组合形式，然后根据三角 形的构造条件判断哪些符合．
【解答】解：等腰三角形的三边均为整数且它的周长为10cm，三边的组合方式有以下几 种：
①1cm，1cm，8cm；②2cm，2cm，6cm；③3cm，3cm，4cm；④4cm，4cm，2cm； 又因为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，则③④符合． 它的三边长为 3cm，3cm，4cm 或 4cm，4cm，2cm． 故它的底边长为 4cm 或 2cm． 故答案为：4cm 或 2cm．
13．（4 分）如图，△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为 D、E，AD、CE 交于点 H， 请你添加一个适当的条件： AH＝CB 等（只要符合要求即可） ，使△AEH≌△CEB．
【答案】见试题解答内容
【分析】开放型题型，根据垂直关系，可以判断△AEH 与△CEB 有两对对应角相等，就
只需要找它们的一对对应边相等就可以了．
【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为 D、E， ∴∠BEC＝∠AEC＝90°，
在 Rt△AEH 中，∠EAH＝90°﹣∠AHE， 又∵∠EAH＝∠BAD， ∴∠BAD＝90°﹣∠AHE，
在 Rt△AEH 和 Rt△CDH 中，∠CHD＝∠AHE， ∴∠EAH＝∠DCH，
∴∠EAH＝90°﹣∠CHD＝∠BCE， 所以根据 AAS 添加 AH＝CB 或 EH＝EB； 根据 ASA 添加 AE＝CE． 可证△AEH≌△CEB．
故填空答案：AH＝CB 或 EH＝EB 或 AE＝CE．
14．（4 分）命题“等腰三角形底边上的高线与中线重合”的逆命题是 底边上的高线和中 线重合的三角形是等腰三角形 ． 【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意写出等腰三角形底边上的高线与中线重合的逆命题即可．
【解答】解：命题“等腰三角形底边上的高线与中线重合”的逆命题是底边上的高线和 中线重合的三角形是等腰三角形，
故答案为：底边上的高线和中线重合的三角形是等腰三角形
15．（4 分）如图，边长为 2 的等边三角形△ABC，P 为边 BC 上一个动点，PE⊥AB，PD⊥ AC，则 PE+PD＝ ． 【答案】见试题解答内容
【分析】等边三角形的三个内角都是 60 度，所以通过解直角△BPE 和直角△PDC 可以 求得 PE、PD 与 BP、CP 的数量关系．
【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，边长等于 2， ∴∠B＝60°，BC＝2． ∵PE⊥AB， ∴∠PEB＝90°， ∴PE＝BPsinB＝ 同理，PD＝ ∴PE+PD＝ 故答案是： BP． PC， （BP+CP）＝ ． 或 BC＝ ． 16．（4 分）在等腰△ABC 中，∠A＝30° ，AB＝6，则 AB 边上的高 CD 的长是 3 或 3 ． 【答案】3 或 3 或 ． 【分析】此题需先根据题意画出当 AB＝AC 时，当 AB＝BC 时，当 AC＝BC 时的图象， 然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可． 【解答】解：（1）当 AB＝AC 时，
∵∠A＝30°，
∴CD＝ AC＝ ×6＝3； （2）当 AB＝BC 时，
则∠A＝∠ACB＝30°， ∴∠ACD＝60°， ∴∠BCD＝30°，
∴CD＝cos∠BCD•BC＝cos30°×6＝3 （3）当 AC＝BC 时，
； 则 AD＝3，
∴CD＝tan∠A•AD＝tan30°×3＝ 故答案为：3 或 3 或 ． ． 三、解答题（共 66 分）
17．（6 分）如图，AB、CD 相交于点 O，AO＝BO，AC∥DB．求证：AC＝BD．
【答案】见试题解答内容
【分析】要证明 AC＝BD，只要证明△AOC≌△BOD，根据 AC∥DB 可得∠A＝∠B，∠ C＝∠D，又知 AO＝BO，则可得到△AOC≌△BOD，从而求得结论． 【解答】证明：（方法一） ∵AC∥DB，
∴∠A＝∠B，∠C＝∠D． 在△AOC 与△BOD 中
∵∠A＝∠B，∠C＝∠D，AO＝BO， ∴△AOC≌△BOD． ∴AC＝BD．
（方法二）∵AC∥DB， ∴∠A＝∠B．
在△AOC 与△BOD 中，
∵ ， ∴△AOC≌△BOD． ∴AC＝BD．
