基于等维新息灰色马尔可夫模型的校准间隔预测

维普资讯 http://www.cqvip.com 第２０卷第５期　传感技术学报　ＣＨＩＮＥＳＥ　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＳＥＮＳＯＲＳ　ＡＮＤ　ＡＣＴＵＡＴＯＲＳ　Ｖｏ１．２０　Ｎｏ．５　２００７年５月　Ｍａｙ．２００７　Ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ　Ｉｎｔｅｒｖａｌ　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ａｎ　Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ　Ｇｒａｙ—Ｍａｒｋｏｖ　Ｍｏｄｅｌ　ＳＵＮ　Ｑｕｎ　，ＭＥＮＧ　Ｘｉａｏ一｛ｅｎｇ，ＷＡＮＧ　Ｇｕｏ—ｈｕａ　（ｓｃｈｏｏｌｏｆｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔａｔｉｏｎ　ｓｃｉｅｎｃｅ＆Ｏｐｔｏ－ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＢｅｉｊｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆＡｅｒｏｎａｕｔｉｃｓ　ａｎｄＡｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ，ＢｅＯｉｎｇ１０００８３，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｏ　ｏｐｔｉｍｉｚｅ　ｔｈｅ　ｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ　ｉｎｔｅｒｖａｌ　ｏｆ　ａ　ｍｅａｓｕｒｉｎｇ　ｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔ，ｃｈａｒａｃｔｅｒｓ　ｏｆ　ｈｉｓｔｏｒｉａｌｃ　ａｌｃｉｂｒａｔｉｏｎ　ｄａｔａ　ａｒｅ　ａｎａｌｙｚｅｄ　ａｎｄ　ａｎ　ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ　Ｇｒａｙ－Ｍａｒｋｏｖ　ＧＭ（１，１）ｍｏｄｅｌｉＳ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｔｈｅ　Ｍａｒｋｏｖ　ｃｈａｉｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉＳ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ｂａｓｄ　ｅｏｎ　ｔｈｅ　ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ　ＧＭ（１，１）ｍｏｄｅｌ，ｗｈｉｃｈ　ｒｅｄｕｃｅｓ　ｒａｎｄｏｍ　ｆｌｕｃｔｕａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ　ｄａｔａ．Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ　ａｒｅ　ａｌｓｏ　ｄｏｎｅ　ｔｏ　ｔｅｓｔ　ｔｈｅ　ｍｏｄｅ１．Ｒｅｓｕｌｔｓ　ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ　Ｇｒａｙ－Ｍａｒｋｏｖ　ＧＭ（１，１）ｍｏｄｅｌ　ｉＳ　ｈｉｇｈｅｒ　ｔｈａｎ　ｔｈｅ　ＧＭ（１，１）ｍｏｄｅｌ，ｔｈｅ　ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ　ＧＭ（１，１）ｍｏｄｅｌ　ａｎｄ　ｔｈｅ　Ｇｒａｙ－Ｍａｒｋｏｖ　ｍｏｄｅ１．