(完整版)湖南省长沙市高三高考模拟数学理试题

科目：数学(理科)

(试题卷）

注意事项:

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。

2. 选择题和非选择题均须在答题卡上作答,在本试题卷和草稿纸上作答无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.

3. 本试题卷共5页。如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。 4. 考试结束后,将本试题卷和答题一并交回。

姓 名 准考证号

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绝密★启用前

高考湘军 2019年长沙市高考模拟试卷（一）

数 学(理科）

长沙市教科院组织名优教师联合命制

满分：150分 时量:120分钟

说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卷指定位置上。

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的） 1．已知z是复数,i是虚数单位，1iz 在复平面中对应的点为P，若P对应的复数是模等于2的负实数，那么z A．1i 2．已知不等式A．15

x2axb B．1i C．1i D．i

bx)的展开式的常数项，那么260的解集为1,2，m是二项式(ax

C．5a

maa2b77

B．5 D．5

x2y2x3．以双曲线1的离心率为首项，以函数fx42的零点为公比的等比数列的前n项的和Sn

4532n12342nA．32n1 B．3n C．  D．3333224．已知几何体M的正视图是一个面积为2的半圆,俯视图是正三角形,那么这个几何体的表面积和体积为 A．6和43 33 B．6+43和83 3正视侧视C．6+43和43 开始 D．4（+3)和43 3结束 俯视输出s i >200? 否 是 5．执行下列的程序框图，输出的s S=0 i=1 a=100- (i MOD 100) s=s+a i=i+1 A．9900 B．10100 C．5050 D．4950

6．与抛物线y28x相切倾斜角为1350的直线L与x轴和y轴的交点分别是A和B,那么过A、B两点的最小圆截抛物线y28x的准线所得的弦长为 A．4

B．22

C．2

D．2

7．已知直线l与平面平行，P是直线l上的一点，平面内的动点B满足：PB与直线 l成600。那么B点轨迹是

A.．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．两直线

1478．使得函数fxx2xaxb的值域为a,bab的实数对a,b

555有( ）对 A．1 B．2 C．3 D．无数

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二．填空题：（每大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上)选做题

（从13题、14题和15题中选两题作答，全做则按前两题记分）

上，随机取值a,Ga1的概率为 ；9．Gx表示函数y2cosx3的导数，在区间 ,310．已知向量ax,y,bx2,1，设集合Px|ab，Qx|b5，当xPQ时,y的取值范围

是 ;

1211．计算：2xdx_____________； 1x12．从正方体的各表面对角线中随机取两条，这两条表面对角线成的角的度数的数学期望为 ； 13．(极坐标和参数方程4—4）极坐标系中，质点P自极点出发作直线运动到达圆：4cos0的圆心位

置后顺时针方向旋转60后直线方向到达圆周4cos0上，此时P点的极坐标为 ; 14．（几何证明4—1）已知⊙O1和⊙O2交于点C和D，

⊙O1上的点P处的切线交⊙O2于A、B点，交直 线CD于点E,M是⊙O2上的一点，若PE=2， EA=1，AMB=30，那么⊙O2的半径为 ；

o

o

P

E A C

B

O1

D

O2

M

15．(不等式4-5）已知x0,y0,z0,x2y3z3，那么(x1)2(2y1)2(3z1)2 的最小值

4y6z2x为 ；

x2y216．方程+=1(a,b｛1，2，3，4，…,2019}）的曲线中，所有圆面积的和等于 ，离心率最

ab小的椭圆方程为 .

三、解答题：（前三题各12分,后三道题各13分，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

x17．函数fx6cos2如图所示,A为3sinx30在一个周期内的图像

2图像的最高点,B.C为图像与x轴的交点，且ABC为正三角形。 （1)若x0,1，求函数fx的值域;

102(2)若fx083，且x0,，求fx01的值。

533

18．如图一，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2.将△ABD沿边AB折起， 使得△ABD与

o

△ABC成30的二面角DABC，如图二，在二面角DABC中。 (1) 求D、C之间的距离;

（2) 求CD与面ABC所成的角的大小;

(3) 求证：对于AD上任意点H,CH不与面ABD垂直。 A A

C C

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19．某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定对这种食品生产

厂家提供政府补贴,设这种食品的市场价格为x元/千克,政府补贴为t元/千克，根据市场调查,当

16x24时，这种食品市场日供应量p万千克与市场日需量q万千克近似地满足关系：

p2x4t14,x16,t0,q248ln20x,16x24。当

pq市场价格称为市场平衡价格.

