2011年湖北省高考数学(文史类)试题及参考答案

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2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数 学（文史类）

本试题卷共4页，三大题21小题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。

3．非选择题的作答：用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1,2,3,4,5,6,7,8,A1,3,5,7,B2,4,5,B1．已知U则ð UAB．5,7C．4,6,7 6,8

1,2,b1,12．若向量a，则2a+b与ab的夹角等于 

A．

A．1,3,5,6,8D．

3 B． C． D． 4446x3．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x，则g(x)= )gx()exxx11x1 A．exe B．(exe) C．(eex) D．(exe)

22224．将两个顶点在抛物线y另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，2px(p0)上，则 A．n0 B．n1 C．n2 D．n3

5．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间10,12内的频数为 A．18 B．36 C．54 D．72

()x3sinxcos,xxR6．已知函数f，若f(x)1，则x的

取值范围为

xA． B． x|2k2k,kZxk|xk,kZ33x25k5 C． D． x|2kk,Zxk|xk,kZ66667．设球的体积为V，它的内接正方体的体积为V，下列说法中最合适的是

A．V比V大约多一半 C．V比V大约多一倍

B．V比V大约多两倍半 D．V比V大约多一倍半

x0y08．直线2与不等式组表示的平面区域的公共点有 xy100xy24x3y20 A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为

674737 A．1升 B．升 C．升 D．升

6644332210．若实数a，b满足a0(a,b)abab,那么,b0，且ab0，则称a与b互补，记(a,b)0是a与b互补的 A．必要而不充分的条件 B．充分而不必要的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，

一题两空的题，其答案按先后次序填写，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。 11．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家。为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市__________家。

115x12．x的展开式中含的项的系数为__________。（结果用数值表示） 3x13．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为__________。（结果用最简分数表示）

2214．过点（—1,—2）的直线l被圆xy2x2y10截得的弦长为2，则直线l的斜率为__________。

15．里氏震级M的计算公式为：MlgAlgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅。假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍。

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分）

11,b2,cosC 设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a4（I） 求ABC的周长；

18（II）求cos(AC)的值。 17．（本小题满分12分） 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列bn中的b、b、b。

（I） 求数列bn的通项公式；

（II） 数列bn的前n项和为Sn，求证：数列Sn 18．（本小题满分12分） 如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为

54是等比数列。 2，侧棱长为

32，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上，且

AE22,BF2． （I） 求证：CFC1E；

FC（II） 求二面角EC1的大小。

19．（本小题满分12分） 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆 /千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆 /千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆 /千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当2时，车流速度v是车流密度x的一次函数。 0x200（I）当0时，求函数v（x）的表达式； x200（II）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f(x（精确到1辆/小时）。 )xvx()可以达到最大，并求出最大值。 20．（本小题满分13分）

322()xx2axbxagx()x3x2 设函数f，，其中xR，a、b为常数，已知曲线yf(x)与yg(x)在点（2,0）处有相同的切线l。 （I） 求a、b的值，并写出切线l的方程；

（II）若方程f()有三个互不相同的实根0、x、x，其中x1x2，且对任意的xg()xmxxx恒成立，求实数m的取值范围。 ()g()xm(x1)1,x2，fx 21．（本小题满分14分） 平面内与两定点A连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，1a,0、A2a,0（a0）加A2

上

A、

A两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线。

（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；

（Ⅱ）当m1时，对应的曲线为C1；对给定的m(1,0)(0,)，对应的曲线为C2，设F1、

F2是C2的两个焦点。试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面积S|m|a2。若存在，求tanF1NF2的值；若不存在，请说明理由。

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2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学参考答案（文史类）

一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分50分。 A卷：1—5ACDCB 6—10ADBBC B卷：1—5DCABC 6—10ADBBC

二、填空题：本题主要考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分25分。

281711．20 12．17 13． 14．1或 15．6，10000

1457三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。（满分12分）

1 解：（Ⅰ）c2a2b22abcosC1444

4c2.

ABC的周长为abc1225.

1115 （Ⅱ）cosC,sinC1cos2C1()2.

44415asinC15sinA4 c28ac,AC，故A为锐角，

cosA1sin2A1(1527). 8871151511. 84881617．本小题主要考查等差数列，等比数列及其求和公式等基础知识，同时考查基本运算能力。（满分12分） 解：（Ⅰ）设成等差数列的三个正数分别为ad,a,ad 依题意，得adaad15,解得a5. 所以{bn}中的b3,b4,b5依次为7d,10,18d.

cos(AC)cosAcosCsinAsinC

依题意，有(7d)(18d)100,解得d2或d13（舍去） 故{bn}的第3项为5，公比为2。

5由b3b122,即5b122,解得b1.

455所以{bn}是以为首项，2为以比的等比数列，其通项公式为bn2n152n3

445(12n)55 （Ⅱ）数列{bn}的前n项和Sn452n2，即Sn52n2

41245Sn15552n14 所以S1,2.

54252n2Sn455 因此{Sn}是以为首项，公比为2的等比数列。

4218．本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查空间想象能力和推理论证能力。（满分12分）

解法1：（Ⅰ）由已知可得CC132,CEC1F22(22)223 EF2AB2(AEBF)2,EFC1E22(2)26 于是有EF2C1E2C1F2,CE2C1E2CC12 所以C1EEF,C1ECE

又EFCEE,所以C1E平面CEF. 由CF平面CEF,故CFC1E.

