第四讲 年龄问题
本讲主要学习三种类型的年龄问题：
1、理解掌握可以转化为和差问题的年龄问题； 2、理解掌握可以转化为和倍问题的年龄问题； 3、理解掌握可以转化为差倍问题的年龄问题．
本章内容主要围绕年龄问题进行展开分析，通过本章知识的学习，要求同学们能熟练运用和差、和倍、差倍的知识以及图示法计算有关年龄问题．
教学目标 想 挑 战 吗 ？ 一天小鲸鱼和妈妈谈论它们的年龄，小鲸鱼对妈妈说：“妈妈，我长到您现在这么大时，您就31岁啦！”鲸鱼妈妈说：“我像你这么大时，你只有1岁.“聪明的小朋友，你知道小鲸鱼现在多少岁，鲸鱼妈妈现在多少岁呢？ 分析：由小鲸鱼说的话，再过它和妈妈的年龄差年，妈妈就31岁，由鲸鱼妈妈说的话，在它们的年龄差年前，小鲸鱼只有1岁，所以，由1到31之间含有3个年龄差，所以年龄差为：（31-1）÷3=10（岁），小鲸鱼现在的年龄是：1+10=11（岁），鲸鱼妈妈现在的年龄是：11+10=21（岁）
你还记得吗？
1．小光的妈妈去年比小光大25岁，明年妈妈比小光大多少岁？
分析：两个人同时长大一岁，所以他们的差仍然是25岁.
2．今年爷爷年龄是孙子的8倍，明年爷爷的年龄还是孙子的8倍吗？
分析：不是，如果孙子今年10岁，明年11岁，爷爷今年80岁，明年将是81岁，显然不是孙子的8倍.
3．前年豆豆和姐姐的年龄和是20岁，今年两人的年龄之和为多少岁？
分析：前年和今年相差2年，这两年两人同时增加2岁，所以现在的年龄和是24岁.
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专题精讲 根据以上题目，我们得出年龄问题的三大规律： 1、 两人的年龄差是不变的；
2、 两人年龄的倍数关系是变化的量；
3、 随着时间的推移，两人的年龄都是增加相等的量．
解答年龄问题的一般方法是：
几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄， 几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差.
（一） 可以转化为和差问题的年龄问题
【例1】 （★★ 奥数网题库）小傲爸爸妈妈现在的年龄和是72岁；五年后，爸爸比妈妈大6岁.今年爸爸妈妈二人各多少岁？
分析: 五年后，爸比妈大6岁，即爸妈的年龄差是6岁.它是一个不变量.所以爸爸、妈妈现在的年龄差仍然是6岁.这样原问题就归结成“已知爸爸、妈妈的年龄和是72岁，他们的年龄差是6岁，求二人各是几岁”的和差问题。所以爸爸年龄：（72+6）÷2=39（岁），妈妈的年龄：39-6=33（岁）
[巩固]姐姐、妹妹二人的年龄和是33岁，四年后姐姐比妹妹大5岁．那么今年姐姐和妹妹各是多少岁?
分析：四年后姐姐比妹妹大5岁，意味着今年姐姐比妹妹大5岁，由于今年二人的年龄和是33岁，所以用和差问题的方法：姐姐的年龄：(33＋5)÷2＝19(岁)， 妹妹的年龄：(33－5)÷2＝14(岁)
【例2】 （★★★ 奥数网题库）学而思学校张老师和刘备、张飞、关羽三个学生，现在张老师的年龄刚好是三个学生的年龄和；9年后，张老师年龄为刘备、张飞两个学生的年龄和；又3年后，张老师年龄为刘备、关羽两个学生的年龄和；再3年后，张老师年龄为张飞、关羽两个学生的年龄和．求现在各人的年龄．
分析：张老师＝刘备＋张飞＋关羽，张老师＋9＝刘备＋9＋张飞＋9，比较一下这两个条件，很快得到关羽的年龄是9岁；同理可以得到张飞是9＋3＝12岁，刘备是9＋3＋3＝15岁，张老师是9＋12＋15＝36岁．
【例3】 （★★★ 奥数网题库）四个人年龄之和是77岁，最小的一个10岁，他与最大的人年龄之和比另外两个人年龄之和大7岁，那么这四个人中年龄最大的一个年龄是多少?
