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高中物理双星问题和卫星变轨考点归纳
考点 1：双星问题
一、 要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源
双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提
供。由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其 大小。
ω
1
二、 要明确双星中两颗子星匀速圆周运动的运动参量的关系 的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比。
三、 要明确两子星圆周运动的动力学关系。
两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等
设双星的两子星的质量分别为 M 1 和 M 2，相距 L，M 1 和 M 2 的线速度分别为 v1 和 v2， 角速度分别为 ω 和 ω ，由万有引力定律和牛顿第二定律得：
1 2
M
1：
M 1 2
G 2 L
M
M 1
v12
r
1
Mr
2
1 1 1
M 1
r1r 2
M 2
L
ω
M 2：
M 1
M
2
2
2
G L2
M2v22
r2 M 2 r2 2
在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径。
四、“双星”问题的分析思路
质量 m1 ，m2；球心间距离 L ；轨道半径 r 1 ，r2 ；周期 T1，T2 ；角速度ω 1 ，ω2 线速度 V 1
V2；
周期相同：（参考同轴转动问题） T1=T2 角速度相同：（参考同轴转动问题）ω 1 =ω2 向心力相同： Fn1=Fn2
（由于在双星运动问题中，忽略其他星体引力的情况下向心力由双星彼此间万有引力提供，可理解为一对作用力与反作用力）
轨道半径之比与双星质量之比相反： （由向心力相同推导） r 1：r 2=m2： m1
2
2
1ω 12ω 2 mr=mr
m 1r1 =m2 r2
r 1:r 2=m2:m 1
线速度之比与质量比相反： （由半径之比推导） V 1:V 2=m2:m 1
- 1 -
！
V 1=ωr 1
V 1:V 2=r1:r2=m2:m 1
V 2=ωr 2
两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星。双星问题是万有引力定律在天文学上的应用的一个重要内容，现就这类问题的处理作简要分析。
考点 2：卫星变轨
一、人造卫星基本原理
绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所需向心力由万有引力提供。轨道半径
r 确定后，与之对应的卫星线
GM
速度 v
r
3 GM 、向心加速度 a
r 、周期T 2
GM
r 2 也都是确定的。如果卫星的质量也确定，那么与
轨道半径 r 对应的卫星的动能
Ek（由线速度大小决定） 、重力势能 Ep（由卫星高度决定）和总机械能
E 机（由
能量转换情况决定）也是确定的。一旦卫星发生变轨，即轨道半径 同理，只要上述七个物理量之一发生变化，另外六个也必将随之变化。
在高中物理中，会涉及到人造卫星的两种变轨问题。 二、渐变
r 发生变化，上述物理量都将随之变化。
由于某个因素的影响使卫星的轨道半径发生缓慢的变化 星每一周的运动仍可以看做是匀速圆周运动。 其他相关物理量如何变化。
（逐渐增大或逐渐减小） ，由于半径变化缓慢， 卫
解决此类问题，首先要判断这种变轨是离心还是向心，即轨道半径是增大还是减小，然后再判断卫星的
如：人造卫星绕地球做匀速圆周运动，无论轨道多高，都会受到稀薄大气的阻力作用。如果不及时进行 轨道维持（即通过启动星上小型火箭，
将化学能转化为机械能， 保持卫星应具有的速度） ，卫星就会自动变轨，
偏离原来的圆周轨道，从而引起各个物理量的变化。
由于这种变轨的起因是阻力，阻力对卫星做负功，使卫星速度减小，所需要的向心力
有引力大小
GMmr
mvr
2
减小了，而万
2
没有变，因此卫星将做向心运动，即半径
r 将减小。
v 将增大，周期 T 将减小，向心加速度 a 将增大，动能
Ep 将减小，该过程有部分机械能转化为内能（摩擦生热） ，因此卫星机械能 E 机 将减小。
由㈠中结论可知：卫星线速度
Ek 将增大，势能
为什么卫星克服阻力做功，动能反而增加了呢？这是因为一旦轨道半径减小，在卫星克服阻力做功的同 时，万有引力（即重力）将对卫星做正功。而且万有引力做的正功远大于克服大气阻力做的功，外力对卫星 做的总功是正的，因此卫星动能增加。
根据 E 机 =Ek+Ep，该过程重力势能的减少总是大于动能的增加。
再如：有一种宇宙学的理论认为在漫长的宇宙演化过程中，引力常量 确，那么恒星、行星将发生离心现象，即恒星到星系中心的距离、行星到恒星间的 距离都将逐渐增大，宇宙将膨胀。 三、突变
G 是逐渐减小的。如果这个结论正
v3
Ⅲ v4
Q v1
Ⅰ
Ⅱ
由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间启动飞行器上的发动机，使飞
- 2 -
P v2
！
行器轨道发生突变，使其到达预定的目标。 次在 P 点点火加速，在短时间内将速率由
如：发射同步卫星时，通常先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为
v1，第一
v1 增加到 v2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ；卫星运行到远地点