（Ⅱ）在CEF中，由（Ⅰ）可得EFCF6,CE23 于是有EF2+CF2=CE2，所以CFEF. 又由（Ⅰ）知CF C1E，且EFC1EE，所以CF 平面C1EF， 又C1F平面C1EF，故CF C1F。

于是EFC1即为二面角E—CF—C1的平面角。

由（Ⅰ）知C1EF是等腰直角三角形，所以BFC145，即所求二面角E—CF—C1的大小为45。 解法2：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得 A(0,0,0),B(3,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,32),E(0,0,22),F(3,1,2)

 （Ⅰ）C1E(0,2,2),CF(3,1,2)

 C1ECF0220 CFC1E.

 （Ⅱ）CE(0,2,22，设平面CEF的一个法向量为)m(x,y,z)

mCE0, 由mCE,mCF,得 mCF0,2y22z0,可取m(0,2,1) 即3xy2z0 设侧面BC1的一个法向量为

n,由nBC,nCC1,及CB(3,1,0)

CC1(0,0,32),可取n(1,3,0) 设二面角E—CF—C1的大小为θ，于是由θ为锐角可得

|mn|62，所以45 |m||n|232 即所求二面角E—CF—C1的大小为45。

19．本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。（满分12分） 解：（Ⅰ）由题意：当0x20时,v(x)60；当20x200时,设v(x)axb

1a,200ab0,3解得 再由已知得

20ab60,b200.30x20,60, 故函数v(x)的表达式为v(x)1

(200x),20x2003

cos0x20,60x, （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得f(x)1

x(200x),20x2003 当0x20时,f(x)为增函数，故当x20时，其最大值为60×20=1200；

11x(200x)210000] 当20x200时，f(x)x(200x)[

3323 当且仅当x200x，即x100时，等号成立。

10000. 所以，当x100时,f(x)在区间[20，200]上取得最大值3100003333。 综上，当x100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值3 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。

20．本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想，（满分13分） 解：（Ⅰ）f(x)3x24axb,g(x)2x3. 由于曲线yf(x)与yg(x)在点（2，0）处有相同的切线， 故有f(2)g(2)0,f(2)g(2)1.

88a2ba0,a2, 由此得 解得128ab1,b5. 所以a2,b5，切线l的方程为xy20 （Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)x34x25x2，所以f(x)g(x)x33x22x. 依题意，方程x(x23x2m)0有三个互不相同的实数0,x1,x2，

故x1,x2是方程x23x2m0的两相异的实根。

1所以94(2m)0,即m.

4又对任意的x[x1,x2],f(x)g(x)m(x1)成立，

特别地，取xx1时，f(x1)g(x1)mx1m成立，得m0. 由韦达定理，可得x1x230,x1x22m0,故0x1x2.

对任意的x[x1,x2],有x-x20,xx10,x0

则f(x)g(x)mxx(xx1)(xx2)0,又f(x1)g(x1)mx10

所以函数f(x)g(x)mx在x[x1,x2]的最大值为0。

于是当m0时，对任意的x[x1,x2],f(x)g(x)m(x1)恒成立，

1 综上，m的取值范围是(,0).

420．本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。（满分14分） 解：（I）设动点为M，其坐标为(x,y)， 当xa时，由条件可得kMA1kMA2yyy22m, 2xaxaxa即mx2y2ma2(xa)，

又A1(a,0),A2(A,0)的坐标满足mx2y2ma2, 故依题意，曲线C的方程为mx2y2ma2.

x2y21,C是焦点在y轴上的椭圆； 当m1时,曲线C的方程为22ama当m1时，曲线C的方程为x2y2a2，C是圆心在原点的圆；

x2y21，C是焦点在x轴上的椭圆； 当1m0时，曲线C的方程为22amax2y21,C是焦点在x轴上的双曲线。 当m0时，曲线C的方程为2ama2（II）由（I）知，当m=-1时，C1的方程为x2y2a2; 当m(1,0)(0,)时，

C2的两个焦点分别为F1(a1m,0),F2(a1m,0). 对于给定的m(1,0)(0,)，

C1上存在点N(x0,y0)(y00)使得S|m|a2的充要条件是

22x0y0a2,y00, 122a1m|y0||m|a.2① ②

由①得0|y0|a,由②得|y0|当0|m|a. 1m|m|a15a,即m0,

21m15或0m时，

2存在点N，使S=|m|a2； |m|a15当a,即-121m15或m时，

2不存在满足条件的点N，

1515,0当m0,2时， 2由NF1(a1mx0y0),NF2(a1mx0,y0)， 22可得NF1NF2x0(1m)a2y0ma2, 令|NF1|r1,|NF2|r2,F1NF2，

ma22则由NF1NF2r1r2cosma,可得r1r2，

cos1ma2sin1ma2tan， 从而Sr1r2sin22cos22于是由S|m|a，

12|m|. 可得ma2tan|m|a2,即tan2m综上可得：

152,0当m时，在C1上，存在点N，使得S|m|a,且tanF1NF22; 21520,当m时，在C1上，存在点N，使得S|m|a,且tanF1NF22; 2当m(1,

1515)(,)时，在C1上，不存在满足条件的点N。 22