三角形的旁心

２Ｏ０７年第５期　５　三角形的旁心　黄全福　（安徽省怀宁县江镇中学，２￣１４２）　（本讲适合高中）　如图１，，为　△ＡＢＣ的内心，　Ｉ　ｌＢ、Ｉｃ是　三角形旁切圆的圆心，简称为三角形的　旁心，它是三角形一个内角的平分线和其他　两个内角的外角平分线的交点．显然，任何三　角形都存在三个旁切圆、三个旁心．　鉴于三角形旁心的位置关系（都在形外）　和数量关系（存在三个），决定了它具有许多　有用的几何性质．本文仅给出如下三条．　△ＡＢＣ的三个旁　心．显然。Ａ、，、　ｌＡ，Ｂ、ｌ、ＩＢ，Ｃ、ｌ、　分别三点共　线；同时，厶、Ｃ、　图１　性质１旁心与内心关系密切．　若三角形中同时出现内心、旁心，就构成　了三组三点共线、三组四点共圆．　收稿日期：２００６—１２—０４　，、曰，　、Ａ、，、ｃ，，ｃ、曰、，、Ａ分别四点共圆，　且　、％、，，ｃ分别是上述三个圆的直径．　注意，　、　、，，ｃ的中点Ｄ、Ｅ、Ｆ（即　三个圆的圆心）都在△ＡＢＣ的外接圆上．这一　（２００１，全国高中数学联赛）　证明：（１）因为Ａ、Ｃ、Ｄ、Ｆ四点共圆，则　丑　＝　Ｃ．　１　练习题　１．证明：　上Ａ　的充分必要条件是　ＰＡ　一ｐＢ２＝ＱＡ　一　．　又因　ＯＢＣ＝去（１８０￣一　ＢＯＣ）　‘　＝２．若凸四边形ＡＢＣ．Ｄ的面积为ｓ，证明：　ＡＢ２＋　Ｃ２＋Ｃ　＋ＤＡ　≥４Ｓ．　９０￣一　Ｃ，　所以，ＯＢ＿ｌ－ＤＦ．　（提示：利用欧拉定理．）　３．证明：　＋ｔ６＋　≤√３ｐ．　（提示　＝　（ｐ—ｎ）＜－，／ｐ（ｐ—ｎ）・　同理，ＤＣ＿ｌ－ＤＥ．　（２）由ＣＦ＿ｌ－ＭＡ，ＢＥ＿ｌ－ＮＡ，ＤＡｊＩＢＣ，ＯＢ　＿１．ＤＦ，ＯＣ上ＤＥ，可分别得到　ＭＣ　一ＭＨ２＝ＡＣ　一　。　①　②　③　④　⑤　ＮＢ　一＾Ｗ　＝ＡＢ　一Ａ日　，　ＢＤ　一ＣＤ　＝ＢＡ　一ＡＣ　。　删　一ＢＤ　＝ＯＮ２一ＯＤ　．　ＣＭ　一ＣＤ　＝ＯＭ２一ＯＤ　．　①一②＋③＋④一⑤得　酽一ＭＨ２＝ＤⅣ　一Ｄ　。　ＭＯ。一ＭＨ２＝ＮＯ　一＾Ｗ　．　同理，ｔｂ≤￣／ｐ（ｐ—ｂ），　≤／　＋ｔｂ＋　．　≤　≤￣／－　一　＋　确＿＝＿　　＝　ｐ．）　４．设△ＡＢＣ的外接圆半径、内切圆半径分别为　Ｒ、ｒ，外心、内心、重心分别为０、Ｉ、Ｇ．证明：　一０　＞１４（ｒ２一　）．　（提示：由舡２＋ｂ　＋ｃ　≥ａｂ＋ｂｃ＋∞，有　２ｒ一　＝　［６（ｎ６＋６ｃ＋ｃａ）一５（ｎ　＋６　＋ｃ　）］　、≤　（ｎ　＋６　＋ｃ　）＝　ＩＲ２—０　）．）　所以，ＯＨ＿１．ＭＮ．　维普资讯 http://www.cqvip.com

