《勾股定理的证明方法探究》
勾股定理又叫毕达哥拉斯定理：在一个直角三角形中，斜边边 长的平方等于两条直角边边长平方之和。
勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人
们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好
者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也
许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地
反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股
定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止
于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国
清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无
法比拟的。
2.（邹元治证明）以a、b
为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角1a
b2形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，
使A、E、B三点在一条直线上，
B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵
RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.∵ ∠AEH + ∠AHE =
90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.∴
四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH
≌ RtΔHAE,∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o,∴
∠EHA + ∠GHD = 90o.又∵ ∠GHE = 90o,∴ ∠DHA = 90o+ 90o=
180o.∴ ABCD是一个边长为a +
b的正方形，它的面积等于(a+b)².∴(a+b)²=4x1/2ab+c²∴
a²+b²=c²。
1.
课本方法：做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为
a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们
像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边
长都是a + b，所以面积相等. 即a²+b²+4x1/2ab=c²+4x1/2ab， 整理得a²+b²=c²。
3.（赵爽证明）以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜
边作四个全等的直角三角形，则每个直角 1ab2三角形的面积等于.
把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌
RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o，∴ ∠EAB +
∠HAD = 90o， 2∴
ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c.∵ EF = FG =GH =HE
= b―a ,∠HEF = 90o.∴
EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于(b-a)².∴(b-
a)²=4x1/2ab+c²∴ a²+b²=c²。
4.（1876年美国总统Garfield证明）以a、b
为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角1a
b形的面积等于2.
把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线
上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED +
∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.∴ ∠DEC = 180o―90o=
90o. ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形， 12c2它的面积等于.又∵
∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,∴ AD∥BC.∴
ABCD是一个直角梯形，它的面积等于1/2(a+b)².∴1/2(a+b)²=2x1/2
ab+1/2c²∴ a²+b²=c²。
欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直 角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似
的直边形面积之和”。
从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边
为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径
所作两圆的面积和”。
勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作
相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体
表面积之和。
若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面
积等于两直角边上所作二球表面积之和。
总之，在勾股定理探索的道路上，我们走向了数学殿堂。
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