本单元内容是在学生已经探索并掌握了长方形、正方形和圆等一些常见的平面图形的特征,以及长方体、正方体的特征,并直观认识圆柱的基础上进行教学的。此前对圆面积公式的探索以及对长方体、正方体特征和表面积、体积计算方法的探索,既为进一步探索圆柱和圆锥的特征,探索圆柱表面积的计算方法以及圆柱和圆锥的体积公式奠定了知识基础,同时也积累了探索的经验,掌握了研究的方法。从认识长方体和正方体这样由几个平面图形围成的几何体,到认识圆柱和圆锥这样含有曲面的几何体,在图形的认识上又深入了一步。不仅能拓宽学生的学习空间,使学生关于几何形体的知识结构得以进一步完善,为今后进一步学习其他立体图形打好基础;同时,能进一步丰富学生“空间与图形”的学习经验,培养学生观察和认识周围事物中相关形体的兴趣和意识,形成初步的空间观念。本单元的主要内容包括:认识圆柱和圆锥的基本特征;探索并掌握圆柱侧面积和表面积的计算方法,解决与之相关的一些简单的实际问题;探索并掌握圆柱的体积公式,应用圆柱的体积公式解决相关的实际问题;探索并掌握圆锥的体积公式,应用圆锥的体积公式解决相关的实际问题。最后对本单元的学习内容进行了整理与练习,沟通知识间的联系,进一步提高应用数学知识解决实际问题的能力。
学生已经探索并掌握了长方形、正方形和圆等一些常见的平面图形的特征,以及长方体、正方体的特征,且已经掌握了转化的数学思想,积累了探索的经验,准备了研究的方法,同时学生在此前对圆柱的直观认识和在日常生活中对这两种几何体的接触,都为探究圆柱的侧面积、表面积、体积以及圆锥的体积奠定了基础。
1. 使学生通过观察、操作等活动认识圆柱和圆锥,知道圆柱和圆锥底面、侧面和高的含义,掌握圆柱和圆锥的基本特征。
2. 使学生在具体情境中,经历操作、猜想、估计、验证、讨论、归纳等数学活动过程,探索并掌握圆柱侧面积和表面积的计算方法,以及圆柱和圆锥的体积计算公式,能解决与圆柱表面积以及圆柱圆锥体积计算相关的一些简单的实际问题。
3. 使学生在活动中进一步积累空间与图形的学习经验,增强空间观念,发展数学思考,培养初步的分析、综合、比较、抽象、概括和简单的判断、推理能力。
4. 使学生进一步体会图形与实际生活的联系,感受立体图形学习的价值,提高数学学习的兴趣和学好数学的自信心。
5. 体会类比、转化等数学思想,初步发展推理能力
1. 从学生的生活实际出发,结合具体实物,利用学生已有的经验开展教学活动。圆柱和圆锥是日常生活中较为常见的几何体,也是基本的立体图形。学生在此前对圆柱的直观认识和在日常生活中对这两种几何体的接触,为学生顺利开展学习活动奠定了基础。在教学圆柱和圆锥的基本特征时,让学生观察并列举常见的圆锥或圆锥形状的物体,充分发挥实物的直观作用。在教学圆柱和圆锥的体积时,让学生借助具体实物进行观察、操作和实验,为学生的自主探索提供必要的支撑。
2. 充分关注猜想和估计在探索学习中的作用,精心设计探索圆柱和圆锥体积公式的活动线索。在探索圆柱的体积公式时,首先让学生观察底面积和高分别相等的长方体、正方体和圆柱,猜想这三种形体体积之间的关系,再启发学生把以前探索圆面积公式的经验和方法迁移到探索圆柱体积公式的过程中来,进而推导出圆柱的体积公式,验证自己的猜想。在探索圆锥的体积公式时,也让学生观察底面积和高分别相等的圆柱和圆锥,估计圆锥的体积是圆柱的几分之几,再通过实验验证自己的估计,从而推导出圆锥的体积公式。这样联系长方体体积公式猜想圆柱的体积公式,联系圆柱的体积估计圆锥的体积,在猜想或估计的基础上通过实验和操作进行验证,有利于提升学生的数学思维水平,培养学生的学习能力,增强学生对相关数学知识和方法的体验。
3. 重视所学知识的综合应用,让学生在应用中感受数学知识的内在联系,不断提高解决实际问题的能力。例如,在学习圆柱表面积计算方法后,让学生计算制作队鼓、油桶、通风管、灯笼等需要的材料。
1 圆柱和圆锥的认识 1课时 2 圆柱的侧面积和表面积 1课时 3 圆柱的体积 4 圆锥的体积 5 整理与练习
圆柱和圆锥的认识。(教材第9~10页)
1. 使学生在观察、操作、交流等活动中感知并发现圆柱和圆锥的特征,知道圆柱和圆锥的底面、侧面和高。
2. 使学生在活动中进一步积累认识立体图形的学习经验,增强空间观念、发展数学思考。
3. 使学生进一步体验立体图形与生活的联系,感受立体图形的学习价值,提高学习数学的兴趣和学好数学的信心。
1课时 1课时 1课时