v3 增加到 v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕
Q 时的速率为 v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由 地球做匀速圆周运动。
第一次加速：卫星需要的向心力
mvr
2
增大了，但万有引力 GMm 没变，因此卫星将开始做离心运动，
r
2
进入椭圆形的转移轨道Ⅱ。点火过程有化学能转化为机械能，卫星的机械能增大。
在转移轨道上，卫星从近地点 能增加，动能减小。在远地点
P 向远地点 Q 运动过程只受重力作用，机械能守恒。重力做负功，重力势
Q 回到近地
Q 时如果不进行再次点火，卫星将继续沿椭圆轨道运行，从远地点
点 P，不会自动进入同步轨道。这种情况下卫星在 的向心力，因此卫星做向心运动。
Q 点受到的万有引力大于以速率
v3 沿同步轨道运动所需要
为使卫星进入同步轨道，在卫星运动到
2 Q 点时必须再次启动卫星上的小火箭，短时间内使卫星的速率由
这样就能使卫星进入同步轨道Ⅲ而
v3 增加到 v4 ，使它所需要的向心力 mv4增大到和该位置的万有引力相等，
r
做匀速圆周运动。该过程再次启动火箭加速，又有化学能转化为机械能，卫星的机械能再次增大。
结论是：要使卫星由较低的圆轨道进入较高的圆轨道，即增大轨道半径（增大轨道高度 星增加能量。与在低轨道Ⅰ时比较，卫星在同步轨道Ⅲ上的动能 大了。增加的机械能由化学能转化而来。 四、与玻尔理论类比
h），一定要给卫
Ek 减小了，势能 Ep 增大了，机械能 E 机也增
人造卫星绕地球做圆周运动的向心力由万有引力提供，电子绕氢原子核做圆周运动的向心力由库仑力提 供。万有引力和库仑力都遵从平方反比率：
F Gm1 m2 和 F
2 r
kq1 q2
r
2
，因此关于人造卫星的变轨和电子在
氢原子各能级间的跃迁，分析方法是完全一样的。
⑴电子的不同轨道， 对应着原子系统的不同能级
E，E 包括电子的动能 Ek 和系统的电势能 Ep，即 E=Ek+Ep。 a 增大，动能 Ek 增
E 减小。
⑵量子数 n 减小时，电子轨道半径 r 减小，线速度 v 增大，周期 T 减小，向心加速度
大，电势能 Ep 减小，原子向相应的低能级跃迁，要释放能量（辐射光子） 由 E=Ek+Ep 可知，该过程 Ep 的减小量一定大于 反之，量子数 Ek 的增加量。
，因此氢原子系统总能量
n 增大时，电子轨道半径 r 增大，线速度 v 减小，周期 T 增大，向心加速度
Ek 的减少量。
a 减小，动能 Ek 减
E 增大。
小，电势能 Ep 增大，原子向相应的高能级跃迁，要吸收能量（吸收光子）
，因此氢原子系统总能量
由 E=Ek+Ep 可知，该过程 Ep 的增加量一定大于
典型例题
【例题 1】两颗靠得很近的天体称为双星， 它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动， 因而不至于由于万有引力而吸引到一起，以下说法中正确的是：
A 、它们做圆周运动的角速度之比与其质量成反比。 B 、它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比。 C、它们做圆周运动的半径与其质量成正比。
D 、它们做圆周运动的半径与其质量成反比。
解析 ：两子星绕连线上的某点做圆周运动的周期相等，角速度也相等。由
v=r ω得线速度与两子星圆周运
动的半径是成正比的。因为两子星圆周运动的向心力由两子星间的万有引力提供，向心力大小相等，由
- 3 -
！
G
M1M 2
2
M r
2
11
M2
，G M12 可知：M 2r2
2
M 1r1 2
M 2r2
2
，所以它们的轨道半径与它们的质量是成反比的。
L L
而线速度又与轨道半径成正比，所以线速度与它们的质量也是成反比的。正确答案为：
BD 。
【例题 2】用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对 宇宙中物质存在的形式和分布有了较深刻的认识，双星系统是由两个星体构成，其中每个星体的线度都小于 两星体间的距离，一般双星系统距离其它星体很远，可以当做孤立系统处理，现根据对某一双星系统的光度 学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是
M ，两者相距 L ，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。
（1）计算该双星系统的运动周期
T 计算。
（2）若实验上观测到的运动周期为
T 观测 ，且 T 观测 ： T 计算 =1： N (N>1) ，为了解释 T
观测 与 T
计算
的不 同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质，作为一种简化模型，我们假定在这两个星体边线为直径的球体内均匀分布着暗物质，而不考虑其它暗物质的影响，试根据这一模型
和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。
得： M
解析：（ 1）双星绕它们的连线中点做圆周运动，由万有引力提供向心力，根据万有引力和牛顿第二定律
。 L 2 2 2
G
M
，而
。解得： T ＝
计算
L 2L/ GM
2
L
2
T
（2）因为 T观测＝
1 T计算＜ T计算 ，这个差异是以双星连线为直径的球体内均匀分布着的暗物质引起的， N
设这种暗物质质量为
M′，位于两星连线中点处的质点对双星的影响相同，这时双星做圆周运动的向心力由
2
双星的万有引力和 M′对双星的万有引力提供， 所以有： G M2 2 ＋G MM
/
/
2 M 观测 L ，又 2
2观测
L
L / 2
T 观测
解得暗物质的质量为： M ＝（ N－1）M / 4 而暗物质的体积为：
V ＝
