人教版八年级数学上册勾股定理的逆定理

第十七章 勾股定理

17.2 勾股定理的逆定理

第1课时 勾股定理的逆定理

学习目标：1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数；

2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直

角三角形.

重点：掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数. 难点：能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.

一、知识回顾

1.勾股定理的内容是什么？

2. 求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长： ① a＝3，b＝4； ② a＝2.5，b＝6； ③ a＝4，b＝7.5.

一、要点探究

探究点1：勾股定理的逆定理

量一量 有以下三组数，分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.

算一算 这三组数在数量关系上有什么相同点？

思考 据此你有什么猜想呢?

猜测：如果三角形的三边长a,b,c满足___________,那么这个三角形是_________三角形. 活动2 为了验证活动1的猜测，下面我们根据全等进行证明. 证一证 已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．

．

求证：△ABC是直角三角形

证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，

。

则A′B′2=_______+________ ∵a2+b2=c2，∴A′B′=_______. 在△ABC和△A′B′C′中， A′C′=AC，

B′C′=BC， ∴△ABC____△A′B′C′(________) . ______=_______,

∴∠C____∠C′_____90° ， 即△ABC是__________三角形.

要点归纳：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

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特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角. 典例精析 例1(教材P32例1变式题)若△ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5，试判断△ABC的形状.

方法总结:已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.

例2(1)若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=14，试说明△ABC是直角三角形. (2) 若△ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状.

例3如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝1CB，试判断AF

4与EF的位置关系，并说明理由.

针对训练 1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7

2.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则该三角形最长边上的高是 ( ） A．4 B．3 C．2.5 D．2.4

3.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是_______________________. 探究点2：勾股数

要点归纳：勾股数：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.

常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等. 勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，

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这组数同样是勾股数. 典例精析 例4 下列各组数是勾股数的是 ( ) A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132

方法总结:根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可. 探究点3：互逆命题与互逆定理

想一想 1.前面我们学习了两个命题，分别为：命题1，如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2；命题2，如果三角形的三边长a ，b ，c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.两个命题的条件和结论分别是什么？

2.两个命题的条件和结论有何联系？

要点归纳：原命题、逆命题与互逆命题：题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.

互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理. 针对训练 1说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？ (1)两条直线平行，内错角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等； (4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 二、课堂小结 勾股定理 的逆定理 勾股定理 的逆定理的作用 注 意 内 容 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形. 1. 最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角. 2. 勾股数一定是正整数.

1.下列各组数是勾股数的是 ( ) A.3，4，7 B.5，12，13 C.1.5，2，2.5 D.1，3，5

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2. 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( ) A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形 3.在△ABC中，∠A, ∠B, ∠C的对边分别为a,b,c. ①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形；

222

②若c=b-a,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；

2

③若(c+a)(c-a)=b,则△ABC是直角三角形;

④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形. 以上命题中的假命题有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式c2a2b2ca0，则△ABC的

形状是________________．

5.(1)一个三角形的三边长分别为15cm,20cm,25cm，则该三角形最长边上的高是______cm; (2)“等腰三角形两底角相等”的逆定理为_______________________________________．

226.已知△ABC,AB=n-1,BC=2n,AC=n+1(n为大于1的正整数).问△ABC是直角三角形吗？ 若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由. 7.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，AD=CD=52,求四边形ABCD 的面积.

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