６　中等数学　点对于利用内心来确定旁心的位置大有作用．　过点Ａ作圆的切线ｆ．以Ａ为圆心、ＡＣ为半　径的圆交ｆ于Ｅ、Ｆ，且交ＡＢ于Ｄ．求证：ＤＥ、　性质２旁心与半周长（ｐ）形影不离．　如图２，厶是△ＡＢＣ的一个旁心．作厶Ｅ　＿ｌ＿ＡＢ于点Ｅ，厶Ｆ＿ｌ＿ＡＣ　于点Ｆ，ｌａＤ＿ｌ＿ＢＣ于点　Ｄ．易得　ＢＥ＝肋．　ＤＦ分别通过△ＡＢＣ的内心和一个旁心．　（２００５，全国高中数学联赛）　讲解：如图４，作　ＢＡＣ的平分线交　ＤＥ、ＤＦ于点，、Ｋ．联结　ＣＦ＝ＣＤ．　ＡＥ＝ＡＦ，　图２　ＡＥ＋ＡＦ　＝（ＡＢ＋ＢＤ）＋（ＡＣ＋ＣＤ）　＝ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ．　故ＡＥ＝ＡＦ＝ｐ　．　性质３旁心与三角形的三个顶点构成　三组三点共线．　如图３，厶、　、，ｃ　分别是△ＡＢＣ的三个　旁心．由于Ａ　、Ａ，ｃ是　对顶角的平分线亦为反　向延长线，故　、Ａ、，ｃ　三点共线．同样地，　、　Ｂ、厶，　、ｃ、　分别三　点共线．　如图１，由熟知的内心张角公式　１　ＢＩＣ＝９ｏｏ＋去　ｃ，　又因为厶、ｃ、，、Ｂ四点共圆，故　１　Ｂ＆Ｃ＝９０￣一＋￣ＢＡＣ．　１　同理，　ＣＩＢＡ＝９０￣一去　ＣＢＡ，　１　越ＣＢ＝９０￣一＋￣ＡＣＢ．　这是旁心的张角公式，它保证了以旁心　为顶点的△　，ｃ必是一个锐角三角形．　涉及旁心的竞赛题，大体上可以归纳为　三大类．　１确定旁心的几何位置　例１已知△ＡＢＣ内接于圆，ＡＢ＞ＡＣ，　ＣＥ、ＣＩ・　Ｂ　因为　ＩＥＣ　图　３　＝　ＤＥＣ　：Ｉ￣ＤＡＣ　ｙＫ　Ｉ￣ＢＡＣ　图４　：＝＝／ＩＡＣ．　所以，Ａ、，、ｃ、Ｅ四点共圆．此时，　Ｃ　＝　Ｅ＝　ＡＢＣ＝　ＤＢＣ．　因此，Ｂ、ｃ、，、Ｄ四点共圆．　于是，　ＢＣＩ＝　ＡＤＥ＝　ＡＥＤ　＝　ＡＥＩ＝　ＡＣＩ，　即　平分　ＡＣＢ．　故，是△ＡＢＣ的内心．　下面利用旁心性质１证明：Ｋ是△ＡＢＣ　的一个旁心．　如图４，设ＡＫ交△ＡＢＣ外接圆于点Ｍ，　联结ＭＢ、ＭＤ、ＭＣ、ＢＩ．