（1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数,并求出函数的值域；

（2）为使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为每千克多少元？

20．设命题p:函数fx(a5)xb在0,上是增函数；命题q:方程x2axb20有两个不相等的负实数

x1根.求使得pq是真命题的实数对a,b为坐标的点的轨迹图形及其面积。

121．已知A(,0),点B是y轴上的动点，过B作AB的垂线l交x轴于点Q，若

4(完整版)湖南省长沙市高三高考模拟数学理试题

APAQ2AB，M4,0.

（1）求点P的轨迹方程；

（2)是否存在定直线xa，以PM为直径的圆与直线xa的相交弦长为定值,若存在,求出定直线方程;若不存在，请说明理由.

B Q O A x y 22．（1)已知abc1,a,b,c0,，求证:alog3ablog3bclog3c1；

n

(2）已知a1a2a3n1，ai>0（i=1,2,3，…，3），求证：

a1log3a1+a2log3a2+a3log3a3+…+a3nlog3a3nn

2019年长沙市高考数学模拟试卷 （一）

数学（理科）参考答案及评分标准

一．选择题：（本大题共8小题，每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

题号 答案

1 A

2 D

3 B

4 C

5 B

6 C

7 A

8 B

二．填空题：(每大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上） 779. 10. （-8，1] 11. ln2 12。 600 8327513。 （23,) 14。 3 15。

64x2y2x2y216. 2027091+=1和+=1， ;

2012201320132012三、解答题：(前三题各12分,后三道题各13分,满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

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17。解(1）由已知得：fx3cosx3sinx23sinx

3又ABC为正三角形,且高为23，则BC=4。所以函数fx的最小正周期为8，即

28,,fx23sinx。

443因为x0,1，所以x7,3fx23。

34312 函数fx的值域为3,23………………………6分

(2)因为fx083，有f(x0)23sin(x0)83， 即sin(x0)4

5435435x102由x0（，），得(0)(,)

3344322所以,即cos(x0)1(4)23

355x故f(x01)23sin(0)23sin[(x0)]

443434

23[sin(x0434423223()52525)coscos(x043)sin4

76 ………………………………………………12分

18。 解： 依题意，ABD=90 ，建立如图的坐标系使得△ABC在yoz平面上，△ABD与△ABC成30的二

o

面角， DBY=30，又AB=BD=2，  A(0，0，2)，B(0，0，0)，

C(0，3，1)，D（1，3，0)，

（1)|CD|=(10)(33)(01)=2……… 5分 222o

o

z （2)x轴与面ABC垂直,故（1，0，0)是面ABC的一个法向量。 设CD与面ABC成的角为,而CD= (1,0，—1)，

C A sin=

|(1,0,0)(1,0,1)|1202021202(1)2=

2 2 x B D y [0，

]，=；…………………8分 24 （3） 设AH=tAD= t（1，3，—2)= （t，3t，—2 t），

CH=CA+AH=(0，—3,1） +（t，3t,-2 t) = （t,3t—3，—2 t+1）， 若CHBA，则 （t，3t-3,-2 t+1）·(0，0，2)=0 得t=此时CH=(

1， ……………10分 231，—，0），

22(完整版)湖南省长沙市高三高考模拟数学理试题

13-=-10， CH和BD不垂直， 22即CH不可能同时垂直BD和BA,即CH不与面ABD垂直。…………………12分

2019. 解：（1）由P=Q得2（x + 4t -14 )= 24+8ln(16≤x≤24 ,t>0）。

x20131 t=-x+ ln（16≤x≤24）。 …………………3分

24x11t′=-—<0，t是x的减函数.

4x1312012015 tmin=-24+ ln=+ln=+ ln; ……………………5分

24242242613120551555 tmax=—16+ ln=+ ln, 值域为[+ ln,+ ln] ………7分

241624262420131 （2）由(1) t=—x+ ln（16≤x≤24）.

24x13120 而x=20时，t=—20 + ln=1。5(元/千克） …………………9分

2420 t是x的减函数.欲使x20,必须t1.5（元/千克)

要使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为1.5元/千克。……12分 而BD=(1，3，0)，CH·BD=20. 解： f(x) =

a5b(a5)xb,p真 f ′(x）= 〉0 2(x1)x1对于x(0，+)成立a—b+5〉0。

a02

q真方程x—ax+b-2=0有两个不相等的负实数根b20…………4分

a24b80a0b20 pq是真命题p真且q真 P

ab50 A 2a4b80b B o a 实数对(a，b)为坐标的点的轨迹图形如图(阴影部分, 不包括边界。） ……………8分

ab50ab50 解：2得a1= -2,a2= 6， 解得a= -3;

b2a4b80(a，b)为坐标的点的轨迹图形的面积：

220aa2da …………11分 S=(a52)da+(22)da=(a3)da+332424201307122a+3a)｜+ a｜2=………………………………13分 y 3212621221。 解: (1）设B(0,t）,设Q(m,0)，t=｜m|， m0，m=—4tB ， 41Q O A  Q（-4t2，0)，设P(x，y)，则AP=（x—,y)， 4 =（