18．（8 分）（1）如图，在 Rt△ABC 中，BD 为斜边 AC 上的中线，若∠A＝35°，求∠BDC 的度数；
（2）在等腰三角形△ABC 中，若∠A＝4∠B，求∠C 的度数．
【答案】（1）∠BDC＝70°， （2）∠C＝30°或 80°．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线定理得出 BD＝CD＝AD，求出∠DBA＝∠A， 根据三角形的外角性质求出求出即可．
（2）由在等腰三角形 ABC 中，∠A＝4∠B，分别从①当 AB＝AC 时，∠B＝∠C，②当 AB＝BC 时，∠A＝∠C，③当 AC＝BC 时，∠A＝∠B，去分析求解即可求得答案． 【解答】（1）解：∵∠ABC＝90°，BD 是斜边 AB 上的中线， ∴BD＝CD＝AD， ∴∠A＝∠DBA＝35°，
∴∠BDC＝∠A+∠DBA＝35°+35°＝70°，即∠BDC＝70°；
（2）解：∵△ABC 是等腰三角形， ①当 AB＝AC 时，∠B＝∠C， ∵∠A＝4∠B，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴6∠C＝180°， ∴∠C＝30°；
②当 AB＝BC 时，∠A＝∠C， ∵∠A＝4∠B，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴9∠B＝180°，
∴∠B＝20°， ∴∠C＝80°；
③ 当 AC＝BC 时，∠A＝∠B（此时不符合题意，舍去）． 故∠C＝30°或 80°． 19．（8 分）如图，已知线段 a．
（1）只用直尺（没有刻度的尺）和圆规作 Rt△ABC，使∠C＝Rt∠，AB＝a，BC＝ a （要求保留作图痕迹，不必写出作法）；
（2）若在（1）作出的 Rt△ABC 中，AB＝2cm，求 AB 边上的高．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）过直线 l 上一点 C 作直线 l 的垂线 l′，在直线 l 上截取 CB＝ a，然后以 B 点为圆心，a 为半径画弧交直线 l′于 A，则△ABC 满足条件； （2）先利用勾股定理计算出 AC，然后利用面积法计算 AB 边上的高． 【解答】解：（1）如图，△ABC 为所作；
（2）设 AB 边上的高为 hcm， ∵AB＝2，BC＝ AB＝1， ∴AC＝ ＝ ， ∵S ABC＝ •h•AB＝ •AC•BC， △ ∴h＝ ＝ ， 即 AB 边上的高为 cm． 20．（10 分）如图所示，在△ABC 中，∠ACB＝90°，D 在 AB 上，且 AD＝AC，AG 平分∠ CAB，过点 D 作 BC 的平行线交 AG 于点 F，连接 CF 并延长交 AB 于点 E．求证： （1）△ACF≌△ADF； （2）CF＝CG； （3）CE⊥AB．
【答案】（1）证明见解析过程； （2）证明见解析过程； （3）证明见解析过程．
【分析】（1）由“SAS”可证△ACF≌△ADF；
（2）由全等三角形的性质和平行线的性质可得∠ACF＝∠B，由外角的性质可得∠CFG ＝∠CGF，可得 CF＝CG；
（3）由直角三角形的性质可证∠ABC+∠BCE＝90°，可得结论． 【解答】证明：（1）∵AG 平分∠CAB， ∴∠CAG＝∠BAG， 在△ACF 和△ADF 中，
， ∴△ACF≌△ADF（SAS）； （2）∵△ACF≌△ADF， ∴∠ACF＝∠ADF， ∵DF∥BC， ∴∠ADF＝∠ABC， ∴∠ACF＝∠B，
∵∠CFG＝∠ACF+∠CAG，∠CGF＝∠B+∠GAB， ∴∠CFG＝∠CGF，
∴CF＝CG；
（2）∵∠ACB＝90°， ∴∠ACF+∠BCE＝90°， ∴∠ABC+∠BCE＝90°， ∴CE⊥AB．
21．（10 分）在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，小明用尺规作图的方法在边BC 上 确定一点 P，请你根据如图所示作图方法分别求出图1，图 2 中线段 PC 的长．
【答案】3．
【分析】如图 1：连接 AP，根据作图痕迹得到 PQ 垂直平分 AB，继而得到 AP＝BP，设 PC＝x，表示出 BP 即为 AP，在直角三角形 ACP 中，利用勾股定理列出关于 x 的方程， 求出方程的解即可得到结果；
如图 2：作 PQ 垂直于 AB，利用角平分线定理得到 PQ＝PC，利用面积法求出 PC 即可． 【解答】解：如图 1：连接 AP，
∵由作图痕迹可得：直线 PQ 垂直平分 AB， ∴AP＝BP，