由内心性质知ＭＩ＝　ＭＢ＝ＭＣ，Ｍ是△ＩＢＣ的外心．而Ｂ、Ｃ、，、Ｄ　四点共圆，可知ＭＤ＝ＭＩ．　但　ＩＤＫ＝９０￣，所以，　Ｋ＝９０￣一　ＤＩＫ　＝９０￣一　ＭＤＩ＝　ＭＤＫ．　故ＭＫ＝ＭＤ＝ＭＩ．　又因为，是△ＡＢＣ的内心，Ｍ在△ＡＢＣ的　外接圆上，所以，Ｋ必是△ＡＢＣ的一个旁心．　【思考】设射线　交（三）Ａ于点Ｇ，易知四　边形ＤＥＧＦ为矩形．既然该矩形的边ＤＥ、ＤＦ　通过△ＡＢＣ的内心和一个旁心，该矩形的边　ＧＥ、ＧＦ（所在直线）是否也通过△ＡＢＣ的另　外两个旁心？感兴趣的读者可动手一试．　维普资讯 http://www.cqvip.com

２００７年第５期　例２　在锐角△ＡＢＣ中，ＡＢ≠ＡＣ，且　ｃｏｓ　Ｂ＋ｃ０ｓ　Ｃ＝１．点Ｅ、Ｆ分别在射线ＡＣ、　ＡＢ上，且满足　ＡＢＥ＝　ＡＣＦ＝９０。．证明：　通过△ＡＢＣ的一个旁心．　讲解：如图５，易　知Ｆ、Ｅ、Ｃ、Ｂ四点　共圆．则有　Ａ　＝　ＡＢＣ，　ＡＦＥ＝　ＡＣＢ．　此时，　图５　ＣＯＳ　ＡＥＦ＋ＣＯＳ　ＡＦＥ　＝ＣＯＳ　Ｂ＋ＣＯＳ　Ｃ：１．　即丽ＣＥ＋　－１．　从而，ＢＦ＋ＣＥ＝ＦＥ．　在ＦＥ上取点Ｋ，使ＦＫ＝ＦＢ，则　ＥＫ＝ＥＣ．　作　ＢＣＥ的平分线交ＦＥ于点０，联结　ＯＢ、ＯＣ、ＫＢ、ＫＣ．　因　ＦＫＢ＝去（１８０。一　ＢＦＫ）　：　１（１８０ｏ￣ＢＦＥ）：Ｉ￣ＢＣＥ　一＝　ＢＣＯ，　所以，Ｂ、Ｋ、０、Ｃ四点共圆．　故　ＣＢＯ＝　ＣＫＯ＝　ＣＫＥ　＝去（１８０。一　ＫＥＣ）　：　１（１８０。一￣ＦＥＣ）：Ｉ￣ＦＢＣ．　因此，ＢＯ平分　ＦＢＣ．　但ＣＯ平分　ＢＣＥ，故０必是△ＡＢＣ的　一个旁心．　说明：例２改编自第２６届ＩＭＯ第１题，　原题是：　如图５中的四边形ＢＦＥＣ，若ｏ０与船、　ＢＣ、ＣＥ都相切，Ｆ、Ｅ、ｃ、Ｂ四点又共圆，则　ＦＥ＝ＢＦ＋ＣＥ．　而本例是它的一个逆命题．至于设计　ｃｏｓ　Ｂ＋ＣＯＳ　Ｃ＝１，是为了达到ＢＦ＋ＣＥ＝ＦＥ　７　的目的．　２利用旁心性质解题　例３　在Ｉ：１ＡＢＣＤ中，Ｍ、Ⅳ分别是　△ＡＢＣ、△ＡＤＣ的旁心．求证：　ＡＭＣ＝　ＡＮＣ．　讲解：如图６，设　△ＡＢＣ、△ＡＤＣ的内　心分别为　、Ｆ，则　在ＡＭ上，Ｆ在ＡＮ　上．易知　Ｂ　ＥＣＭ＝９０ｏ　图６　＝　ＦＣＮ．　由内心性质易得　１　ＡＥＣ＝９０。＋÷ＡＡＢＣ，　厶　１　Ａ　＝９０。