重点:认识圆柱和圆锥,体会其特征。
难点:知道圆柱和圆锥各部分的名称,了解圆柱和圆锥的特征。
课件、圆柱和圆锥的实物等。
课件出示:一组几何体的实物,其中有长方体、正方体形状的,也有圆柱和圆锥形状的。 师:同学们,这些物体的形状是各式各样的,其中哪些物体的形状我们比较熟悉? 学生回答。
师:这些物体的形状有些是我们已经认识的长方体、正方体;有些就是我们今天要认识的新的立体图形——圆柱和圆锥。(课件出示:教材第9页例1)
【设计意图:借助学生的生活经验,直观的认识圆柱和圆锥】
1. 认识圆柱的特征。
师:图中哪些物体的形状是圆柱体? 学生指出来。
师:圆柱体简称圆柱。仔细观察圆柱,说说圆柱有什么特征。 生1:圆柱从上到下一样粗。
生2:圆柱上、下两个面是完全相同的圆。 生3:圆柱有一个面是弯曲的。
介绍圆柱(课件出示:教材第9页圆柱直观图):圆柱的上、下两个面叫作底面,围成圆柱的曲面叫作侧面,两个底面之间的距离叫作高。
师:请同学们拿出你准备的圆柱体,互相指着说一说它的底面、侧面和高。 学生进行小组活动;教师巡视了解情况。 2. 认识圆锥的特征。
师:这些物体都是圆锥形状的,简称圆锥。我们现在所认识的圆锥都是直圆锥。(课件出示:教材第10页最上面图)
学生观察图。
师:在日常生活中,你还见过哪些圆锥形状的物体?你能举出一些例子吗? 生1:我们玩的跳棋下面是圆锥。
生2:我们常见的建筑用的沙子经常堆成圆锥。 ……
师:每个小组里课前也准备了一些物体,请大家从里面挑出圆锥形状的,就像刚才我们研
究圆柱一样,看看圆锥有什么特征?
学生进行小组活动;教师巡视了解情况。 师:谁来用自己的语言描述一下圆锥的特征? 生1:圆锥有一个顶点。 生2:圆锥的底面是一个圆。 生3:圆锥的侧面是曲面。
师:你能指出圆锥的顶点、底面、侧面和高吗?(课件出示:教材第10页圆锥的直观图) 强调:圆锥的底面是一个圆,侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
师:请拿出一个圆锥形状的物体,互相指着说一说它的顶点、底面、侧面和高。 学生进行小组活动,教师巡视了解情况。
【设计意图:引导学生观察、讨论、交流,使学生对圆柱和圆锥的认识由直观认识上升到理性认识,了解圆柱和圆锥的特征】
师:今天这节课你学到了哪些知识?有什么收获?还有哪些不清楚的问题? 学生举手发言。
圆柱和圆锥的认识
圆柱的特征
圆锥的特征
1. 动手实践,探索圆柱的特征。
认识圆柱时,引导学生通过观察、比较、交流等活动,进一步探索圆柱的特征。在此基础上,结合圆柱的直观图,介绍圆柱的底面、侧面和高的含义。这一过程,学生是在教师的引导下进行学习的,对圆柱的特征有了较完整的认识。通过让学生对两个高度不同的圆柱比较引出圆柱高的概念,学生在理解概念的基础上思考圆柱有几条高。
2. 运用迁移的方法学习圆锥的特征。
圆锥的认识和圆柱的认识在研究内容上有其相似之处。认识圆柱后我及时地引导学生进行回顾:圆柱是从面(面的个数、面的特征)、高(什么是高、高的条数)等几个方面进行研究的。引导学生利用圆柱的学习方法去自主学习交流圆锥的特征。对于圆锥,不同的同学有了不同的认识。然后,通过适时地交流和组织,学生对于圆锥有了较好的认识。
A类
看图选择序号填空。
(考查知识点:圆柱的认识;能力要求:了解圆柱的特征,知道圆柱的各部分名称)
B类
1. 下面图形( )旋转后形成圆柱。
2. 在下图中,以直线为轴旋转一周,可以得到圆锥的是( )。
(考查知识点:圆柱和圆锥的认识;能力要求:认识圆柱和圆锥,了解圆柱和圆锥的特征)
课堂作业新设计
A类:
B类: 1. A 2. D 教材习题
教材第10页“练一练”
圆柱:第一行的第二个、第五个,第二行的第二个、第三个。 圆锥:第一行的第三个,第二行的第四个。
圆柱的侧面积和表面积。(教材第11~14页)
1. 指导学生理解圆柱的侧面积和表面积的含义,掌握圆柱侧面积和表面积的计算方法。 2. 引导学生学会运用所学的圆柱的表面积和侧面积的知识解决简单的实际问题。 3. 培养学生观察、操作、概括和利用所学知识灵活地分析解决实际问题的能力。
重点:理解圆柱侧面积和表面积的含义,掌握圆柱侧面积和表面积的计算方法。 难点:圆柱的侧面积计算方法的推导。
课件、圆柱形罐头。
师:同学们,通过对圆柱的认识,你对圆柱有哪些了解?以前学过了表面积,你觉得表面积是什么?
