理工大学线性代数考试试卷及参考答案(A)

（ 首 页 ） 线性代数期末考试试卷（A卷） 考试时间： 年 月 日 课程名称： 线性代数 适用专业年级： 考生学号： 考 生 姓 名： ……………………………………………………………………………………………………… 一、单项选择（20分＝4分5）： a11． 0a2b300b2a30b10() 0a400b4（A）a1a2a3a4b1b2b3b4, (B) a1a2a3a4b1b2b3b4, (C) (a1a2b1b2)(a3a4b3b4), (D) (a2a3b2b3)(a1a4b1b4)． 2． 设A,B为同阶方阵，则（ ）成立 （A）ABAB , (B) ABBA, (C) ABBA, (D) AB1 A1B1． 3． 设A为mn矩阵，齐次线性方程组AX0仅有零解的充分必要条件是A的（ ）． (A) 列向量组线性无关， （B） 列向量组线性相关， （C）行向量组线性无关， （D） 行向量组线性相关． 4． 向量,,线性无关，而,,线性相关，则（ ）。 (A) 必可由,,线性表出， （B）必不可由,,线性表出， （C）必可由,,线性表出， （D）必不可由,,线性表出． ５．二次型f(x1,x2,x3)(1)x1x21x3，当满足（ ）时，是正定二次型． 222 (A) 1； （B）0； （C）1； （D）1． 二、填空题（20分＝4分5）： 注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分。 （ 首 页 ） 01 6．D111011110111，则D_______． 10 7．设A为四阶方阵，若A＝a0，则其伴随矩阵A*的行列式A*=_______． 122 8．若A24t，当t_______时，RA2． 369TT 9．设312253，其中1(2,5,1,3),2(10,1,5,10), 3(4,1,1,1)T， 则________． 11010．设A1k0为正定矩阵，则k _______． 00k2三、计算行列式（14分）： 11．a01111a10010a20100a3a1a2a30 四、证明（16分＝8分×2）： 12设A,B为n阶方阵，且A为对称矩阵，证明BAB也是对称矩阵。 13设A和B为同阶正交矩阵，证明AB也为正交矩阵． 五、计算题（14分）： T2111130 14．解矩阵方程X21。 111432六、计算题（10分）： 15．三阶实对称矩阵A的特征值为0,2,2，对应于特征值0的特征向量为p11,1,1，求出相应于特征值2的全部特征向量。 七、解答题(6分)： 16．求曲线xxyy1所围成的图形的面积。 注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分。 22T（ 首 页 ） 2005级线性代数期末考试参考答案（A卷） 一、单项选择（20分＝4分5）： 1、D 2、C 3、A 4、C 5、C 二、填空题（20分＝4分5）： 3 T 6、－3，7、a，8、任意值，9、1234，10、k1 三、计算行列式（14分）： a01 11．1111a100a2001a01i1ai0000a30331a10010a2010 7’ 0a3 a1a2a3(a01) 7’ ai1i四、证明（16分＝8分×2）： 12、证明：QAA 2’ (BAB)BABBAB 3’ BAB也是对称矩阵。 3’ 13、证明：QAA,BB 2’ (AB)1T1T1TTTTTTTB1A1BTATAB 3’ T AB是正交矩阵。 3’ 五、计算题（14分）： 2111130,B 14．解：设A21，则 432111XABATXTBTXTATBT 4’ 1 注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分。 （ 首 页 ） AT81002221143BT11113~01025 5’ 10132001123823221 5’ XT25X82523313六、计算题（10分）： x1 15．解：设A相应与特征值2的特征向量为x2 2’ x3 因为实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交， 2’ T 所以p10x1x2x30 11 得到基础解系11,20 3’ 0111 所以A相应于2的全部特征向量为c11c20,c1,c2R 3’ 01七、解答题(6分)： 1x 16．解：设X,Ay12 EA12,则有XTAXx2xyy2 13131,，的特征值为 2’ A122222 注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分。 （ 首 页 ） 112 1’ 对应于1的特征向量可以计算得：1,单位化得p11121 对应于2的特征向量可以计算得：2,单位化得p11T12 1’ 122y12y221，由正交变化得刚性知面积为。2’ 作正交变化XpY得到XAX2233 注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分。 （ 首 页 ） 注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分。