＋｛　Ａ嬲．　厶　但　ＡＢＣ＝　ＡＤＣ，所以，　Ａ嬲＝　ＡＦＣ．　则ＡＡＭＣ＝ＡＡＥＣ一　ＥＣＭ＝　脚一９ｆｆ，　ＡＮＣ＝　ＡＦＣ一　Ｖ＝　ＡＦＣ一９０￣．　因此，　ＡＭＣ＝　ＡＮＣ．　说明：上述证法是利用旁心性质１．事实　上，本例还可利用旁心的性质２获得证明：作　Ｍｉｌｌ＇ＬＡＣ亍　Ｍ’　ＮＮ　ＬＡＣ亍　Ｎ　．　得　ＡＭ　＝ｐ△　，ＡＮ　＝Ｐ４￣ｗｃ．　【思考】点Ｍ　和　会重合吗？　△Ａ　Ｂ　Ｃ　三边的连比．　讲解：为简便计，令　ＢＣ＝５。ＣＡ＝４，ＡＢ＝３，则△ＡＢＣ为直角三　角形，　ＢＡＣ：９０。．　由旁心性质３知，　、Ａ、Ｇ　，ｃ　、　、　，　Ａ　、ｃ、Ｂ　分别三点共线，且Ａ　Ａ、Ｂ　Ｂ、ｃ　ｃ是　维普资讯 http://www.cqvip.com

８　中等数学　△Ａ　Ｃ　的三条高．于是，它们的交点，既是　△Ａ　Ｂ　Ｃ　的垂心，又是△ＡＢＣ的内心，且　ＢＡＩ＝　ＣＡＩ＝４５。．　例５在锐角△ＡＢＣ中，ＡＤ是高，，、０　分别是内心、外心，且Ｄ、，、０三点共线．求　证：△ＡＢＣ的外接圆半径等于与边ＢＣ相切　易证Ａ、，、　、Ｃ　及Ａ、，、Ｃ、　分别四点　的旁切圆半径．　共圆，得　ＢＣ　ｌ＝　ＢＡＩ＝４５ｏ，　Ｃ　，＝　ＣＡＩ＝４５。，　即　Ａ　ｃ，Ｃ＝４５。＝　Ａ　Ｂ　Ｂ．　于是，△Ａ　、△Ａ　Ｃ　Ｃ都是等腰直角　三角形．　设Ａ　Ｂ＝　，Ａ　Ｃ＝Ｙ，则　Ａ　＝√　．Ａ　Ｃ　＝　Ｙ．　易证日、Ｃ、日　、Ｃ　四点共圆，故　ＣＡ　＝　ＢＣ　Ａ．　又　Ａ　ＢＣ＝　Ｃ　，所以，　△Ａ　ＢＣ∽△ＡＢＣ　一　ＢＢＣ　——ＡＢ—ＢＣ　Ａ　Ｂ・ＢＣ　＝ＡＢ・ＢＣ。　且口　（　乏’，一　）＝３×５＝１５．　①　同理，Ａ　Ｃ・ＣＢ　＝ＡＣ・ＣＢ，即　ｙ　一Ｙ）＝４×５＝２０．　②　在△Ａ　ＢＣ中，注意到　Ｃ＝４５０有　曰Ｃ。＝Ａ　Ｂ　＋Ａ　Ｃ　一２Ａ　Ｂ・Ａ　Ｃｏｏｓ　ＢＡ，Ｃ，　即５　＝　＋Ｙ　一２ｘｙｃｏｓ　４５。　：　＋Ｙ　一√２ｘｙ．　故２５＝　一ｙ　一ｙ）　：ｙ２一　’，一　）．　③　将式①、②分别代人式③解得　Ｙ＝￣／ｒ　（负根舍），　＝￣／ｒ　（负根舍）．　所以，Ａ　Ｃ　＝√２Ｙ＝￣／８０，　Ａ，　，：　：　．　又　、Ｃ、　、Ｃ　四点共圆，　Ｃ　是该圆的　直径，因此，　Ｂ＇Ｃ　＝　ＢＣ　５　＝　＝　．　