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ　ｔｈｅ　ｍｏｄｅｌｉＳ　ａ　ｂｅｓｔ　ｍｏｄｅｌ　ｔｏ　ｆｏｒｅｃａｓｔ　ｔｈｅ　ｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ　ｉｎｔｅｒｖａｌ　ｏｆ　ａ　ｍｅａｓｕｒｉｎｇ　ｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｃａｌｉｂｒａｔｉｏｎ　ｉｎｔｅｒｖａｌ；ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ　ＧＭ（１，１）ｍｏｄｅｌ；Ｍａｒｋｏｖ　ｍｏｄｅｌ；ｇｒａｙ　ｔｈｅｏｒｙ　ＥＥＡＣＣ：７３２０Ｃ　基于等维新息灰色马尔可夫模型的校准间隔预测　孙　群　，孟晓风，王国华　（北京航空航天大学仪器科学与光电工程学院，北京１０００８３）　摘　要：针对测量仪器校准间隔的优化问题，分析了历史校准数据的特征，建立了等维新息马尔可夫ＧＭ（１，１）预测模型．在　等维新息ＧＭ（１，１）模型的基础上，引入马尔可夫模型，克服了随机波动数据对预测精度的影响．通过仿真实验对预测模型进　行了验证，结果表明，等维灰色马尔可夫ＧＭ（１，１）模型的预测精度高于常规灰色ＧＭ（１，１）模型、等维新息灰色ＧＭ（１，１）模型　和常规灰色马尔可夫ＧＭ（１，１）模型，更适合用于测量仪器校准间隔的预测。　关键词：校准间隔；等维新息灰色ＧＭ（１，１）模型；马尔可夫模型；灰色理论　中图分类号：　９３Ｏ　文献标识码：Ａ　文章编号：１Ｏｏ４—１６９９（２ＯＯ７）０５－１Ｏ９５－０５　为保证测量仪器的精度，通常按照规定的校准　间隔对其进行校准．校准间隔一般由大量同类仪器　经过统计分析确定．然而由于生产工艺、使用环境和　使用状况的差别，同类仪器的使用寿命并不相等，存　在个体差异，致使固定校准间隔的校准方式容易引　起不足计量或过剩计量．因此，根据实际情况进行测　量仪器校准间隔的优化便成为研究的热点．　文献［５￣７３也提出一些基于统计建模思想，优化调　整校准隔的方法．然而，上述提到的统计模型不仅需　要大量的数据，而且必须保证校准过程服从正态分　布或其他附加条件，才能得到比较理想的结果．文献　［８３根据测量仪器历史校准数据小样本的特点，基于　灰色理论建立了历史校准数据的灰色ＧＭ（１，１）模　型，并采用灰色灾变预测的方法预测校准日期．但　是，灰色ＧＭ（１，１）模型的预测精度容易受建模数据　随机波动的影响．　本文在测量仪器的校准间隔可以通过历史校准　数据预测的假设下，分析了历史校准数据的特征，并　对校准数据进行了数学描述．在测量仪器校准间隔　灰色预测模型的基础上，引人马尔可夫预测理论，提　出了等维新息灰色马尔可夫ＧＭ（１，１）模型［９］，进行　了仿真实验，并分析了实验结果．　文献［１３采用统计模型中的维纳过程模型建立　了电子尺的校准漂移模型，进行校准间隔的调整．文　献［２］提出用统计方法对校准数据建模，通过进行时　间序列分析，确定校准间隔．文献［３］给出一类统计　建模方法，针对测量仪器的可观测参数，建立校准漂　移模型，根据模型确定和调整校准间隔．文献［４３基　于统计分析方法建立测量仪器校准的随机漂移模　型，通过对校准间隔的参数化，优化校准间隔．此外　收稿日期：２００６—０６—１８　修改日期：２００６－０７－１９　维普资讯 http://www.cqvip.com １０９６　传感技术学报　２００７正　１校准数据分析与建模思想　１．