分析：最小的一个与最大的人年龄之和比另外两个人年龄之和大7岁．最小的一个与最大的人年龄之和看成一个数，把另外两个人年龄之和也看成一个数．问题就转化为两个数的和是77，差是7．这是一个典型的和差同题．因此最小的一个与最大的人年龄之和是：（77＋7）÷2＝42(岁)．最小的10岁，因此最大的年龄：42－10＝32(岁)．
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[前铺] 三个人的年龄和是75岁，最大的人比其它两个人的年龄和还要大15岁，最小的人是12岁，问三个人的年龄各是多少？
分析：已知“最大的人比其它两个人的年龄和还要大15岁”，把“其它两个人的年龄和”看成一个数，还知道三个人年龄和是75岁，这便转化成一个典型的和差问题，最大的人的年龄是：（75+15）÷2=45（岁），其它两人的年龄和是：（75-15）÷2=30（岁），已知最小的年龄是12岁，所以剩下的一人年龄为：30-12=18（岁）
（二） 可以转化为和倍问题的年龄问题
【例4】 （★★★ 奥数网题库）小明与爸爸的年龄和是53岁，小明年龄的4倍比爸爸的年龄多2岁，小明与爸爸的年龄相差几岁？
分析：把小明的年龄看成是一份，那么爸爸的年龄是四份少2，根据和倍关系：
小明的年龄是：（53＋2）÷（4＋1）＝11（岁）， 爸爸的年龄是：53－11＝42（岁），
小明与爸爸的年龄差是：42－11＝31（岁）．
[巩固] 小明与爸爸的年龄和是52岁，小明年龄的4倍比爸爸的年龄小2岁，小明与爸爸的年龄相差几岁？
分析：把小明的年龄看成是一份，那么爸爸的年龄是四份多2，根据和倍关系：
小明的年龄是：（52－2）÷（4＋1）＝10（岁）， 爸爸的年龄是：52－10＝42（岁），
小明与爸爸的年龄差是：42－10＝32（岁）.
【例5】 （★★★ 奥数网题库）姐姐与妹妹3年后的年龄和是33岁，妹妹今年的年龄等于两人的年龄差，姐姐今年多少岁？
分析：今年姐姐和妹妹的年龄和是：33-（3×2）=27（岁），妹妹今年的年龄等于两人的年龄差，实际上姐姐是妹妹年龄的2倍，也就是姐妹二人的年龄和是妹妹今年年龄的3倍，所以，妹妹的年龄是： 27÷3=9（岁），姐姐今年是：27-9=18（岁）.
[拓展]哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为30岁．问：哥哥现在多少岁？
分析：假设弟弟当年年龄是1份，那么哥哥现在的年龄就是3份，因为哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，因为弟弟当年年龄，弟弟现在年龄（＝哥哥当年年龄），哥哥现在年龄这三个数是等差的，所以弟弟现在年龄（＝哥哥当年年龄）就刚好是2份，那么兄弟现在的年龄和是3＋2＝5份，一份就是30÷5＝6，哥哥现在是6×3＝18岁．
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【例6】 （★★★★北京市第四届“迎春杯”决赛）甲、乙、丙三人平均年龄为42岁，若将甲的岁数增加7，乙的岁数扩大2倍，丙的岁数缩小2倍，则三人岁数相等，丙的年龄为多少岁？
分析：甲增加7岁后，三人总年龄是42×3+7＝133岁，并且这时丙是甲的2倍，甲是乙的2倍，丙是乙的4倍，所以这时乙的年龄是
(42×3+7)÷(1+2+4)=(42×3+7) ÷7=19 (岁)，所以丙的年龄是19×4=76(岁)
[巩固] 今年甲、乙、丙、丁四个人的年龄之和是64岁，甲21岁时，乙17岁；今年甲18岁，丙的年龄是丁的3倍．问丁今年的年龄?