生1:我知道了圆柱的特征,上、下两个面都是相等的圆形,叫作底面;圆柱周围的面,是一个曲面,叫作侧面;圆柱的两个底面之间的距离叫作高。
生2:我知道了沿着圆柱侧面上的高将侧面展开后是一个长方形,长方形的长相当于圆柱的底面周长,长方形的宽相当于圆柱的高。
生3:长方体(或正方体)6个面的总面积叫作它的表面积。 生4:我觉得表面积就是物体表面的面积之和。 ……
师:长方体、正方体都属于立体图形,它们的表面积我们会计算了,那么圆柱也是立体图形,圆柱的表面积又该怎样计算呢?今天我们就一起来学习圆柱的表面积。
【设计意图:“温故而知新”,学习新课之前引导学生复习与之相关的知识点,为新课的学习做准备】
1. 教学例2。
教学圆柱的侧面展开图。
(1)出示一个带完整商标的罐头盒。 师:这个罐头盒是什么体?(圆柱) 师追问:它的侧面是哪个面?
让前排的学生指给全班同学看,使学生明白这个圆柱的侧面实际上可以用罐头盒上的商标纸来表示。
(2)投影出示例2。
(3)小组讨论,然后指名说说自己的想法。
生:要求商标纸的面积,我们可以把商标剪下来再计算。 师:怎么剪? 生:沿着高剪。
(4)全班学生按照这种办法剪一剪。
学生沿着罐头盒的一条高将商标纸剪开,再将商标纸打开,教师将剪开后的商标纸展示在黑板上。
师:现在商标纸是什么形状?(长方形)
教师追问:长方形的长是多少?宽是多少?它们与圆柱有什么关系? (5)小组讨论,并计算商标纸的面积。
学生汇报:我们把商标纸反复地包在圆柱的侧面,我们发现:长方形的长就是圆柱的底面圆的周长,长方形的宽就是圆柱的高。
底面圆的周长=3.14×11=34.54(厘米) 长方形的面积=34.54×15=518.1(平方厘米)
师:刚才同学们计算出商标纸的面积,也就是圆柱侧面的面积,我们简称侧面积。 (6)教师板书:圆柱的侧面积=底面周长×高
教师小结:要计算圆柱的侧面积,必须知道圆柱的底面周长和高这两个条件。有时题里只给出直径或半径,底面周长可以通过这些条件计算得到,在解题前要注意看清题意再列式。
2. 教学例3。 圆柱的表面积。
(1)师:我们学习过计算长方体、正方体的表面积,谁愿意说一说你对表面积的理解? 生:表面积就是各个面的面积和。
师:请同学们把课前自己制作的圆柱模型展开,仔细观察,圆柱的表面积由哪几个部分组成?
生:圆柱的表面积由两个圆形底面的面积和侧面的面积组成。 师:谁能根据自己的理解说一说什么是圆柱的表面积? 生:圆柱的表面积是指圆柱的两个底面面积与侧面面积之和。 板书:圆柱的表面积=侧面积+两个底面积。 (2)教学例3。
出示例3中的圆柱图。
师:请同学们在练习本上试着计算出圆柱的表面积。 学生先独立完成,然后汇报。
师:要求这个圆柱的表面积,要先求什么,再求什么?
生:底面是直径为2厘米的圆,我先求的是底面圆的面积,再求侧面积。 底面积=3.14×1×1=3.14(平方厘米) 2个底面积=3.14×2=6.28(平方厘米) 侧面积=底面周长×高,也就是3.14×2×2=12.56(平方厘米) 表面积=侧面积+2个底面积=12.56+6.28=18.84(平方厘米) (3)同桌互相讨论这样计算这个圆柱的表面积对不对。 (4)在教材中的方格纸上画出这个圆柱的展开图。
【设计意图:在引导学生探究得出圆柱表面积计算方法的基础上,及时安排针对性练习,能有效促使学生巩固所学知识,同时提醒学生具体问题要具体对待,不能一味地套公式】
师:在本节课的学习中,你有哪些收获? 学生自由交流各自的收获体会。
圆柱的侧面积和表面积
1. 抓住特征,建立表象。之前已经学习了长方体和正方体的表面积,学生对表面积的概念并不陌生。
教学圆柱的表面积时,重点是通过圆柱展开图,让学生理解圆柱的表面积是由一个曲面和两个完全相同的圆围成的,这样真正建立圆柱的表面积的表象。
2. 抓住本质,理清思路。圆柱的表面积包括一个侧面和两个底面。计算圆柱的侧面积时要用圆柱的底面周长乘高,而圆柱的底面积则需用到圆的面积公式。在同一题里,周长公式与面积公式混淆也是计算圆柱表面积出错的原因之一。怎样能更好地理清思路,灵活地进行计算呢?我认为,尽量将复杂的问题简单化,以不变应万变。即圆柱的侧面展开图是一个长方形,计算侧面积的直接条件是底面周长和高;圆柱的底面是圆形,计算圆的面积的直接条件是半径。当然,涉及解决具体的问题,我们就要联系实际具体问题具体对待。
A类
从下面不同形状的纸板中选择能围成圆柱的纸板(纸板不能重叠,也不能剩余),是( )。
A.2号和3号 B.4号和5号 C.2号和4号 (考查知识点:圆柱的侧面积;能力要求:灵活运用所学知识解决简单的问题)
B类
一个圆柱沿着底面直径纵切成相等的两部分后,表面积比原来增加了80平方厘米,圆柱的侧面积是多少平方厘米?