１校准数据序列分析　①：对Ｘ∞　作一次累加生成（１一ＡＧＯ），得到　Ｘ“　一｛　“　（１），ｚ　（２），…，ｚ“　（　））　（３）　其中：　（１）　历史校准数据序列可以用序列（１）表示　Ｘ∞’一ｆｚ∞’（１），ｚ∞’（２），…，ｚ∞’ｉｎ）｝　ｚ㈩（志）一∑ｚ“”（　），ｋ一１，２，…，　）一　（４）　（５）　某校准时间ｔ的校准数据可表示为：　‘。　ｉｔ）一　＋ｂ＋　１／ｔ）Ｊ＋　（　）＋　（　）＋　（　）＋　Ｐ（ｆ）＋３２（ｆ）］　②：根据公式（５），对Ｘ∞　作准光滑性检验．　（２）　其中：　ｚ∞’（ｆ）一校准值；　标称值；　『广测量仪器的系统偏差；　（ｆ）一测量仪器的老化趋势项；　ａ（ｆ）一计量标准、仪器引入的随机误差；　（ｆ）一测量条件引入的随机误差；　（ｆ）一重复性检验引人的随机误差；　Ｐ（ｆ）一其它因素引入的随机误差；　（　）一随机波动趋势项；　测量仪器的校准结果表现为动态发展趋势，趋　势项　＋６＋　（ｆ）］反映了仪器随自身惯性、使用时　间、环境等因素影响引起的长期确定性变化趋势，随　机项［－ａｉｔ）＋ｆｌｉｔ）＋　（ｆ）＋Ｐ（ｆ）＋３２（ｆ）］则反映了随　机因素影响导致的随机波动趋势．　１．２建模思想　测量仪器的校准数据具有小样本、非线性的特　点，适合用灰色预测模型．然而，校准数据具有一定　的波动性，灰色预测模型预测精度便相应降低，并且　可能出现较大的误差．虽然灰色预测模型群中的新　息模型和等维新息模型也能在一定程度上克服建模　数据的随机波动影响，但是对于波动较大数据，预测　精度降低．基于随机过程的马尔可夫理论恰恰能弥　补灰色预测的不足，适用于随机波动序列的预测．马　尔可夫理论指出：系统将来的状态只与目前的状态　有关，而与系统过去的状态无关，状态转移过程无后　效性．根据系统状态之间的转移概率来预测系统未　来发展．转移概率反映了各种随机因素的影响程度，　反映了各状态之间的内在规律性．将灰色预测模型　与马尔可夫模型结合起来，用灰色预测模型预测校　准数据的总体趋势，用马尔可夫模型对随机波动项　进行预测，是提高预测精度一种有效途径．　２等维新息灰色马尔可夫预测模型　２．１等维新息ＧＭ（１，１）模型建模　利用灰色序列ＧＭ（１，１）模型的基本形式　∞　（志）＋口　ｎ　（志）一ｂ进行建模的步骤如下：　③：根据公式（６），检验Ｘ“　是否满足指数规律．　志）一　（６）　④：对ｘ“　作紧邻域生成，得到　“　（志）．　（志）一０．５ｘ‘　（志）＋０．５ｘ‘　（志一１）　（７）　⑤：根据数据建立预报模型，得到灰色微分方程　的白化形式：　＋甜㈩一　Ｂ　ｉ８）　则其解（９）即为Ｘｎ　的预报模型．　广．．　。．ｌ　ｌＬ　ｉ（１　（志＋１）一（　（Ｉ）一旦）ｅ　＋　（９）　（（　¨　（　２　３　⑥：对参数数列　，“］　进行最／Ｊ，－－乘估计，得到：　一（Ｂ　Ｂ）一　Ｂ　ＸＮ　ｉ１０）　Ｌ“－Ｊ　其中　眦‘。　（２）］　Ｘ　Ｎ—ｌ　　Ｉ…　ｌＩ　（　）Ｊ　　∞　⑦：将式（１０）的结果带人式（９），确定预报模　型，求出Ｘ“　的模拟值．　⑧：将求解所得的Ｘｎ　根据公式（１１）进行累减　生成，还原得出ｘ∞　的模拟值．　ｙ－‘。　（志＋１）一ｉ‘　（志＋１）一ｉ‘　（志）　（１１）　⑨：置人新信息　∞　ｉｎ＋１），相应的去掉最老的　信息ｚ∞　（１），根据新序列式（１２）建立新的ＧＭ（１，　１）模型，按照上述步骤进行建模并求解．　Ｘ∞’一｛ｚ∞’（２），ｚ∞’（３），…，ｚ∞’ｉｎ），ｚ∞’ｉｎ＋１））　（１２）　⑩：不断加人最新的信息，去掉最老的信息，保　持建模数据不变，重复①～⑨步，则可建立等维新息　灰色ＧＭ（１，１）模型．　