等差数列--高三一轮导学案

1、理解等差数列的概念.

2、掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.

3、能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题. 【基础知识】 1、等差数列的定义

如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数d，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d就叫做这个数列的公差。即anan1d(n2,nN)

2、等差中项

若a,A,b成等差数列，那么A叫做a,b的等差中项。两个实数a,b的等差中项只有一个，就是这两个数的算术平均数

ab2。

3、等差数列的性质

①等差数列的通项公式ana1(n1)dam(nm)d(nN)，d*anamnm。

andn(a1d)当d0时，它是一个一次函数。

②等差数列的前n项和公式 snSnna1n(n1)2dd22n(a1an)2d2na12n(n1)2d.

n(a1)nAnBn，当d0时，它是一个二次函数，

由于其常数项为零，所以其图像过原点。

③等差数列an中，如果mnpq,则amanapaq,特殊地，2mpq时，则

2amapaq，am是ap、aq的等差中项。

④等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即Sn,S2nSn,S3nS2n成等差数列。

4、等差数列的性质的判断和证明

方法一：定义的方法，anan1d(n2,nN)an是等差数列

方法二：中项的方法，anan1an12(n2,nN){an}是等差数列

5、等差数列有5个基本量，a1,d,n,an,Sn，求解它们，多利用方程组的思想，知三求二。注意要弄准它们的值。

1

6、三个数成等差数列，一般设为ad,a,ad，四个数成等差数列，一般设为

a3d,ad,ad,a3d，

【例题精讲】

是等差数列an的前

例1 设Snn项和，已知S3与11S4的等比中项为

1S5，

1S3与1S4的

34534等差中项为1，求数列an的通项．

例2 设f(x)＝

axx＋a(a≠0)，令a1＝1，an＋1＝f(an)，又bn＝an·an＋1，n∈N*.

(1)证明数列1

a是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)求数列{bn}的前n项和．

n

5.2等差数列强化训练

2

【基础精练】

1．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值是一个确定的常数，则数列{an}中也为常数的项是( )

A．S7 B．S8 C．S13

D．S15

1

2．等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n为( )

3

A．48 B．49 C．50 D．51

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为( )

A．2 B．3 C．4 D．5

4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S5＝3(a2＋a8)，则的值为( )

1135A. B. C. D. 63565．已知数列{an}为等差数列，若为( )

A．11 B．19 C．20 D．21 7．设Sn是等差数列{an}的前n项和， a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________. 8．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝9．设f(x)＝

12＋2xa5

a3

a11

<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0的n的最大值a10

An7n＋45a6

，则＝________.

Bnn＋3b6

，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)

＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．

10．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，记Tn＝2，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立，则M的最小值是________． 11．已知：f(x)＝－且a1＝1，an>0.

(1)求数列{an}的通项公式； (2)数列{bn}的前n项和为Tn，且满足是等差数列．

3

Snn114＋2，数列{an}的前n项和为Sn，点Pnan，－在曲线y＝f(x)上(n∈N*)，

xan＋1

Tn＋1Tn2

＋16n－8n－3，问：当b1为何值时，数列{bn}2＝2

anan＋1

12．数列{an}满足an＝3an－1＋3－1(n∈N，n≥2)，已知a3＝95. (1)求a1，a2；

1

(2)是否存在一个实数t，使得bn＝n(an＋t)(n∈N*)，且{bn}为等差数列？若存在，则求出t的值；

3若不存在，请说明理由．

【拓展提高】

1.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.

(1)设bn＝n－1.证明：数列{bn}是等差数列；

2

(2)求数列{an}的前n项和Sn.

n*

2.已知数列{an}中，a1＝5，且an＝2an－1＋2－1(n≥2且n∈N)．

(1)求a2，a3的值；

an＋λ

为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说(2)是否存在实数λ，使得数列n2

明理由．

3．已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，且不等式log2(ax2－3x＋6)＞2的解集为{x|x＜1或x＞b}．

(1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式Sn；

1

的前n项和Tn. (2)求数列

an·an＋1

4

n*

an

【基础精练参考答案】

1.C【解析】设a2＋a4＋a15＝p(常数)，

1

∴3a1＋18d＝p，解a7＝p.

313×(a1＋a13)13

∴S13＝＝13a7＝p.

23

1212

2.C【解析】∵a2＋a5＝2a1＋5d＝4，则由a1＝得d＝，令an＝33＝＋(n－1)×，可解得n3333＝50.故选C.

3.C【解析】a5＝S5－S4≤5，S5＝a1＋a2＋…＋a5＝5a3≤15，a3≤3，则a4＝值为4.故选C.

4.D【解析】∵{an}是等差数列，

a3＋a5

2

≤4，a4的最大

a2＋a8

∴＝

S5

a5265

＝×5＝＝，故选D.

a3a1＋a5(a1＋a5)×5S56

2

2

5

S56

5.B【解析】∵

a11

<－1，且Sn有最大值， a10

∴a10>0，a11<0，且a10＋a11<0，

19(a1＋a19)

∴S19＝＝19·a10>0，[来源:学§科§网]

2

S20＝

20(a1＋a20)

＝10(a10＋a11)<0. 2

所以使得Sn>0的n的最大值为19，故选B.

6.B【解析】依题意得，数列a2，a4，a6，…，a2k，…，是以a2＝1为首项，1为公差的等差数列，因此a2010＝a2×1005＝1＋(1005－1)×1＝1005.数列a1，a3，a5，a7，…，a2k－1，…，即是以1，－1,2，－2，…，的规律呈现，且a2009是该数列的第1005项，且1005＝2×502＋1，因此a2009＝503，a2011＝－503，a2009＋a2010＋a2011＝1005，选B.