(考查知识点:圆柱的表面积;能力要求:灵活运用所学知识解决简单的实际问题)
课堂作业新设计
A类: C B类:
3.14×(80÷2) =3.14×40 =125.6(平方厘米)
答:圆柱的侧面积是125.6平方厘米。 教材习题
教材第12页“练一练” 1. 31.4×6=188.4(平方厘米)
2.3.14×2×0.8+3.14×(2÷2)2×2=11.304(平方厘米) 3.14×(0.5×2)×3.5+3.14×0.52×2=12.56(平方厘米) 教材第13~14页“练习二”
1.
2.
3. 略
4.铝皮:3.14×6×2.6=48.984(平方分米) 羊皮:3.14×(6÷2)2×2=56.52(平方分米) 5. 3.14×0.6×1+3.14×(0.6÷2)2×2≈2.45(平方米) 6. 8cm 125.6cm2 50.24cm2 226.08cm2 5cm 314cm2 78.5cm2 471cm2 7. 3.14×0.15×2=0.942(平方米)
8. 3.14×24×30+3.14×(24÷2)2=2712.96(平方厘米) 9. 3.14×1.8×2×6+3.14×1.82=77.9976(平方分米)
10. (30×30+3.14×16×10)×20=28048(平方厘米)=280.48(平方分米) 11. 40×[3.14×(0.5×2)×3.5+3.14×0.52]=471(朵) 12. 3.14×3×5×0.5=23.55(千克)
思考题:3.14×(20÷2)2×4=1256(平方厘米) 3.14×(20÷2)2×6=1884(平方厘米) 3.14×(20÷2)2×8=2512(平方厘米)
圆柱的体积。(教材第15~19页)
1.运用迁移规律,引导学生借助圆的面积计算公式的推导方法来推导圆柱的体积公式,并理解这个过程。
2.指导学生学会用圆柱的体积公式计算圆柱形状的物体的体积和容积,运用公式解决一些简单的问题。
3.引导学生逐步学会转化的数学思想和数学方法,提高学生解决实际问题的能力。 4.借助实物演示,培养学生抽象、概括的能力。
重点:用圆柱的体积公式计算圆柱形状物体的体积和容积,运用公式解决一些简单的实际问题。
难点:借助圆的面积公式的推导方法来推导圆柱的体积公式,并理解这个过程。
课件、圆柱形学具、圆柱形水杯。
1.出示圆柱形状的水杯。
(1)在杯子里面装满水,让学生想一想水杯里的水是什么形状的。 (2)师:你能用以前学过的方法计算出这些水的体积吗?
(3)学生讨论后汇报:把水倒入长方体容器中,量出数据后再计算。 (4)指定学生说一说长方体的体积公式。 2.创设情境。(课件出示)
师:如果要求压路机圆柱形前轮的体积,或是求圆柱形柱子的体积,还能用刚才的方法吗?刚才的方法不是一种普遍适用的方法,那么在求圆柱体积的时候,有没有像长方体或正方体
那样的体积计算公式呢?
今天,我们就来一起研究圆柱体积的计算方法。(板书课题:圆柱的体积)
1. 圆柱体积计算公式的推导。 (1)教师一边演示,一边讲解。
师:同学们看老师手中的这个圆柱,我先把圆柱的底面分成了16个相等的扇形,再按照这些扇形沿着圆柱的高把圆柱切开,这样就得到了16块体积大小相等,底面是扇形的形体。
师:下面请同学们拿出自己的学具动手拆一拆,拼一拼,看一看拼出来是什么形体。 (2)学生操作,教师巡视指导。 (3)启发学生观察、思考和讨论。 师:圆柱切开后可以拼成一个什么形体? 生:近似的长方体。
师:通过刚才的实验,你发现了什么?(教师要注意启发、引导) 生1:拼成的近似长方体和圆柱相比,体积大小没变,形状变了。
生2:拼成的近似长方体和圆柱相比,底面的形状变了,由圆变成了近似的长方形,而底面积大小没有发生变化。
生3:近似长方体的高就是圆柱的高,没有变化。 (4)课件演示,学生观察。
师:同学们,刚才我们把圆柱的底面平均分成了16份,切割后再拼起来,拼成了一个近似的长方体,下面请同学们仔细观察。(教师一边利用课件出示图形,一边提问)
①如果把圆柱的底面平均分成32份,拼成的物体形状怎样? ②如果把圆柱的底面平均分成64份,拼成的物体形状怎样?