设 PC＝x，则有 AP＝BP＝BC﹣PC＝8﹣x， 在 Rt△ACP 中，AC＝6，
根据勾股定理得：（8﹣x）2＝x2+62， 整理得：64﹣16x+x2＝x2+36， 解得：x＝ ， 则 PC＝ ； 如图 2：过 P 作 PQ⊥AB，交 AB 于点 Q， ∵AP 平分∠BAC，PC⊥AC，PQ⊥AB， ∴PQ＝PC，
在 Rt△ABC 中，AC＝6，BC＝8， 根据勾股定理得：AB＝10， ∵S△ABC＝S△ABP+S△CPA，
∴ AC•BC＝ AB•PQ+ AC•PC， 即 ×6×8＝ ×10×PQ+ ×6×PC， 整理得：48＝10PQ+6PC＝16PC， 解得：PC＝3．
22．（12 分）已知：在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点F 在射线 CA 上，延长 BC 至 点 D，使 CD＝CF，点 E 是射线 BF 与射线 DA 的交点． （1）如图 1，若点 F 在边 CA 上． ①求证：BE⊥AD；
②小敏在探究过程中发现∠BEC＝45°，于是她想：若点 F 在 CA 的延长线上，是否也 存在同样的结论？请你在图 2 上画出符合条件的图形并通过测量猜想∠BEC 的度数． （2）选择图 1 或图 2 两种情况中的任一种，证明小敏或你的猜想．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①证明△BCF≌△ACD（SAS），得出∠CBF＝∠CAD，证出∠CBF+∠D＝ 90°，得出∠BED＝90°，即可得出 BE⊥AD；
②若点 F 在 CA 的延长线上，也存在同样的结论，∠BEC＝45°；
（2）图 1 中，由等腰直角三角形的性质得出∠BAC＝∠ABC＝45°，证明 A、B、C、E 四点共圆，由圆周角定理即可得出∠BEC＝∠BAC＝45°；
图 2 中，同（1）①得出△BCF≌△ACD（SAS），证出∠BED＝90°，得出 A、C、B、E 四点共圆，由圆周角定理即可得出∠BEC＝∠BAC＝45°． 【解答】（1）①证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠DCA＝90°，
， ∴△BCF≌△ACD（SAS）， ∴∠CBF＝∠CAD， ∵∠CAD+∠D＝90°， ∴∠CBF+∠D＝90°， ∴∠BED＝90°， ∴BE⊥AD；
②解：若点 F 在 CA 的延长线上，也存在同样的结论，∠BEC＝45°；如图 2 所示： （2）解：图 1 中，∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
由（1）①得：∠AEB＝90°＝∠ACB， ∴A、B、C、E 四点共圆， ∴∠BEC＝∠BAC＝45°；
图 2 中，同（1）①得：△BCF≌△ACD（SAS）， ∴∠CBF＝∠CAD， ∵∠CAD+∠D＝90°， ∴∠CBF+∠D＝90°， ∴∠BED＝90°，
∴∠AEB＝90°＝∠ACB， ∴A、C、B、E 四点共圆， ∴∠BEC＝∠BAC＝45°．
23．（12 分）如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中∠C＝90°， ∠B＝∠E＝30°． （1）操作发现：
如图 2，固定△ABC，使△DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空： ①线段 DE 与 AC 的位置关系是 DE∥AC ；
②设△BDC 的面积为 S 1 ，△AEC 的面积为 S 2 ，则 S 1 与 S 2 的数量关系是 S 1 ＝S 2 （2）猜想论证：
当△DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（1）中S 1 与 S 2 的数量关系仍然 成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中 BC、CE 边上的高，请你证明小明的猜想． （3）拓展探究
已知∠ABC＝60°，点 D 是角平分线上一点，BD＝CD＝6，DE∥AB 交 BC 于点 E（如 图 4），若在射线 BA 上存在点 F，使 S△DCF＝S△BDE，请求出相应的 BF 的长．
．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①证明∠EDC＝∠DCA＝60°即可判断．