分析：由“甲21岁时，乙17岁”可以推知甲比乙大4岁，因此当甲18岁时，乙就是14岁．由于甲、乙、丙、丁四个人的年龄之和是64岁，甲，18岁，乙14岁，故丙和丁的年龄和就是64－14－18＝32(岁)．因为丙的年龄是丁的3倍，剩下的问题是个和倍问题．以丁的年龄作为1倍量，丙的年龄就是3倍量，从而两个人的年龄和32岁，就是4倍量，因此1倍量的大小即丁的年龄是：32÷4＝8(岁)．
（三） 可以转化为差倍问题的年龄问题
【例7】 （★★★ 奥数网题库）今年小华9岁，爸爸33岁，那么再过多少年小华的岁数是爸爸岁数的一半?
分析：今年小华比爸爸小33－9＝24岁，那么小华永远比爸爸小24岁．几年后小华是爸爸岁数的一半时， 即爸爸年龄是小华的2倍时，爸爸仍比小华大24岁．这是个差倍问题．以小华的年龄作为1倍量，爸爸年龄是2倍量，所以爸爸比小华大的岁数也是1倍量，即1倍量代表着24岁．所以小华24岁时年龄是爸爸年龄的一半，因此再过24－9＝15(年)小华的岁数是爸爸的一半．
[拓展]妈妈今年35岁，恰好是女儿年龄的7倍，多少年后，妈妈的年龄恰好是女儿的3倍？
分析：女儿今年的年龄35÷7=5（岁），母女年龄差是：35-5=30（岁），当妈妈的年龄是女儿的3倍时，女儿的年龄是：30÷（3-1）=15（岁），所以要经过：15-5=10（年）
【例8】 （★★★ 奥数网题库）今年爷爷的年龄是孙子的7倍，10年后，爷爷的年龄是孙子年龄的4倍，问：现在爷孙的年龄各是多少岁？
分析：今年爷孙的年龄差是7－1＝6倍，10年后爷孙的年龄差是儿子的4－1＝3倍，这说明再过了10年后，孙子的年龄是现在的二倍，根据差倍问题的公式可以计算出儿子今年的年龄是10÷（2－1）＝10岁，爷爷今年是10×7＝70岁．
[巩固]姐姐比妹妹大8岁，已知2年后姐姐的年龄将是妹妹年龄的2倍．那么姐姐和妹妹今年的年龄各是多少?
分析：姐姐比妹妹大8岁，那么2年后姐姐的年龄还是比妹妹大8岁，则2年后的情况如图所示：
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由于2年后姐姐的年龄将是妹妹年龄的2倍，所以2年后姐姐的年龄比妹妹大的年龄就等于妹妹的年龄，所以妹妹的年龄就是8岁．因此2年后姐姐的年龄就是8×2=16(岁)，今年姐姐的年龄：16－2＝14(岁)．
【例9】 （★★★★★ 奥林匹克训练题库）兄弟俩都有点傻，以为只有自己过一年长一岁而别人不会长大．有一天，哥哥对弟弟说：“再过3年我的年龄就是你的2倍．”弟弟说：“不对，再过3年我和你一样大．”这时他们俩各几岁？
分析：通过“弟弟说：‘不对，再过3年我和你一样大．’”知道哥哥比弟弟大3岁，再通过“哥哥对弟弟说：‘再过3年我的年龄就是你的2倍．’”哥哥现在比弟弟大6岁，这样得出弟弟是6岁，哥哥是6＋3＝9岁．
[拓展] 甲对乙说：“我在你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的一半．”乙对甲说：“我到你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的2倍减7．”问：甲、乙二人现在各多少岁？
分析: 从已知条件中可以看出甲比乙年龄大，甲乙年龄差这是一个不变的量．甲对乙说“我在你这么大岁数的时候”，意思是说几年以前．这几年就是甲乙的年龄差．因此，甲整句话可理解为：乙今年的岁数，减去年龄差，正好是甲今年岁数的一半．即，乙今－年龄差＝甲今的一半 （1） 乙对甲说“我到你这么大岁数的时候”，意思是说几年后．因此，乙整句话可理解为：甲今年的岁数，加上年龄差，正好是乙今年岁数的2倍减去7．即 甲今＋年龄差＝2×乙今－7 （2） 把甲乙的对话用下图表示为：