从预测角度看，等维新息ＧＭ（１，１）模型是ＧＭ　（１，１）模型群中最理想的模型，随着系统的发展，老　数据的信息意义将逐步降低，在不断补充新信息的　同时，及时的去掉老数据，建模序列更能反映系统在　目前的特征．　维普资讯 http://www.cqvip.com 第５期　孙群，孟晓风等：基于等维新息灰色马尔可夫模型的校准间隔预测　ｍａｘ／｝　一Ｐ　１０９７　（１９）　２．２马尔可夫过程状态划分　对于符合马尔可夫链特点的非平稳随机序列　（１），将其划分为　个状态，任一状态ｏ　可表示为：　一则可认为下一时刻系统最有可能由状态ｏ　转向　ｏ　．如果矩阵Ｐ中第ｋ行存在两个或两个以上的概　率相同或相近时，则需要考察二步或，ｚ步转移概率　矩阵，以确定未来的转移状态．　２．４　等维新息灰色马尔可夫预测模型　［　ｚ　］，　∈　，　一１，２，…，　（１３）　（１４）　（１５）　其中：　１　一卫（走）＋Ａ　２　一卫（走）＋Ｂ　确定了状态转移矩阵后，便确定了状态变动的　灰元区间［⑧　。　］．将等维灰色模型与马尔可夫　灰元ｏ　和　ｚ　随时间变化，状态划分的数目　以及　参数Ａ　和Ｂ　根据序列（１）的实际情况确定．常用的　状态划分方法有以下几种．　（１）常数划分法：选取有代表性的常数作为状　态划分的界限．　（２）平行曲线法：以卫∞　（走）为基准，划分成与　一卫∞　（走）平行的若干条形区域，每一个条形区域作　为一个状态，卫∞　（走）反映了原始数据的变化趋势．　（３）残差的标准化离差法：首先计算原始数据　与预测数据的残差　，计算出残差平均值　、残差标　准差　，再将得到的残差的标准化离差叩作为划分　状态的考核指标．　（４）相对误差法：以原始数据与预测数据的偏　差　所处的不同上下阈值作为状态划分的标准．　（５）相对值划分法：首先按照公式（１６）计算每　个数据的趋势，　×１００％（走一１　２”，　）　（１６）　』　，　然后按照序列的趋势进行状态划分，趋势小于　１００　为下降趋势，大于１００　的为上升趋势，再按　照趋势的强弱进行状态细分．　一般来讲，状态划分的越多，则预测精度越高．　但是状态的划分同数据的数量和具体值有关，数据　较少或数据值相差不大时，应该划分较少的状态．　２．３状态转移概率矩阵计算　假设Ｍｏ．（　）为由状态　经过ｍ步转移到状　态　的原始数据样本数，Ｍ为处于状态⑧　的原始　数据样本数．则其状态转移概率：　Ｐ　（　）一Ｍｏ　（ｍ）；ｉ一１，２，…，　（１７）　』　状态转移矩阵：　Ｐｌ１（　）　Ｐｌ２（　）　Ｐｌ　（　）　Ｐ２ｌ（　）　Ｐ２２（　ｚ）　Ｐ２　（　）　Ｐ＝＝　（１８）　Ｐ『ｆ１（　）　Ｐ『Ｊ２（　）　Ｐ　（　）　在实际应用中，一般只要考察一步转移概率矩　阵Ｐ．假设预测对象处于⑧　状态，则考察状态转移　概率矩阵Ｐ中第ｋ行，如果满足：　模型结合起来，选取灰元区间的中位数，则可得到序　列最终的预测结果：　１　１　卫∞Ｈ（Ｋ＋１）：　１　∽　］＝告　∞　（走＋１）（Ａ＋Ｂｉ）　厶　（２０）　２．５　灰色阈值灾变预测　灰色灾变预测实质是异常值的预测，对于原始序　列（１），给定上限异常值（阈值）　，定义上灾变序列：　一｛ｘＥｑ（１）］，ｘＥｑ（２）］，…，ｘＥｑ（ｍ）］｝　一｛ｘＥｑ（　）｝］ｆ　ｘＥｑ（ｉ）］　；ｉ：Ｉ，２，…，，ｎ｝（２１）　定义灾变日期序列：　Ｑ（∽一｛ｑ（Ｉ），ｑ（２），…，ｑ（ｍ）｝　（２２）　对灾变日期序列（２２）建立预测模型，即为上灾变预　测．同样，给定下限异常值　，可以定义下灾变序列　（２３），进行下灾变预测．　Ｘ一｛ｘＥｑ（１）］，ｘＥｑ（２）］，…，　ｑ（　）］｝　一｛　ｑ（　）｝］Ｊ　ｘ［ｑ（　）］　一１，２，…，ｍ｝（２３）　灰色灾变预测的目的是通过对灾变日期序列的　研究，寻找其规律性，预测未来灾变发生的日期．