第15讲 一般三角形及其性质一、知识清单梳理
知识点一：三角形的分类及性质 | 关键点拨与对应举例 | |||||||||||||||||||||||||||||
1.三角形 的分类 | （1）按角的关系分类 （2）按边的关系分类 直角三角形 三角形 锐角三角形 钝角三角形 不等边三角形 三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 | 失分点警示： 例：等腰三角形两边长分别是3 和6，则该三角形的周长为15. | ||||||||||||||||||||||||||||
2.三边关系 | 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． | |||||||||||||||||||||||||||||
3.角的关系 | （1）内角和定理： （2）外角的性质： | 利用三角形的内、外角的性质求角度时，若所给条件含比例，倍分关系等，列方程求解会更简便.有时也会结合平行、折叠、等腰（边）三角形的性质求解. | ||||||||||||||||||||||||||||
4.三角形中的重要线段 | 四线 | 性 质 | （1）角平分线、高结合求角度时，注意运用三角形的内角和为180°这一隐含条件. （2）当同一个三角形中出 注意现两条高，求长度时， | |||||||||||||||||||||||||||
角平分线 | （1）角平线上的点到角两边的距离相等 （2）三角形的三条角平分线的相交于一点（内心） | |||||||||||||||||||||||||||||
中线 | （1）将三角形的面积等分 （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 | |||||||||||||||||||||||||||||
高 | 锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部 | |||||||||||||||||||||||||||||
中位线 | 平行于第三边，且等于第三边的一半 | |||||||||||||||||||||||||||||
5. 三角形中内、外角与角 |
| 对于解答选择、填空题，可 以直接通过结论解题，会起 到事半功倍的效果. | ||||||||||||||||||||||||||||
平分线的规律总结 | 如图②，BO、CO 分别是∠ABC、∠ACB 的平分线，则有∠O= | 1 | ∠A+90°； | ||||
2 | |||||||
如图③，BO、CO 分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD 的平分线，则∠O= | 1 | ∠A，∠ | |||||
2 | |||||||
1 O’= 2 | ∠O； | ||||||
如图④，BO、CO 分别为∠CBD、∠BCE 的平分线，则∠O=90°- | 1 | ∠A. | |||||
2 | |||||||
知识点二 ：三角形全等的性质与判定
6.全等三 | (1)全等三角形的对应边、对应角相等． | AAS（两角和其 | 失分点警示：运用全等三角 | ||||
角形的性 | (2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． | 形的性质时，要注意找准对 | |||||
质 | (3)全等三角形的周长等、面积等． | 应边与对应角. | |||||
一般 | SSS（三边对 | SAS（两边和 | ASA（两角和它 | ||||
失分点警示 | |||||||
7.三角形 | 三角 | 应相等） | 它们的夹角对 | 们的夹角对应相 | 中一个角的对边 | 如图，SSA 和AAA 不能判定 | |
形全 | 应相等） | 等） | 对应相等） | 两个三角形全等. | |||
等 | |||||||
全等的判
定 | 直角 | (1)斜边和一条直角边对应相等（HL） |
三角 | (2)证明两个直角三角形全等同样可以用 | |
形全 | SAS,ASA 和AAS. |
等
（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到 例：
两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时， 如图，在△
注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. ABC中，已知
8.全等三
（2）全等三角形中的辅助线的作法： ∠1=∠2，
角形的运
①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等. BE=CD，AB=5，
用
②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△ AE=2，则CE=3.
EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.
③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.
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