河南省实验中学2018——2019学年下期期中试卷
高一数学
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.A.
=( )
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】 【分析】 利用诱导公式将【详解】因为所以
，故选B. 化为
，结合特殊角的三角函数可得结果.
,
【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.
2.若是第一象限角，则终边在 ( ) A. 第一象限
C. 第一象限或第三象限 【答案】C 【解析】 【分析】
利用是第一象限角，得出角的范围，从而可得的范围. 【详解】因为是第一象限角，所以
，所以
，
;
B. 第二象限
D. 第一象限或第四象限
当为偶数时，终边在第一象限；当为奇数时，终边在第三象限；故选C. 【点睛】本题主要考查角的终边所在象限，一般是利用角的范围求解.题目较为简单.
3.已知D是△ABC边AB上的中点，则向量
（ ）
A. C. 【答案】A 【解析】 【分析】
B. D.
利用向量的线性运算，用基底表示向量.
.故选A.
【详解】因为D是△ABC边AB上的中点，所以
【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，利用基向量表示向量时，注意把目标向量向基向量靠拢. 4.已知A.
，
，与的夹角为
B.
，则
（ ） C.
D.
【答案】C 【解析】 【分析】
先利用向量夹角，求出【详解】因为所以
，
，再利用模长公式求解，与的夹角为
，所以
，所以
. .
;
【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，利用数量积求解模长问题，一般是把目标式先进行平方，再开方可得模长. 5.若A.
，则
B.
（ ）
C.
D.
【答案】A 【解析】 【分析】
分析角之间的关系，利用倍角公式可求. 【详解】因为
，
,所以
；
，故选A.
【点睛】本题主要考查利用倍角公式的求值问题，给值求值问题，一般是先找已知角和所求角之间的关系，再结合相关公式进行求解.
6.要得到函数
的图象，只需将函数
的图象（ ）
A. 先向左平移平移，再横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B. 先向左平移个单位，再横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变. C. 先横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，再向左平移个单位. D. 先横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，再向左平移个单位. 【答案】D 【解析】 【分析】
利用平移伸缩变换规律直接判断即可。 【详解】将函数得到：函数函数故选：D.
【点睛】本题主要考查了三角函数的平移、伸缩规律，属于基础题。 7.函数A. C. 【答案】D 【解析】 【分析】
的定义域为（ ）
B. D.
的图象先横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变， 的图象，再将它向左平移个单位得到： 的图象.即：
的图象。
结合对数函数的定义域，可知真数要大于零；结合根式的意义，可知被开方式非负，从而可求. 【详解】由题意可得
，解得
，其中
；
当当
时，两式取交集可得时，两式取交集可得
；当时，两式取交集可得；
；综上可知选D.
【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，根据解析式的特点，列出相应的限制条件，求出各限制条件的交集，可得函数的定义域. 8.已知A. 【答案】B 【解析】 【分析】
利用根与系数关系，求出【详解】由题意可得所以因所以因为
，；
，结合和角公式求出
；
，再结合范围求出
.
B.
是方程
C.
的两个根，则
的值为（ ） D.
，所以
【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，给值求角问题，一般是先求角的函数值，结合角的范围及函数值，可得所求角.
9.已知点为则A. 1 【答案】C
（ ）
的，
，
，
.
，所以
.故选B.
的重心，过点作直线与
，两边分别交于
B. 2
C. 3
两点，且 ，
D. 4
【解析】 【分析】 由为
的重心，可得
，结合
，
，根据
三点共线，得到
的
关系式，整理后即可得到答案 【详解】
为
的重心， ，
与
共线
存在实数使得即
由向量相等的定义可得
消去可得两边同时除以故选
整理可得
【点睛】本题主要考查的知识点是向量的线性性质以及几何意义，向量的共线定理以及三角形的重心，属于中档题。
10.已知函数A. C.
的最小正周期为 在区间
上单调递减
，则下列说法正确的是( )
B. D.
的值域为[-1,1] 的图象关于
中心对称
【答案】D 【解析】 【分析】
先化简函数解析式，讨论去掉绝对值，结合解析式的特点，求解函数的性质.
【详解】因为当因为当
时，
，所以时，
的值域为
；当
时，
，故A错误；
；
，故B错误； ，此时
为增函数，故C错误； ，所以D正确.
