21．（9分）如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA、AB，且OA＝AB＝2（1）求k的值；
（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C． ①连接AC，求△ABC的面积； ②在图上连接OC交AB于点D，求
的值．
．
【分析】（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，利用等腰三角形的性质可得出DH的长，利用勾股定理可得出AH的长，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值； （2）①由三角形面积公式可求解；
②由OB的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出BC的长，利用三角形中位线定理可求出MH的长，进而可得出AM的长，由AM∥BC可得出△ADM∽△BDC，利用相似三角形的性质即可求出
的值．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．
∵OA＝AB，AH⊥OB， ∴OH＝BH＝OB＝2，
∴AH＝＝＝6，
∴点A的坐标为（2，6）．
∵A为反比例函数y＝图象上的一点， ∴k＝2×6＝12；
（2）①∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝∴BC＝
＝3．
上，
∵AH⊥OB， ∴AH∥BC，
∴点A到BC的距离＝BH＝2， ∴S△ABC＝×3×2＝3；
②∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝∴BC＝
＝3．
上，
∵AH∥BC，OH＝BH， ∴MH＝BC＝， ∴AM＝AH﹣MH＝． ∵AM∥BC， ∴△ADM∽△BDC， ∴
＝．
22．（9分）在正方形ABCD中，点E是射线AC上一点，点F是正方形ABCD外角平分线CM上一点，且CF＝AE，连接BE，EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，直接写出BE与EF的数量关系；
（2）当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你在图2中补全图形，判断（1）中的结论是否成立，并证明你的结论；
（3）若正方形ABCD的边长为2，当点B，E，F在一条直线上时，求△BCF的面积．（直接写出结果即可）
【分析】（1）由点E为正方形ABCD对角线AC上的中点可得，AE＝BE＝CE＝CF；又CM为外角平分线可证得∠ECF＝90°，所以△CEF为等腰直角三角形，EF＝BE．
（2）过点B作BE的垂线BG，交直线CM于点G，利用角边角可证得△CBG≌△ABE，故有BG＝BE，CG＝AE，即△BEG为等腰直角三角形，EG＝得到EC垂直平分FG，所以EG＝EF＝
BE．又CF＝AE＝CE，
CF＝
BE，即（1）的结论正确．
（3）作与第（2）题相同的辅助线，CG＝CF，∠FBG＝90°，易得BC是Rt△BFG斜边FG的中线，故有BC＝FG＝CF＝2．过点F作BC的垂线段FH，可证得△CFH是等腰直角三角形，CF＝的面积．
【解答】解：（1）EF＝∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ABC＝∠BCD＝90° ∵点E是对角线AC中点
∴BE＝AE＝CE，∠CBE＝∠BCE＝∠ECD＝45° ∵CM是正方形ABCD外角的平分线 ∴∠DCF＝45°
∴∠ECF＝∠ECD+∠DCF＝90° ∵CF＝AE＝CE＝BE ∴EF2＝CF2+CE2＝2BE2 ∴EF＝
（2）EF＝
BE成立，证明如下： BE
BE
FH，求得FH＝
即为△BCF以BC为底的高，即求得△BCF
如图1，过点B作BG⊥BE，交直线CM于点G，连接EG
∴∠EBG＝∠ABC＝90°
∴∠EBG﹣∠EBC＝∠ABC﹣∠EBC 即∠CBG＝∠ABE
∵∠ECF＝45°+45°＝90°，∠ECB＝45° ∴∠ECG＝90°，∠BCG＝45° 在△CBG与△ABE中，
∴△CBG≌△ABE（ASA） ∴BG＝BE，CG＝AE
∴Rt△BEG中，EG2＝BE2+BG2＝2BE2 ∵CF＝AE ∴CF＝CG ∴EC垂直平分FG ∴EF＝EG ∴EF2＝EG2＝2BE2 ∴EF＝
（3）如图2，过点B作BG⊥BE，交直线CF于点G，连接EG；过点F作FH⊥BC于点H
∴∠FBG＝∠CHF＝90° ∵由（2）得CF＝CG
∴BC＝FG＝CF，即CF＝BC＝2 ∵∠FCH＝45° ∴CH＝FH
∴CF2＝CH2+FH2＝2FH2＝4 ∴FH＝
＝
BE
∴S△BCF＝BC•FH＝×2×
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