7.-72【解析】S9＝9a5＝－9， ∴a5＝－1，S16＝8(a5＋a12)＝－72. 8.

61anA2n－1

解析：本题考查等差数列的基础知识，由于这是选择题可直接由结论＝求得。[来7bnB2n－1

源:学,科,网Z,X,X,K]

5

9. 32 【解析】∵f(x)＝

12x， ＋21·2x∴f(1－x)＝

1＝2

x＝2，21－x＋22＋2·2x2＋2

x 1·2x1＋

1·2x∴f(x)＋f(1－x)＝

122x＋2x＝

2＋22x＝＋2

2＋2

2

. 设S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(6)， 则S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(－5)，

∴2S＝[f(6)＋f(－5)]＋[f(5)＋f(－4)]＋…＋ [f(－5)＋f(6)]＝62，

∴S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝32. 10.2【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. ∵a4－a2＝8，∴d＝4.

又∵a3＋a5＝26，即2a1＋6d＝26，∴a1＝1. ∴Sn＝n＋

n(n－1)

2

×4＝2n2－n，

则TSn1

n＝n2＝2－n<2.

∵对一切正整数Tn≤M恒成立，∴M≥2. ∴M的最小值为2. 11.【解析】(1)由y＝－4＋1x2，

点Pna1

n，－



a在曲线y＝f(x)上，

n＋1

∴－

1

a＝f(an)＝－

4＋1a2，

n＋1

n并且a1n>0，∴a＝4＋1n＋1

a2，

n∴

1

a2

－1

2＝4(n∈N*)．

n＋1an数列{1a}是等差数列，首项1

2na2＝1，公差d为4，

1

6

∴14(n－1)＝4n2

1

a2＝1＋－3，an＝

n4n－3

. ∵a1n>0，∴an＝(n∈N*)．[来源:学&科&网Z&X&X&K]

4n－3(2)由a1

，1Tnn＝Tn＋＋16nn2

－8n－3得 4－3a2＝na2

n＋1

(4n－3)Tn＋1＝(4n＋1)Tn＋(4n－3)(4n＋1)，

Tn＋14n＋1＝Tn4n－3

＋1. 令cTnn＝4n－3，如果c1＝1，此时b1＝T1＝1，

∴cn＝1＋(n－1)×1＝n，n∈N*， 则Tn＝(4n－3)n＝4n2－3n，n∈N*，

∴b*n＝8n－7，n∈N，∴b1＝1时数列{bn}是等差数列． 12.【解析】(1)n＝2时，a2

2＝3a1＋3－1

n＝3时，a3＝3a2＋33－1＝95，

∴a2＝23.

∴23＝3a1＋8，∴a1＝5. (2)当n≥2时，

b11n－bn－1＝3

n(an＋t)－

3n－1

(an－1＋t)[来源:Zxxk.Com]

＝1

3n(an＋t－3an－1－3t) ＝1n1＋2t3n(3－1－2t)＝1－3

n. 要使{b1＋2t＝0，∴t＝－1n}为等差数列，则必须使2，

即存在t＝－1

2

，使{bn}为等差数列

1.【解析】 (1)证明：由已知ann＋1＝2an＋2得

anb＝n＋12an＋2ann＋12n＝2n＝2

n－1＋1＝bn＋1.

又b1＝a1＝1，

因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．

(2)由(1)知

an2n－1

＝n，

7

【拓展提高参考答案】

即an－1

n＝n·2，

Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，

两边同乘以2得2S2＋2·22＋…＋n·2nn＝， 两式相减得S2n＝－1－21－2－…－2n－1＋n·2n ＝－(2n－1)＋n·2n ＝(n－1)2n＋1.

2【解析】 (1)∵a1＝5，

∴a2＝2a21＋2－1＝13，a3＝2a2＋23－1＝33.

(2)方法一：假设存在实数λ，使得数列an＋λ

2n

为等差数列， 设b＝an＋λ

n2

n，由{bn}为等差数列，则有2b2＝b1＋b3，[来源:学科网ZXXK]

∴2×a2＋λa122＝＋λa3＋λ2＋23

， ∴13＋λ5＋λ33＋λ2＝2＋8. 解得λ＝－1.

事实上，bban＋1－1an－1

n＋1－n＝2n＋1－2

n

＝11n＋1

2n＋1[(an＋1－2an)＋1]＝2

n＋1[(2－1)＋1]＝1. 综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列an＋λ

2n

为等差数列． 方法二：假设存在实数λ，使得an＋λ

2n

为等差数列． 设ban＋λ

n＝2

n，由{bn}为等差数列，

则有2bn＋1＝bn＋bn＋2(n∈N*)．

∴2×an＋1＋λ2n＋1＝an＋λ2n＋an＋2＋λ2n＋2

.

∴λ＝4an＋1－4an－an＋2

＝2(an＋1－2an)－(an＋2－2an＋1) ＝2(2n＋1－1)－(2n＋2－1)＝－1.

综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列an＋λ

2n

为等差数列． 3.【解析】 (1)∵不等式log(ax2－3x＋6)＞2可转化为ax2

2－3x＋2＞0，

所给条件表明：ax2－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，根据不等式解集的性质可知：方程ax2

－3x＋2＝0的两根为x1＝1，x2＝b. 利用根与系数的关系不难得出a＝1，b＝2.

由此知a2(n－1)＝2n－1，S2

n＝1＋n＝n.

8

9