故选D.
【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，研究函数的性质时，注意定义域优先的原则.
11.已知点O是（ ） A. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用【详解】因为分别取所以
的中点,即
,则
三点共线且
，确定点O的位置，结合三角形面积公式求解.
，所以
,
.
.如图所示，
,
B.
C.
D.
内部一点，并且满足
，
的面积为，
的面积为,则
则,由于DAC中点，所以,所以.故选A.
【点睛】本题主要考查平面向量的应用，利用向量的线性运算及共线定理确定点的位置是求解本题的关键.
12.已知函数
单调，则的最大值为( )
A. 7 【答案】B 【解析】 【分析】 根据
B. 9
为的零点，为图像的对称轴，且在
C. 11 D. 13
的零点和对称轴确定出的取值及的范围，结合
为，所以
的零点，所以
； ，所以，，
在在
.
在；因为
单调确定的最大值.
为
图像的对称轴，所以
【详解】因为
因为若若
在，此时，此时
单调，所以
，，
递增，在递减，不符合题意；
递减，符合题意；故选B.
【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，利用性质确定函数的解析式时，注意参数的取值范围.
二、填空题：请把答案填在题中横线上．
13.已知扇形AOB周长为3，当扇形面积最大时，扇形的圆心角为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】
利用扇形周长和面积计算公式求解，确定面积的最大时的条件，求出圆心角. 【详解】设扇形弧长为，半径为,则取到最大值；此时
.由
得
.
，扇形的面积
,当
时，
【点睛】本题主要考查扇形的面积最值问题，明确面积的表达式，结合表达式的特征，利用二次函数求出最值或取到最值的条件.
14.已知向量
，
.若向量
与
的夹角为锐角，则实数的取值范围为______．
【答案】【解析】 【分析】
利用向量的坐标运算先表示向量【详解】因为因为向量
与
，
，所以
，结合夹角为锐角，可求的取值范围.
，
且
与
不同向时得
. 与
不同向. 由
的夹角为锐角，所以
得
；
；所以实数的取值范围为
.
【点睛】本题主要考查平面向量的夹角问题，向量夹角为锐角则数量积为正且两个向量不同向，向量夹角为钝角则数量积为负且两个向量不反向. 15.【答案】4 【解析】 【分析】
化切为弦，利用倍角公式，化简可得. 【详解】因为
,
所以
.
【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换求值问题，三角函数的恒等变换的主要求解思路：统一角度，统一函数，降低次数.
16.已知边长为2的正方形ABCD的顶点A、B分别在两条互相垂直的射线OP、OQ上滑动，则为_______． 【答案】8
的最大值
______．
【解析】 【分析】
利用向量的线性运算，用基向量表示出【详解】
,
.
设AB的中点为E，则
,
.
所以当
时，
取到最大值8.故填8.
,求出
的表达式，再求其最大值.
,所以
【点睛】本题主要考查平面向量的应用，合理选择基向量，是求解这类问题的关键.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知(1)
，计算下列各式的值． ；
(2).
【答案】(1)【解析】
;(2)-3.
（1）利用同角基本关系式化简计算即可；试题分析：（2）利用诱导公式及商数关系化简计算即可. 试题解析： 由题易得：（Ⅰ）原式（Ⅱ）原式
＝tan可以实现角的弦
点睛：1．利用sin2＋cos2＝1可以实现角的正弦、余弦的互化，利用
切互化．2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin＋cos，sincos，sin－cos这三个式子，利用(sin±cos)2＝1±2sincos，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2＋cos2，sin2＝1－cos2，cos2＝1－sin2.
18.已知、、是在同一平面内的三个向量，其中(1)若(2)若
，且∥，求坐标； ，且
⊥
，求与的夹角.
.
【答案】(1) c=(2,4)或（-2，-4）;(2) 【解析】 （1）由分析：
，设可得
结果. （1）详解：
，设
，则
，又
，可设
，由
，利用列方程求出（2）由值，从而可得结果；，利用公式
可得
可求得的模，结合
，解得
， ，解得
，
（2）平面内向量夹角的的取值范围是
， 与的夹角为，故答案为（1）
.
点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是
，二是
，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，
；（3）向量垂直则
（此时
在 上的投影是往往用坐标形式求解）；（2）求投影，的模（平方后需求
19.已知函数
.