本　文将等维新息马尔可夫预测模型应用于历史校准数　据序列的灾变预测，通过对灾变日期分析，得到下次　校准日期．　３仿真实验　文献［８］收集了Ｓｔ．Ｊｏｈｎ’Ｓ　ａｎｄ　Ｓｔ．Ｍａｒｙ’Ｓ　Ｉｎ—　ｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（ＳＪＳＭＩＴ）校准实验室的有　关仪器的历史校准数据．本文选取其中数字万用表　ＨＰ３４７８Ａ和Ｆｌｕｋｅ４５的历史校准数据，作为实验测　试数据．仪器的校准时间为１９９９年６月至２０００年　５月．为了方便比较，预测模型的误差指标采用文献　Ｅ８］提供的最小均方差ＭＳＥ（ｍｅａｎ　ｓｑｕａｒｅｄ　ｅｒｒｏｒ），　定义如下：　ＭＳＥ一　（卫（０】一　（ｏ’）　（２４）　３．１仿真实验１－ＨＰ３４７８Ａ　数字万用表ＨＰ３４７８Ａ的历史校准数据如表１　所示．　维普资讯 http://www.cqvip.com １０９８　传感技术学报　２００７点　表１　ＩｔＰ３４７８Ａ的历史校准数据　给定ｌＯ　Ｖ量值的标准电压，对数字万用表　ＨＰ３４７８Ａ进行校准，要求校准不确定度在０．０１　９／６　之内．根据校准规定的不确定度（Ｏ．Ｏｌ　）进行计算，　得到上灾变值：１０．００１　００　Ｖ，下灾变值：９．９９９　０００　Ｖ．由表ｌ提供的历史校准数据，得到上灾变日期序　列为Ｑ　’一（３，４，７，８，９，ｌｌ，１２），没有下灾变发生．　取灾变日期序列的前６个数据作为建模数据，　最后１个数据作为测试数据．分别采用灰色ＧＭ（１，　１）模型、等维新息ＧＭ（１，１）模型、灰色马尔可夫　ＧＭ（１，１）模型、等维新息灰色马尔可夫ＧＭ（１，１）模　型进行拟合和预测．由于建模数据较少，故仅在预测　时引人马尔可夫模型．随着数据的增加，可以在拟合　时也引人马尔可夫模型．马尔可夫模型的状态划分采　用相对值划分法，根据灾变序列趋势的相对值，适当　选取状态划分的数目，按照第２节的步骤进行计算．　由于模型较多，为了便于比较，仅绘出常规灰色　马尔可夫ＧＭ（１，１）模型和４维新息马尔可夫ＧＭ　（１，１）模型的曲线，如图ｌ所示．　图１实验１中模型的拟合与预测曲线　一　同时，计算得到各模型的拟合与预测的最小均　方差ＭＳＥ，如表２所示．　表２实验１中不同模型的拟合与预测［ＭｓＥ］　仿真实验ｌ的结果表明，常规灰色ＧＭ（１，１）模　型的拟合与预测精度最低．等维新息灰色马尔可夫　ＧＭ（１，１）模型的精度要高于常规灰色马尔可夫ＧＭ　（１，１）模型，预测精度也高于单纯的等维新息ＧＭ　（１，１）模型．其中４维新息灰色马尔可夫模型的预测　精度最高，最小均方差ＭＳＥ的数量级达到了ｌＯ＿。，　明显优于其它模型．　３．２仿真实验２＝Ｆｌｕｋｅ４５　用ｌＯ　Ｖ］量值的标准电压校准数字万用表Ｆｌｕｋｅｌ５，　规定校准不确定度在０．０２９／６以内，历史校准数据如表３　所示．根据校准规定的不确定度（Ｏ．Ｏ２９／６）进行计算，得　到上灾变值：１０．００２　０　Ｖ，下灾变值：９．９９８　０　Ｖ由表３　提供的历史校准数据，得到下灾变日期序列为　∞一　｛２，４，６，７，ｌＯ，ｌ２），没有上灾变发生．　表３　Ｎｕｋｅ４５的历史校准数据　取灾变日期序列的前５个数据作为建模数据，　最后１个数据作为测试数据．采用与仿真实验ｌ中　相同的预测模型和计算方法，得到相关曲线，如图２　所示．　图２一　实验２中模型的拟合与预测曲线　同样，可以得到模型的拟合与预测的最小均方　误差ＭＳＥ列表，如表４所示．　表４实验２中不同模型的拟合与预测［ＭｓＥ］　仿真实验２的结果表明，等维新息灰色马尔可　维普资讯 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