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11，0），2AB=（—，2 t）， AP+AQ=2AB. 421121（x—，y)+ (—4t-,0)= (—,2 t)， 442AQ=(—4t2-  x=4t，y=2 t， y=x，此即点P的轨迹方程;…………………6分。

（2）由(1)，点P的轨迹方程是y=x；设P（y，y)，M （4，0) ，则以PM为直径的圆的圆心即PM的

2

2

2

2

y24y中点T（，）, 以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长：

22y24yy2422 L=2(4)(0)(a)2

22215y2 =2(a4)(ya)=2(a)y2a(a4) ……………10分

442若a为常数,则对于任意实数y，L为定值的条件是a—

1515=0, 即a=时，L=15 441515，以PM为直径的圆与直线x=的相交弦长为定值15.……13分 4422。 解： （1）证明： a+b+c=1，a、b、c∈(0，+∞)，

 alog3a+blog3b+clog3c= alog3a+blog3b+(1—a-b) log3（1—a-b)=f（a)

1b1b 那么f ′ （a)= log3a—log3（1-a-b），当a∈（0，)时f ′ （a）〈0，当a∈(，1）时f ′ 22（a）>0，

1b1b  f(a)在(0，]上递减，在[，1) 上递增;

221b1b1b f（a）≥f（）=（1—b) log3+ blog3b，记g(b）= (1—b) log3+ blog3b，………3分

2221b11得：g′(b）= log3b—log3，当b∈(0，）时g′（b) 〈0，当b∈(，1)时，g′(b) 〉0，

332111 g(b）在(0，）递减，在（，1）上递增； g（b）≥g（)=—1。

3331 alog3a+blog3b+clog3c≥-1当a=b=c=时等号成立。……………………5分

3存在定直线x=

(2)证明：n=1时，a1+a2+a3=1，ai>0(i=1,2，3），由（1)知 a1log3a1+a2log3a2+a3log3a3≥—1成立,即n=1时，结论成立. 设n=k时结论成立，即a1+a2+…+a3=1，ai〉0（i=1，2，3，…,3)时

kk

a1log3a1+a2log3a2+a3log3a3+…+a3klog3a3k≥-k。 那么，n=k+1时,若a1+a2+…+a3+a3kk+…+a3=1,ai〉0(i=1，2,3,…,3）时， 1k1k+1

令a3k1+…+a3k1aka1a2=t,则++…+3=1，由归纳假设：

1t1t1t(完整版)湖南省长沙市高三高考模拟数学理试题

akaka1a1a2a23log3log3log33≥-k。……………… 8分 ++…+

1t1t1t1t1t1t a1log3a1+a2log3a2+a3log3a3+…+a3klog3a3k—(1-t) log3(1—t） ≥-k（1-t）. a1log3a1+a2log3a2+a3log3a3+…+a3klog3a3k≥—k(1—t）+ (1-t) log3(1-t)…(1） 设a23+…+a3=s，则a31k1kk+…+a23=t—s，1ka3k1ts+

a3k2ts+…+

a23kts=1，

由归纳假设：

a3k1tslog3a3k1ts+

a3k2tslog3a3k2ts+…+

a23ktslog3a23kts≥—k.

a3k1log3a3k1+a3k2log3a3k2+…+a23klog3a23k≥-k(t-s）+ （t-s）log3（t-s)

………(2)………………10分

a23+…+a3=s，a23k1sk1k1+

a23k2s+…+

a3k1s=1；由归纳假设同理可得：

a23k1log3a23k1+a23k2log3a23k2+…+a3k1log3a3k1 ≥-ks+ slog3s ……（3） 将(1) 、(2）、(3）两边分别相加得：

a1log3a1+a2log3a2+…+a3klog3a3k+…+a23klog3a23k+…+a3k1log3a3k1

≥—k［(1—t）+(t—s）+s］+ （1-t)log3(1—t）+ （t-s）log3（t-s） + slog3s

而(1—t）+(t-s）+s=1，(1—t)〉0，(t-s） 〉0，s 〉0。 （1-t）log3(1-t）+ （t-s)log3 （t-s） + slog3s

≥-1.

—k[(1-t）+（t-s）+s]+ （1—t）log3（1-t）+ (t-s）log3(t—s) + slog3s≥-k—1=—（k+1）。 a1log3a1+a2log3a2+…+a3klog3a3k+…+a3k1log3a3k1≥—(k+1）。

n=k+1时，题设结论成立。综上所述，题设结论得证。…………………………13分