③如果把圆柱的底面平均分成128份,拼成的物体形状怎样?
(利用课件使学生直观地认识到分的份数越多,拼成的物体就越接近长方体) (5)师:通过课件的演示,你有什么发现?
生:①平均分的份数越多,拼出来的形体越近似于长方体。
②平均分的份数越多,每份扇形的面积就越小,弧就越短,拼出来的近似长方体的长就越近似于一条线段,这样整个形体就越近似于长方体。(学生回答时,教师要注意启发、点拨。如果学生理解有困难,可把演示的三个近似长方体,放在一起,让学生观察比较)
(6)启发学生思考回答:
为什么要把圆柱拼成近似的长方体?你从中发现了什么? ①圆柱与近似长方体,形状不同,体积相同。
②我们学过长方体的体积公式,如果把圆柱转化成近似长方体,圆柱的体积就可以计算了。
(7)推导圆柱的体积公式:
师:以小组为单位,讨论圆柱的体积应怎样计算。 学生汇报讨论结果,并说明理由。
生:因为长方体的体积等于底面积乘高(板书:长方体的体积=底面积×高),近似长方体的体积等于圆柱的体积(板书:圆柱的体积),近似长方体的底面积等于圆柱的底面积(板书:底面积),近似长方体的高等于圆柱的高(板书:高),所以圆柱的体积等于底面积乘高。
用字母表示圆柱的体积公式。 师:用字母如何表示? 学生回答,教师板书:V=Sh。
启发学生回答:求圆柱的体积必须具备哪两个条件?
学生:底面积和高,或者底面圆的半径和高。 2. 教学“试一试”。
师:你能运用圆柱的体积计算公式解决下面的问题吗?(课件出示:教材第16页“试一试”) 学生尝试独立解答;教师巡视了解情况,注意发现学生存在的问题并及时纠正。 组织学生交流订正: 3.14×52×8 =78.5×8 =628(立方厘米)
答:这个零件的体积是628立方厘米。
师:请大家想一想,计算圆柱的体积,可能会有哪些形式的习题? (学生回答时,要说一说计算思路) 学生可能会说:
·已知圆柱的底面半径和高,求体积。 ·已知圆柱的底面直径和高,求体积。 ·已知圆柱的底面周长和高,求体积。 ·已知圆柱的底面面积和高,求体积。
【设计意图:引导学生经历圆柱体积计算公式的推导过程,体会“转化”思想的广泛应用,提高学生的思维水平】
师:在本节课的学习中,你有哪些收获? 学生可能会说:
·利用“转化”可以帮助我们解决问题。
·我们利用了体积不变的特性,把不规则图形转化成规则图形来计算。 ·在五年级时计算梨的体积也是用了转化的方法。 ……
【设计意图:及时帮助学生梳理所学知识,又及时总结学习方法,渗透数学思想】
圆柱的体积
长方体的体积=底面积×高
圆柱的体积=底面积×高 V= S × h
1. “圆柱的体积”的学习是在学生已经掌握了圆柱的基本特征,长方体、正方体体积计算
方法等基础上进行的,是今后学习“圆锥的体积”的基础。
2.采用小组合作学习,从而引发自主探究,最后获取知识的新方式来代替教师讲解的老模式,能取得事半功倍的效果。
3.推导公式时间过长,可能导致练习时间少,练习量少,要注意把控。
A
类
把一个直径为4厘米的圆柱,斜着截成两个形状相同的立体图形(如右图),求截后的体积。 (考查知识点:圆柱的体积;能力要求:掌握圆柱体积的计算方法)
B类
右图是一浴足木桶。
这个浴足木桶最多能盛多少水?
温馨提示:这样的木桶蕴含着一个道理即“木桶效应”。希望同学们下来查询一下究竟“木桶效应”蕴含着一个什么道理。
(考查知识点:圆柱的体积;能力要求:能运用圆柱体积计算的方法解决简单的问题)
课堂作业新设计
A类:
3.14×(4÷2)2×(7+5)÷2 =3.14×4×12÷2 =75.36(立方厘米)
答:截后的体积是75.36立方厘米。 B类:
3.14×(30÷2)2×40 =3.14×225×40
=28260(立方厘米)=28.26(升)
答:这个浴足木桶最多能盛28.26升水。 教材习题
教材第16页“练一练”
1. 3.14×(8÷2)2×4=200.96(立方厘米) 3.14×32×6=169.56(立方厘米)
2. 3.14×(62.8÷3.14÷2)2×50=15700(立方厘米) 教材第17~19页“练习三” 1. 0.72 0.75
2. 3.14×(3÷2)2×2.4=16.956(立方分米)≈17.0(升) 3.