由（1）得甲今＝2×乙今－2×年龄差 （3） 由（2）得 甲今＝2×乙今－7－年龄差 （4） 由（3）（4）年龄差＝7（岁）
从上图不难看出，甲现在的年龄是乙几年前年龄的2倍，1倍相当于2个年龄差，2倍相当于4个年龄差，乙现在的年龄相当3个年龄差．乙几年后的年龄和甲现在的年龄相等，所以乙几年后相当4个年龄差．甲几年后的年龄比乙几年后的年龄多一个年龄差，正好是7岁，从而得出年龄差是7岁．乙现在年龄： 7×3＝21（岁），甲现在年龄： 7×4＝28（岁）
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（四） 其它特殊类型的年龄问题
【例10】 （★★★★ 奥数网题库）三名男青年王强、张胜、李明和三名女青年芳芳、丽丽、蓉蓉这六个人是三对兄妹，哥哥比妹妹都大5岁，王强比芳芳大1岁，王强与丽丽的年龄和为48岁，张胜与丽丽的年龄和为52，他们六人中各对兄弟妹分别是谁和谁？(只写出答案，不列式)
分析：由于哥哥比妹妹大5岁，两人年龄之和一定是奇数，所以王强与丽丽又不是兄妹，张胜与丽丽也不是兄妹．又因为王强只比芳芳大一岁，因而也不是兄妹，所以王强与蓉蓉是兄妹，从而张胜与芳芳是兄妹，剩下李明与丽丽是兄妹．用图表法解释如下：
【例11】 2001年父亲的年龄是姐姐和妹妹年龄之和的4倍，2007年，父亲的年龄是姐姐和妹妹年龄之和的2倍，问：父亲出生在哪一年？
分析：父亲在2007年的年龄应该是4线段再加6岁，而兄弟二人在2007年的年龄之和是1线段再加上2×6=12（岁），它是父亲年龄的一半，也就是2线段再加3岁，由：1段+12岁=2段+3岁，可以推知1段是9岁，所以父亲2001年的年龄是：9×4=36（岁），他出生于：2001-36=1965（年）
【例12】 （★★★★★ 奥林匹克训练题库）全家4口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁．四年前他们全家的年龄和为58岁，而现在是73岁．问：现在各人的年龄是多少？
分析：73－58＝15≠4×4，我们知道四个人四年应该增长了4×4＝16岁，但实际上只增长了15岁，为什么呢？是因为在4年前，弟弟还没有出生，那么弟弟今年应该是几岁呢？我们可以这样想：父亲、母亲、姐姐三个人4年增长了12岁，15－12＝3，3就是弟弟的年龄！那么很快能得到姐姐是3＋2＝5岁，父母今年的年龄和是73－3－5＝65岁，根据和差问题，就可以得到父亲是（65＋3）÷2＝34岁，母亲是65－34＝31岁．
[拓展] （★★★★第五届<小数报>数学竞赛决赛）“重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶，他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000，其中年龄最大的老人今年多少岁？
分析：两年之后，这25位老人的平均年龄为2000÷25=80(岁)，其中年龄最大的老人为80+12=92(岁)，年龄最大的老人今年的岁数为92-2=90(岁)．
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专题展望 本章内容主要介绍利用和差、和倍以及差倍的方法解决年龄问题，我们分别在四年级寒假班和四升五年级的暑假班还继续学习“用还原方法解答年龄问题”和“对年龄问题的强化和综合”。希望同学再接再厉！
练习四
1． （例2）今年爷爷78岁，三个孙子的年龄分别是27岁、23岁和16岁．经过多少年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和?