4 L
/
（ ）
3
3 2
所以暗物质的密度为：
3
＝ M V
3( N 1)M /(2 L )
1．如图，地球赤道上山丘
a2、 a3，则
e，近地资源卫星 p 和同步通信卫星 q 均在赤道平面上绕地球做
v1、 v2、v3，向心加速度分别为 a1、
匀速圆周运动。设 e、 p、 q 的圆周运动速率分别为
e
p
q
A ． v1>v2>v3 B． v1 200km 和 100km ，运行速率分别为 v1 和 v2。那么， v1 和 v2 的比值为（月球半径取 1700km ） A ． 19 18 B． 19 18 C． 18 19 D ． 18 19 3．我国成功实施了“神舟”七号载入航天飞行并实现了航天员首次出舱。飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地 点 343 千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为 343 千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90 分钟。下列判断正确的是 A ．飞船变轨前后的机械能相等 B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于超重状态 - 4 - ！ C．飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度 D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度 4．2009 年 2 月 11 日，俄罗斯的“宇宙 — 2251”卫星和美国“铱 — 33”卫星在西伯利亚上空约 805km 处发生 碰撞。这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件。 碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境。假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是 A ．甲的运行周期一定比乙的长 C．甲的向心力一定比乙的小 B．甲距地面的高度一定比乙的高 D．甲的加速度一定比乙的大 5．“嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨道半径为 在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时 A ． r 、 v 都将略为减小 r ，运行速率为 v，当探测器 B ． r、 v 都将保持不变 C． r 将略为减小， v 将略为增大 D ． r 将略为增大， v 将略为减小 6．近地人造卫星 1 和 2 绕地球做匀速圆周运动的周期分别为 的重力加速度大小分别为 g1、 g2，则 T1 和 T2。设在卫星 l 、卫星 2 各自所在的高度上 2 A ．g1 T 4 1 3 B ．g1 T 2 3 4 C． g 1 g 2 T2 g 2 T1 g2 T1 T2 D． g 1 2 g 2 T2 T1 7．太阳系中的 8 大行星的轨道均可以近似看成圆轨道。 律的图象。图中坐标系的横轴是 A ． 3 2 1 O 1 下列 4 幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规 lg(T/T0)。纵轴是 lg(R/R0)；这里 T 和 R 分别是行星绕太阳运行的周期和 4 幅图中正确的是 相应的圆轨道半径， T0 和 R0 分别是水星绕太阳的周期和相应的圆轨道半径。下列 B． 3 2 1 O C． 3 2 1 D ． lg(R/R0) lg(R/R0) lg(R/R0) lg(R/R0) 3 2 lg(T/T0) 1 O 1 lg(T/T0) 2 3 lg(T/T0 ) 1 2 3 O lg(T/T0) 3 1 2 3 2 8．航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在 A ．在轨道Ⅱ上经过 A 的机械能大于经过 B 的机械能 B．在 A 点短时间开动发动机后航天飞机的动能增大了 C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 D．在轨道Ⅱ上经过 A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过 A 点短时间开动小型发动机进行变轨，从圆形轨道 Ⅰ进入椭圆道Ⅱ， B 为轨道Ⅱ上的一点，如图所示。下列说法中正确的有 轨道Ⅰ B 轨道Ⅱ A A 的加速度 9．我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在“ 24 小时轨道”上绕地球运行（即绕地球一圈需要 24 小时 )； 然后，经过两次变轨依次到达“ 48 小时轨道”和“ 72 小时轨道”；最后奔向月球。如果按圆形轨道计算， 并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前相比， A ．卫星动能增大，引力势能减小 C．卫星动能减小，引力势能减小 B ．卫星动能增大，引力势能增大 D ．卫星动能减小，引力势能增大 10．一对双星，是由相距 L 、质量分别为 M 1 和 M 2 的两颗星体构成，两星间引力很大但又未吸引到一起，是 因为它们以连线上某点为圆心做圆周运动的结果，如图 少？ 6－ 3 所示，试求它们各自运转半径和角速度各是多 - 5 - ！ 图 6－3 - 6 - 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容