故Ａ　Ｂ　：Ａ　Ｃ　：Ｂ　Ｃ　＝√９：√８：√５．　（１９９８，全国高中数学联赛）　讲解：如图８，设　与边ＢＣ相切的旁切　圆圆心为厶，显然，Ａ、　，、厶三点共线．　作舾上ＡＢ于点　Ｅ，Ｉ　Ｆ　ＡＢ于　Ｆ．记　ＩＦ．＝ｒ，厶Ｆ＝ｉ＂ａ，ＢＣ＝　ｈ　ＡＤ　一　一，Ｄ一　ＤＭ　ＭＮ：　：　：一。．　　②注意到　１＝　口一　１（ｃ＋口一６）＝　１（６一ｃ），　ＤＭ＝ＢＭ—ＢＤ＿＿１（ｃ＋ａ－６）一ｃｃ０ｓ　＝　（ｃ＋口一ｂ）－　（ｃ２＋ａ２＿６　）　＝　１（６一ｃ）（６＋ｃ－口），　代入式②得鲁＝　．　故Ｒ＝　＝　＝　．　维普资讯 http://www.cqvip.com

２００７年第５期　９　因此，孚＝ｒ　Ｄ—ｎ　．　　结合式①得ｒ。＝Ｒ．　３挖掘隐含的旁心　因为　ＢＤＡ＝７２０　ＢＤＫ＝１０８￣，则　ＺＢＤＣ＝ＺＳＤＣ＝１ＺＢＤＫ５４ｏ．　＝ＤＣ＝　ＡＢＤＡ＋　ＢＤＣ＝１２６。．　故　ＢＣＤ＝３６０。一７２。一６６。一１２６。＝９６。．　这类题目相当难，难就难在不知道旁心　例７如图１０，平面内两条直线ｌ　／／ｌ　，　在哪里．解这类题要根据图形特点，并把握已　知条件，再加上大胆地猜想和探索，才能将隐　含的旁心挖掘出来．旁心一旦找到，再利用旁　心的性质，问题就迎刃而解了．　例６如图９，在凸　四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝　ＡＣ＝ＢＤ．它的四个内　角中，有两个是锐角，其　．　度数分别为７２。、６另外两个内角的度数．６。．求　　图９　讲解：显然，△ＡＢＣ、△ＢＡＤ都是等腰三　角形．由于等腰三角形的底角是锐角，可知　ＢＡＤ、　ＡＢＣ都是锐角．不妨设　ＢＡＤ＝　７２。，　彻Ｃ＝６６。．此时，　ＢＤＡ＝７２。，　ＡＣＢ＝６６。，　Ｃ＝１８０。一２×６６。＝４８。，　＝１８０。一２×７２。＝３６。．　如图９，作　上ＢＣ于点日，并交ＢＤ于　点Ｊｓ，联结Ｊｓｃ，延长ＡＤ到点Ｋ．易知　ＣＡＤ＝　ＢＡＤ一　Ｃ＝２４￣，　１　跗Ｃ＝　ＨＡＣ＝去　ＢＡＣ＝２４￣．　故　ＳＡＣ＝　ＣＡＤ，即ＡＣ平分　ＤＡＳ．　又　ＢｓＨ＝９０ｏ一　ｓＢＨ　＝９０。一（　仰Ｃ一　Ａ肋）＝６０。，　易知　ＣＳＨ＝　ＢＳＨ＝６０。．则　ＤＳＣ＝１８０。一（　ＢＳＨ＋　Ｃｓ日）＝６０。．　