）
的或
.
，又或
；（2）
;(4)求向量
，求
的值；
（1）已知角的顶点和原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点（2）若【答案】（1）【解析】 【分析】
，
，求 (2)
的值.
（1）根据三角函数的定义求出角，然后根据两角和的余弦公式求解；（2）由所以
，再求出
，
，最后根据
得
求解可得所求．
，
【详解】（1）∵角的终边过点∴∴（2）∵∴∴又∴∴∴
，
，
， ，
，
．
．
．
.
【点睛】本题考查利用三角变换求值，考查转化求解的能力，解题的关键是结合题意选择合适的公式，同时对于给值求值问题，要注意将所给条件作为一个整体，并通过适当的角的变换进行求解，属于基础题．
20.设平面向量(1)求
的最小正周期，并求出
在
，
，函数
.
的单调递减区间；
内无实数根，求实数的取值范围.
，
（2）
(2)若方程
【答案】（1）最小正周期为．单调递减区间为【解析】 【分析】
（1）根据向量坐标运算公式，求出调区间； （2）求出
的值域，结合图像特点，得出范围.
的表达式，化简为标准型，从而可得周期和单
【详解】(1)由题意得∴由得∴函数(2)由∵
，∴
．
的单调递减区间为
可得：
，∴令
，
,则
.
．
的最小正周期为．
，
.
只需直线与图像没有交点即可.
∴或者
解得：或
故的取值范围为
，
【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，利用恒等变换先把函数化为标准型再结合换元法可求单调区间及最值等.
21.为了及时向群众宣传“十九大”党和国家“乡村振兴”战略，需要寻找一个宣讲站，让群众能在最短的时间内到宣讲站．设有三个乡镇，分别位于一个矩形MNPQ的两个顶点M、N及P、Q的中点S处，
，
，现要在该矩形的区域内（含边界），且与M、N等距离的一点O处设一个宣讲站，记O点到三
个乡镇的距离之和为
．
（1）设 ，将表示为的函数；
最小．
（2）试利用（1）的函数关系式确定宣讲站O的位置，使宣讲站O到三个乡镇的距离之和
【答案】(1) .
时,可使得三个乡镇到宣讲站的距离之和最
(2) 宣讲站位置满足：小． 【解析】 【分析】
（I）根据锐角三角函数的定义表示出OM，ON，OS，从而得出L关于x的函数； （II）利用反解法确定函数的取之范围，从而求出L（x）取得最小值时x的大小． 【详解】解：（Ⅰ）过O作OA⊥MN，垂足为T，则T为MN的中点， ∴MTMN＝5，
，OS＝55
5
∴OM＝ON∴LOT＝55）．
tanx，
tanx（0≤x
（Ⅱ） L（x）＝5（
1），
令 则
，
，
得：或（舍），
当时，，取最小值，
时
即宣讲站位置O满足：
可使得三个乡镇到宣讲站的距离之和最小．
【点睛】本题考查了函数解析式的求解，利用反解法确定函数最值，属于中档题．
22.已知向量
.
（1）求函数
的解析式；
在
(2)
上有三个不相等的实数根，求实数的取值范围。 （其中
），记
，且满足
（2）若关于的方程【答案】(1) 【解析】 【分析】
（1）根据向量坐标运算公式，求出（2）结合所给区间，求出【详解】（1）
由所以，又由已知因此，（2） 由故：因此函数设
使关于的方程
在
令
①当关于的方程
在
和
和，得是函数的最小正周期
，得
. ，得
的值域为
，
在
. ,
的表达式，化简为标准型，结合周期可得的解析式；
的值域，再利用根的分布问题求解.
的一个周期， ，解得
上有三个不相等的实数根，当且仅当关于的方程
上
上分别有一个实数根，或有一个实数根为1，另一实数根在区间
上分别有一个实数根时，
解得
②当方程另一个根为③当方程另一个根为
的一个根是时，，不满足条件； 的一个根是时，，不满足条件；
，
，
因此，满足条件的实数的取值范围是.
，
【点睛】本题主要考查三角函数图像与性质，利用恒等变换先把函数化为标准型再结合周期可求解析式；结合换元法可求最值问题等.
的
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