6
4. 3.14×(8÷2)2×4=200.96(立方厘米) 3.14×(6÷2)2×7=197.82(立方厘米) 3.14×(5÷2)2×10=196.25(立方厘米)
196.25<197.82<200.96 第一杯里的饮料最多。
5. 3.14×32×5×1=141.3(千克) 141.3<150 这个保温茶桶不能盛150千克水。 6. 3.14×(2.5÷2)2×9.25÷50≈0.9(立方厘米) 7. 以长边为轴:3.14×42×5=251.2(立方厘米) 以宽边为轴:3.14×52×4=314(立方厘米)
314>251.2 以宽边为轴旋转一周得到的圆柱体积大。 8. 25.12÷3.14÷2=4(cm) 3.14×42×8=401.92(立方厘米)
9. 略
10. 10cm 31.4cm 219.8cm2 157cm3 3dm 18.84dm 244.92dm2 282.6dm3 1m 2m 37.68m2 15.7m3
11. (1)3.14×(40÷2)2×50=62800(立方厘米)=62.8(升) (2)0.85×62.8=53.38(千克)
(3)3.14×40×50+3.14×(40÷2)2×2=8792(平方厘米)≈88.0(平方分米) 12. (1)3.14×(8÷2)2×3.5×1=175.84(吨) (2)3.14×8×3.5+3.14×(8÷2)2=138.16(平方米) 13. (1)3.14×(15×2)×20+3.14×152=2590.5(平方厘米) (2)(15×2)×4+20×4+15=215(厘米)
14. (1)3.14×(2×2)×15÷2+3.14×22=106.76(平方米) (2)3.14×22×15÷2=94.2(立方米) 15. 6×3×4÷8=9(平方厘米)
16. 1.6升=1.6立方分米 1.6÷1.2×=1(分米) 思考题:3.14×52×8÷4×9=1413(立方厘米)
圆锥的体积。(教材第20~23页)
1.引导学生探索并初步掌握圆锥的体积计算方法和推导过程。 2.指导学生学会应用公式计算圆锥的体积并解决一些实际问题。
3.提高学生实践操作、观察比较、抽象概括及逻辑推断的能力,发展空间观念。 4.培养学生的合作意识和探究意识。
5.使学生获得成功的体验,体验数学与生活的联系。
重点:进一步掌握圆锥体积的计算方法。 难点:根据不同的条件计算圆锥的体积。
课件、等底等高的圆柱形容器和圆锥形容器。
师:同学们,前面我们学习了圆柱的体积计算公式,是什么呢? 生:圆柱的体积=底面积×高,用字母表示是V=Sh。
师:你想知道圆锥的体积怎样计算吗?猜一猜,圆锥的体积大小会与什么有关呢? 学生可能会说:
·圆锥的体积应该与圆锥的底面积有关。 ·圆锥的体积可能跟圆锥的高有关。 ……
师:圆锥的体积计算公式究竟是什么呢?让我们一起来探究吧! 【设计意图:简明扼要的复习,为新课教学做好充分的知识铺垫】
1. 圆锥体积计算公式的推导。
师:下面的圆柱和圆锥的底面积相等,高相等。(课件出示:教材第20页例5)你能估计出这个圆锥的体积是圆柱体积的几分之几吗?
生:可能这个圆锥的体积是圆柱体积的吧!
师:你有什么办法来验证自己的估计呢?
生:我们可以准备好底面积相等,高相等的圆柱形容器和圆锥形容器;然后用圆锥形容器装满沙子,再倒入圆柱形容器里,看是否3次能装满。如果3次能正好装满,就说明圆锥的体积
是等底等高的圆柱体积的。
师:这个方法可以吗? 生:可以。
师:那就按这种方法以小组为单位,进行实验吧! 学生进行小组活动;教师巡视了解情况。
组织学生汇报交流,小结:圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的。
圆锥的体积=底面积×高×
师:如果用V表示圆锥的体积,S表示圆锥的底面积,h表示圆锥的高,圆锥的体积公式可以
写成V=Sh。回顾圆锥体积公式的探索过程,你有什么体会?
学生可能会说:
·从已经学过的圆柱体积公式想起。
·比较等底等高的圆柱和圆锥,先观察猜想,再验证。 ·实验也是解决问题的重要方法。 2. 教学“试一试”。
师:你能运用圆锥的体积计算公式解决下面的问题吗?(课件出示:教材第21页“试一试”) 学生尝试独立解答;教师巡视了解情况,注意发现学生存在的问题并及时纠正。 组织学生交流订正:
170×12×=680(立方厘米)
答:这个零件的体积是680立方厘米。
【设计意图:让学生通过观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动,积极主动地发现等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系】
师:在本节课的学习中,你有哪些收获? 学生自由交流各自的收获体会。
圆锥的体积
结论:圆锥的体积公式V=Sh
1. 假设和猜想是科学的天梯,是科学探究的重要一环。任何发明创造我想都是离不开假设和猜想的。基于这样的认识,结合本节课教学内容的特点,我在教学中借助教具和学具,让学生充分观察“等底等高的圆柱和圆锥”后,再大胆猜想它们的体积可能会有什么样的关系?这样设计,事实证明不仅仅是能够培养学生的猜测意识,更重要的是充分调动了所有学生的积极性,大家探究的欲望强烈,为本节课的成功教学奠定了基础。
2. 数学不仅是思维科学,也是实验科学,通过观察猜想,实验操作得到数学结论,这种形式也是进行科学研究的最基本形式。教学中,使学生通过自主探究实验得出结论:圆锥的体积是
与这个圆锥等底等高的圆柱体积的三分之一。从而总结出圆锥体积的计算公式:V=Sh。
A类
一个圆锥形的钢件,底面半径是1.5厘米,高是4厘米。每立方厘米钢约重7.8克,这个钢件约重多少克?(得数保留整克)
(考查知识点:圆锥的体积;能力要求:能运用圆锥体积的计算公式解决简单的实际问题)
B类
沙漏又称沙钟,是我国古代一种计量时间的仪器,它是根据流沙从一个容器漏到另一个相同容器的数量来计算时间的。
右图上面的这个沙漏再需10分钟漏完,如果这时将沙漏倒过来,沙漏中的沙子需要多长时间全部漏到下面的容器中?