②首先证明 AD＝BD，推出△ADC 与△BDC 的面积相等，再证明△ADC 与△ACE 的面 积相等即可．
（2）作 AN⊥EC 交 EC 的延长线于 N，DM⊥BC 于 M，证明△ACN≌△DCM（AAS）即 可解决问题．
（3）分两种情形分别求解即可解决问题． 【解答】解：（1）①如图 1 中，
由旋转可知：CA＝CD， ∵∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAD＝60°， ∴△ADC 是等边三角形， ∴∠DCA＝60°，
∵∠ECD＝90°，∠DEC＝30°，
∴∠CDE＝60°， ∴∠EDC＝∠DCA， ∴DE∥AC，
② ∵AB＝2AC，AD＝AC， ∴AD＝BD， ∴S△BDC＝S△ADC， ∵DE∥AC， ∴S△ADC＝S△ACE， ∴S 1 ＝S 2 ．
故答案为：DE∥AC，S 1 ＝S 2 ．
（2）如图 3 中，
∵△DEC 是由△ABC 绕点 C 旋转得到， ∴BC＝CE，AC＝CD，
∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°∴∠ACN＝∠DCM， 在△ACN 和△DCM 中，
，
∴△ACN≌△DCM（AAS）， ∴AN＝DM， ∴S△BDC＝S△AEC．
90°＝90°﹣， （3）如图 4 中，作 DF∥BC 交 AB 于 F．延长 CD 交 AB 于 H．
∵DF∥BE，DE∥BF， ∴四边形 DEBF 是平行四边形， ∴S△BDF＝S△BDE，S△BDF＝S△DFC， ∴S△DFC＝S△BDE，
∵∠ABC＝60°，BD 平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBE＝30°， ∵DF∥BE， ∴∠FDB＝30°， ∴∠FBD＝∠FDB＝30°， ∴FB＝FD，
∴四边形 DEBF 是菱形， ∵BD＝CD＝6，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∵∠DEC＝∠ABC＝60°， ∴∠CDE＝90°， ∴DE＝CD•tan30°＝6× ＝2 ，
∴BF＝DE＝2 ，
∵DE∥AB，
∴∠BHC＝∠EDC＝90°，
∴CH⊥AB，作点 F 关于 CH 的对称点 F′，连接 DF′在 Rt△DFH 中，FH＝HF′＝DF•sin30°＝ ，
∴BF′＝4
，
综上所述，满足条件的 BF 的值为 2
或 4
．
S△DFC＝S △DF
C， ′
，易知 ∴∠CDE＝60°， ∴∠EDC＝∠DCA， ∴DE∥AC，
② ∵AB＝2AC，AD＝AC， ∴AD＝BD， ∴S△BDC＝S△ADC， ∵DE∥AC， ∴S△ADC＝S△ACE， ∴S 1 ＝S 2 ．
故答案为：DE∥AC，S 1 ＝S 2 ．
（2）如图 3 中，
∵△DEC 是由△ABC 绕点 C 旋转得到， ∴BC＝CE，AC＝CD，
∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°∴∠ACN＝∠DCM， 在△ACN 和△DCM 中，
，
∴△ACN≌△DCM（AAS）， ∴AN＝DM， ∴S△BDC＝S△AEC．
90°＝90°﹣， （3）如图 4 中，作 DF∥BC 交 AB 于 F．延长 CD 交 AB 于 H．
∵DF∥BE，DE∥BF， ∴四边形 DEBF 是平行四边形， ∴S△BDF＝S△BDE，S△BDF＝S△DFC， ∴S△DFC＝S△BDE，
∵∠ABC＝60°，BD 平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBE＝30°， ∵DF∥BE， ∴∠FDB＝30°， ∴∠FBD＝∠FDB＝30°， ∴FB＝FD，
∴四边形 DEBF 是菱形， ∵BD＝CD＝6，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∵∠DEC＝∠ABC＝60°， ∴∠CDE＝90°， ∴DE＝CD•tan30°＝6× ＝2 ，
∴BF＝DE＝2 ，
∵DE∥AB，
∴∠BHC＝∠EDC＝90°，
∴CH⊥AB，作点 F 关于 CH 的对称点 F′在 Rt△DFH 中，FH＝HF′＝DF•sin30°∴BF′＝4
，
综上所述，满足条件的 BF 的值为 2
或 4
，连接 DF′ ，
．
S△DFC＝S △DF
C， ′
，易知 ＝
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