故　ＤＳＣ＝　ＣＳＨ．即Ｊｓｃ平分　ＡＳＤ的　外角．　由ＡＣ和Ｊｓｃ分别平分　ＤＡＳ和　ＡＳＤ　的外角知，ｃ必是△ＡＳＤ的旁心．　根据旁心的性质，得ＤＣ平分　ＡＤＳ的　外角．　它们之间的　距离等于ｎ．　一块正方形　硬纸板ＡＢＣＤ　的边长也等　于ｎ．现将这　块硬纸板平　放在两条平　图ｌＯ　行线上，使得ｚ　与ＡＢ、ＡＤ都相交，交点为Ｅ、　Ｆ；ｚ，与ＣＢ、ＣＤ都相交，交点为Ｇ、日．设　△ＡＥＦ的周长为ｍ　、△ＣＧＨ的周长为ｍ　．证　明：无论怎样放置正方形硬纸板ＡＢＣＤ，ｍ　＋　ｍ，总是一个定值．　（２００３，亚太地区数学竞赛）　讲解：如图ｌ０，联结ＥＨ、ＦＧ得交点Ｄ．因　为点日到ＡＢ、ｚ　距离相等，所以，ＥＨ平分　ＢＥＦ，也平分　删Ｇ．　又点Ｇ到ＡＤ、ｚ　等距离，所以，ＦＧ平分　ＤＦＥ，也平分　Ｇ日．　由此可知，Ｄ既是Ａ　ＡＥＦ的旁心，又是　Ａ　ＣＧＨ的旁心，作出两个旁切圆，易知它们是　同心圆．　设Ｐ、Ｍ、Ｑ、Ｎ分别是彻、ＡＤ、ｃＤ、　上的切点，易证Ｐ、０、Ｑ与　、Ｄ、Ⅳ分别三点　共线，且ＰＱ＝ＡＤ＝ｎ，ＭＮ＝ＡＢ＝ｎ．　利用旁心性质２知　Ａ尸＝　＝　ＣＱ＝ＣＮ＝去ｍ２．　故ｍ１＋ｍ２＝２ＡＰ＋２ＣＱ　＝２０Ｍ＋２０Ｎ＝２ＭＮ＝２ａ（定值）．　【思考】若将正方形硬纸板Ａ　ｃＤ上移，使　维普资讯 http://www.cqvip.com

１０　得Ｚ。交ＡＢ、ＡＤ于点Ｅ、Ｆ，Ｚ２通过点ｃ，此　时，将得到怎样的结论？若再上移，使得ｚ。交　ＡＢ、ＡＤ于点Ｅ、Ｆ，点ｃ在Ｚ。与Ｚ２之间，结论　又将如何？　例８在△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上各有　一点Ａ　、　、ｃ　，且满足　ｃ，＝　ＣＡ　Ｂ　，　ＣＢ　Ａ　＝　ＡＢ　Ｃ　，　ＡＣ　Ｂ　＝　ＢＣ　Ａ　．　证明：　Ｃ　。＋　ＣＡ　＋　ＡＢ。　≤　２．、　‘　讲解：如图１１，　延长ｃ　Ａ　、ｃ　分　别到　、ｙ．注意到　，　、ＣＡ　Ｂ　、、ｙ　＝　ＢＡ　Ｃ　Ｃ　、　＝　ＣＡ　Ｘ，　Ｃ　图ｌｌ　＝　ＡＢ　Ｃ　：　凹　ｌ，．　所以，Ｃ是△Ａ　Ｂ　Ｃ　的一个旁心．　此时，ｃ　Ｃ平分　Ａ　Ｃ　Ｂ　，但　ＡＣ　Ｂ　＝　ＢＣ　Ａ　，故　ＣＣ　上ＡＢ．　同理，Ａ、Ｂ是△Ａ　Ｂ　Ｃ　的另两个旁心．　故　上ＢＣ，ＢＢ　上ＣＡ．　