(考查知识点:圆锥的体积;能力要求:灵活运用所学知识解决相关的实际问题)
课堂作业新设计
A类:
3.14×1.52×4××7.8
=3.14×2.25×4××7.8 =73.476(克)≈73(克)
答:这个钢件约重73克。 B类:
3.14×(3÷2)2×3×=7.065(立方厘米)
3.14×(6÷2)2×(3+3)×-7.065
=56.52-7.065
=49.455(立方厘米)
49.455÷7.065×10=70(分)
答:如果这时将沙漏倒过来,沙漏中的沙子需要70分钟全部漏到下面的容器中。 教材习题
教材第21页“练一练”
1. 圆锥:9.42×=3.14(立方厘米) 圆柱:9.42÷=28.26(立方厘米)
2. 3.14×22×6×=25.12(立方厘米) 3.14×(3÷2)2×3×=7.065(立方厘米) 教材第22~23页“练习四” 1. (1)15×8×=40(立方厘米)
(2)3.14×32×5×=47.1(立方分米)
(3)3.14×(0.4÷2)2×0.6×=0.02512(立方米)
2. 12×=4(厘米)
3. (1)3.14×32=28.26(平方米) (2)28.26×2.4×=22.608(立方米)
4.
5. (1)0.6 (2)5.4
6. 下面的圆锥与第(3)个圆柱的体积相等。 7. (1)3.14×(2÷2)2×3×=3.14(立方分米)
(2)能提出的问题不唯一,例如:这根圆柱形木料的体积是多少? 3.14×(2÷2)2×3=9.42(立方分米) 8. 3.14×(8÷2)2×1.8×=30.144(立方米)
9.以4cm的直角边为轴:3.14×32×4×=37.68(立方厘米)
以3cm的直角边为轴:3.14×42×3×=50.24(立方厘米)
10. 12.56÷3.14÷2=2(米) 3.14×22×0.6××2=5.024(吨)
11. 3.14×(6÷2)2×2+3.14×(6÷2)2×1×=65.94(立方米) 12. 略
思考题:4.2×6×=8.4(厘米) 4.2÷6÷=2.1(厘米)
整理与练习。(教材第24~26页)
1. 使学生通过整理和复习对所学知识进一步巩固。 2. 培养学生归纳和整理的能力。
3. 能够运用所学的知识解决生活中的实际问题。
重点:运用所学知识,灵活解决实际问题。 难点:运用所学知识,灵活解决实际问题。
课件。
师:同学们,关于本单元“圆柱与圆锥”的学习就要结束了,你学会了什么呢?今天我们一起进行本单元的整理与练习。
1. 回顾与整理。
师:请同学们先看下面的问题,跟小组的同学进行讨论。(课件出示:教材第24页最上面问题。)
学生进行小组讨论活动;教师巡视了解情况。 组织学生交流汇报讨论结果:
·圆柱的特征:上、下两个面都是相等的圆形,叫作底面;圆柱周围的面,是一个曲面,叫作侧面;圆柱的两个底面之间的距离叫作高,圆柱有无数条高。
·圆锥的特征:圆锥的底面是圆形的,侧面是一个曲面,从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高,圆锥只有一条高。
·沿着圆柱侧面上的高将侧面展开后是一个长方形,长方形的长相当于圆柱的底面周长,
长方形的宽相当于圆柱的高,所以圆柱的侧面积=底面周长×高。圆柱的表面积包括圆柱的侧面和两个底面,所以圆柱的表面积=侧面积+底面积×2。解决有关表面积的实际问题要注意究竟包括圆柱的哪几个面。
·探究圆柱的体积公式是想到了推导圆面积公式的“转化”方法,借助长方体体积的计算公式推导得出了圆柱的体积计算公式。圆锥的体积公式,是在猜想等底等高的圆柱与圆锥体积之间关系的基础上,用实验法推导出了圆锥的体积计算公式。等底等高的情况下圆锥体积是
圆柱体积的。
【设计意图:先引导学生对所学知识进行阶段性复习,使之更加条理化、系统化,为下面运用所学知识解决问题做好准备】
2. 练习与应用。
师:你能运用所学知识解决下面的问题吗?试一试。(课件出示:教材第25页第11题) 学生尝试独立解答问题;教师巡视发现学生中存在的问题,个别指导有困难的学生。 师:谁来说说自己的方法?重点说说自己的思路。
生1:要求纸箱的长、宽、高,我们可以实际动手摆一摆,观察之后再计算,也可以看图观察,得知长是直径的6倍,即6×7=42(cm);宽是直径的4倍,即7×4=28(cm);高与饮料罐的高度相等,即12cm。
生2:纸箱的容积与体积的计算方法一样,根据公式“长方体的容积=长×宽×高”,列式是42×28×12=14112(立方厘米)。