分析：观察每过一年，爷爷的年龄与三个孙子年龄和的差的变化．相等时的图示所示：
三个孙子的年龄和是27＋23＋16＝66(岁)，跟爷爷的差距是78－66＝12 (岁)．由于每过一年，三个孙子的年龄和增大3岁，而爷爷年龄增大1岁．因此每过一年，爷爷和三个孙子年龄和的差就缩小2岁．这样由于他们的差距一共是12岁，所以12÷2＝6(年)．
2． （例7）父亲今年44岁，儿子今年16岁，当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是多少岁？
分析：此题关键要抓住年龄差不变，当父亲的年龄是儿子的8倍时，儿子的年龄是一份，父亲的年龄是8份，他们的年龄差是8－1＝7份，因为他们的年龄差始终保持不变，年龄差是44－16＝28岁，所以一份是28÷7＝4，即儿子的年龄是4岁，父亲的年龄是4×8＝32时，父亲的年龄是儿子的8倍，此时他们的年龄和是4＋32＝36岁．
3. （例9）学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚3岁；当你像我这么大时，我已经39岁了．”求老师与学生的年龄．
分析：老师的这句话表示3，学生年龄，老师年龄，39这4个数是一个等差数列，即学生年龄－3＝老师年龄－学生年龄＝39－老师年龄，我们可以先求出这个差是多少：（39－3）÷3＝12，所以学生年龄是3＋12＝15岁，老师年龄是15＋12＝27岁． 4．（例10） 小红、小橙、小黄、小绿四人今年分别是16，12，11，9岁．问：多少年前，小红、小橙的年龄和是小黄、小绿年龄和的2倍？
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分析：现在小红、小橙的年龄和是16＋12＝28岁，小黄、小绿的年龄和是11＋9＝20岁，他们和的年龄差是28－20＝8岁，当小红、小橙的年龄和是小黄、小绿年龄和的2倍时，他们的年龄差是1份，即8岁，此时小红、小橙的年龄和是2×8＝16岁，小黄、小绿的年龄和是8岁，又因为每一组是两个人，所以往前推（28－16）÷2＝6年，即6年前，小红、小橙的年龄和是小黄、小绿年龄和的2倍．
5． （例5） 6年前，母亲的年龄是儿子的5倍，6年后母子年龄和是78岁．问：母亲今年多少岁?
分析：6年后母子年龄和是78岁，可以求出母子今年年龄和是78－6×2＝66 (岁)．6年前母子年龄和是66－6×2＝54(岁)．又根据6年前母子年龄和与母亲年龄是儿子的5倍，可以求出6年前母亲年龄，再求出母亲今年的年龄．
母子今年年龄和： 78－6×2＝66(岁)， 母子6年前年龄和： 66－6×2＝54(岁)，
母亲6年前的年龄： 54÷ (5＋1)×5＝45(岁)， 母亲今年的年龄： 45＋6＝51(岁)．
成长故事
小蜗牛的问题
小蜗牛问妈妈：为什么我们从生下来，就要背着这个又硬又重的壳呢？妈妈：因为我们的身体没有骨骼的支撑，只能爬，又爬不快，所以需要这个壳的保护．小蜗牛：毛虫姐姐没有骨头，也爬不快，为什么她却不用背这个又硬又重的壳呢？妈妈：因为毛虫姐姐能变成蝴蝶，天空会保护她啊．小蜗牛：可是蚯蚓弟弟也没有骨头，爬不快，也不会变成蝴蝶，他为什么不背这个又硬又重的壳呢？妈妈：因为蚯蚓弟弟会钻土，大地会保护他啊．小蜗牛哭了起来：我们好可怜，天空不保护我们，大地也不保护我们．蜗牛妈妈安慰他：我们有壳啊！我们不靠天，也不靠地，我们靠自己．
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