易证Ｂ、Ｃ、Ｂ　、Ｃ　四点共圆，有　佃　Ｃ　＝　ＡＢＣ．　从而，△ＡＢ　Ｃ　∽△ＡＢＣ．　故　＝　ＡＢ＇＝ｃｏｓ　Ａ．　同理，　＝ｃｏｓ　，　…ｃ．　在△ＡＢＣ中，因为　ＣＯＳ　Ａ＋ＣＯＳ　Ｂ＋ＣＯＳ　Ｃ　＝　＝—ｚｅｏｓ　—　～’—・　ＣＯＳ　—　一十Ｉ一＋（　一　１　Ｚｓｌｎ）—Ｃ　Ｊ　一　（ｃｏｓ　一　）＋　＝２ｓｉｎ詈・２ｓｉｎ　・ｓ　＋－　中等数学　ｎ　．ｓｉｎ罢．ｓｉｎ导＋－　≤４×　＋－＝　，　＋　＋　＝ＣＯＳ　Ａ＋ＣＯＳ　＋ｃｏｓ　ｃ≤　．　练习题　１．ｏ０。交ｏ０２于点Ｐ、Ｑ，　０。ＰＯ　＜９０ｏ，过　０　、０　、Ｐ三点的圆分别交Ｏ０。、ｏ０　于点Ａ、　．　明：（）是△ＡＢＰ的旁心．　（提示：设法证Ａ、０　、Ｑ及Ｂ、０。、Ｐ分别三点共　线．）　２．已知佃、ＡＣ切ｏ　０于点Ｂ、Ｃ，ＯＡ交ＢＣ于点　肘，过肘作ｏ０的另一弦ＥＦ．求证：△ＡＢＣ、△ＡＥＦ　存在一个公共的旁心．　（提示：设直线　交ｏ０于点　、ｙ，　在△ＡＢＣ　的内部．易知　、Ｂ、０、Ｃ四点共圆导致　、Ｅ、０、Ｆ　四点共圆．先证　为△ＡＢＣ、△ＡＥＦ的公共内心，再　证ｙ为两个三角形的公共旁心．）　３．已知ｏ０为凸四边形ＡＢＣＤ的内切圆，延长　佃、ＤＣ交于点Ｅ，延长ＡＤ、ＢＣ交于点Ｆ．求证：　ＢＯＥ＝　ＤＯＦ．　（提示：设△ＢＣＥ、△ＣＤＦ的内心分别为，１、，２，　，　在ＯＥ上，，２在ＯＦ上．利用旁心性质・１证明０、　、，１、Ｃ与０、Ｃ、１２、Ｄ分别四点共圆．）　４．已知△ＡＢＣ的三个旁心分别是　、ｙ、Ｚ（分别　在　、　、　Ｃ内部）．设　Ｊ＿ＢＣ，　Ｊ＿ＣＡ，　Ｊ＿佃．证明：　、ｙ　、ＺＺ＇三线共点．　（提示：利用旁心性质３，点Ａ、Ｂ、Ｃ分别在　△　的三边上，　、ＹＢ、ＺＣ是三条高．易证　＝　ＺＸＡ．作ＹＫＪ＿　，点Ｋ在　上．设法证　、ｙ、Ｋ、ｚ四点共圆，ＸＫ为△船　的外接圆直径．）　５．已知△ＡＢＣ，点Ｄ在边ＢＣ上，０、０。、０　分　别是△ＡＢＣ、△ＡＢＤ、△ＡＣＤ在　Ａ内的旁心，ＯＥ　上ＢＣ于点　．求证：ＥＯ。上ＥＯ　．　（提示：作０。ＭＪ＿ＢＣ于点Ｍ，０２ＮＪ＿ＢＣ于点　Ⅳ．利用旁心性质２证明：ＭＤ＝ＥＮ，ＭＥ＝ＤＮ．设　ｏ０。、ｏ　０　的半径分别为ｒ。、ｒ　，易证ＤＭ・ＤＮ＝　ｒ１　ｒ２，再证ＥＭ・ＥＮ＝ｒ１　ｒ２．）