生3:求至少要用多少硬纸板,其实就是计算长方体的表面积(注意加箱盖和箱底的重叠部分2000平方厘米),根据公式“长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2”,列式是(42×28+42×12+28×12)×2+2000=6032(平方厘米)。
只要学生解答正确就要给予肯定鼓励。
【设计意图:结合具体实例,引导学生学会灵活运用所学知识解决生活中的实际问题,使学生体会到数学知识的应用价值】
师:在本节课的学习中,你有哪些收获? 学生自由交流各自的收获体会。
1. 在设计这节复习课时,先指导学生对本单元的知识进行了整理,多数学生整理得都比较完整,说明学生已形成了能力。学生掌握了本单元的知识结构后,还要强化教材的重点。在复习圆柱和圆锥特征这部分内容时,让学生说一说圆柱的特征,互相补充,学生说不到的,教师再进行补充。这样学生从感性到理性对立体图形的特征有了进一步明确的认识,学生更进一步形成了空间观念。对公式的理解和掌握又是本单元的另一个难点。复习时,先让学生重温几个最基本公式的推导过程,进一步理解公式形成的过程,进而达到流利地复述,增强记忆的
效果。如:S侧=Ch,S表=S侧+2S底,V柱=Sh,V锥=Sh,其中侧重让学生流利地复述圆柱侧面积、
体积,圆锥体积等公式的推导过程,这样学生在整理复习中就抓住了教材的重点。
2. 为了深化这部分知识,培养学生灵活运用知识的能力,教学时,注意提供给学生积极思考,充分参与探索活动的时间和空间。其中圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的关系,应让学生在经历试验探究过程中获取,改变只通过演示得出结论的做法。
A类
右图是一个铁质机器零件的示意图(单位:厘米),求它的体积。已知每立方厘米的铁重7.8克,这个机器零件重多少千克?
(考查知识点:圆柱与圆锥;能力要求:灵活运用所学知识解决实际问题)
B类
在仓库的一角有堆稻子,呈圆锥形(如右图)。已知底面圆弧长4米,圆锥的高是1.5米,
如果每立方米的稻子约重680千克,那么这堆稻子大约有多重呢?
(考查知识点:圆柱与圆锥;能力要求:灵活运用所学知识解决实际问题)
课堂作业新设计
A类:
[3.14×(6÷2)2×4+12×8×2]×7.8 =[3.14×9×4+96×2]×7.8 =[113.04+192]×7.8 =305.04×7.8
=2379.312(克)=2.379312(千克) 答:这个机器零件重2.379312千克。 B类:
4÷=16(米) 16÷π÷2=(米)
π××1.5×××680≈1732(千克)
答:这堆稻子大约有1732千克。 教材习题
教材第24~26页“整理与练习” 1. 4cm 87.92cm2 62.8cm3 5m 408.2m2 628m3 2.5cm 7.85cm3 1.2m 0.67824m3
2. 3.14×0.8×1.6=4.0192(平方米)
3. (1)15.7÷3.14÷2=2.5(分米) 3.14×2.52+15.7×6=113.825(平方分米)
(2)3.14×2.52×6=117.75(立方分米)=117.75(升) 117.75<120 这个水桶不能盛120升水。
4. 3.14×(4÷2)2×1.5××0.55≈3(吨)
5. (1)6×3=18(厘米) (2)15×3=45(平方厘米)
6. 方法一:3.14×(6÷2)2×12×+3.14×(6÷2)2×12=452.16(立方厘米)
方法二:3.14×(6÷2)2×12×=452.16(立方厘米)
7. 12 21 2
8. 圆柱:3.14×(10÷2)2×10=785(立方厘米) 长方体:11×11×9=1089(立方厘米) 1089>785 长方体瓶里的五彩石多一些。 9. 1分钟=60秒 20毫米=0.2分米 0.8米=8分米 3.14×(0.2÷2)2×8×60=15.072(立方分米)=15.072(升)
10. 24×1.2×÷(7.5×4)=0.32(米)=32(厘米)
11. (1)长:6×7=42(厘米) 宽:7×4=28(厘米) 高与饮料罐的高度相等,即12厘米。 (2)42×28×12=14112(立方厘米)
(3)(42×28+42×12+28×12)×2+2000=6032(平方厘米) 12. 它们的体积比是1:4。 13. 略
14. 以长边为底面周长围成的圆柱体积比较大。
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