新人教版(B)高中数学必修4平面向量的数量积教案

【考点透视】 一、考纲指要

1．掌握平面向量的数量积及其几何意义．

2．了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题． 3．掌握向量垂直的条件． 二、命题落点

1．试题常常考查平面向量的数量积的概念。向量数量积的运算律，类似于多项式乘法法则，但并不是所有乘法法则都可以推广到向量数量积的运算．如例1中：a·（b＋c）=a·b＋b·c，而（a·b）c≠a（b·c）。

2．利用向量的数量积可以解决向量的夹角问题，利用向量的数量积还可以很方便地解决垂直问题：a⊥ba·b=0，（a，b非零向量），或用x1x2＋y1y2=0表示。当角为锐角或钝角，求参数的范围时注意转化的等价性。如例1、例3。

3．有关模及距离的问题，可以转化到向量的数量积问题来解决。利用两向量的数

a·a=量积、模及夹角的关系，用公式a·b=|a||b|cosθ，特别地，

a2cos＜a·aa＞=2，由此，可把点积与模长（距离）挂上钩。如例2、例4。 4．求一个向量在另一向量上的投影的问题。 【典例精析】

例1：（2000·天津、山西）设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则

① (ab)c(ca)b0； ② |a||b||ab|；

③ (bc)a(ca)b不与c垂直；

22 ④ (3a2b)(3a2b)9|a|4|b|中真命题的有（ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．②④

解析：① ∵ (ab)c∥c，(ca)b∥b， ∴ (ab)c(ca)b0．

② ∵ 三角形两边之差小于第三边， ∴ |a||b||ab|． ③ ∵ [(bc)a(ca)b]c (bc)(ac)(ca)(bc)0， ∴ (bc)a(ca)b与c垂直．

2222(3a2b)(3a2b)9a6ab6ab4b9|a|4|b|④ ．

答案： D ．

34例2：已知向量m=（1,1），向量n与向量m夹角为，且m·n=－1.

（1）求向量n；

C(cosA,2cos2)2，其中 （2）若向量n与向量q=（1，0）的夹角为2，向量p=

A、B、C为△ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列。求|n+p|的取值范围；

解析：本题的特色是将向量与三角综合，体现了知识的交汇性。要抓住数量积的运算律理解数量积的求值，并根据数量积的运算性质和坐标运算处理有关垂直问题，用向量的有关公式进行逐步翻译．

（1）设n(x,y),由mn1,可得xy1.①

3m与n夹角为43cos，有m·n=|m|·|n|·4，所以

|n|1,则x2y21. ②

x1,x0,或即n(1,0)或n(0,1).由①②解得 y0y1.

（2）由n与q垂直知n(0,1)，

22AC,0A.333由2B=A+C 知B= ，

n(0,1),则np(cosA,2cos2C1)(cosA,cosC),2

若

|np|2cos2Acos2C1cos2A1cos2C221411[cos2Acos(2A)]1cos(2A).2323

2510A,2A,1cos(2A),333332

115151cos(2A),即|np|2[,),223424 |np|[25,).22

在第（２）小题中，应用的三角公式较多，这似乎应当寻找联系，产生一定的条件反射．如：遇到高次想降次，即公式

cos21cos22．解题后反思：思维的

入手点，解题思维的障碍点，解题思维的开窍点．

例3：（2004·湖北）如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，

与BC的夹若长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQ角取何值时BPCQ的值最大？并求出这个最大值. 解析：本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力，解题思维的入手点是在“Rt△ABC中”，据此进行翻译和转化．

ABAC,ABAC0.APAQ,BPAPAB,CQAQAC,BPCQ(APAB)(AQAC)APAQAPACABAQABACa2APACABAPa2AP(ABAC)1a2PQBC21a2PQBC2a2a2cos.

故当cos1,即0(PQ与BC方向相同)时,BPCQ最大.其最大值为0.

向量的数量积有两种计算方法，一是依据模与夹角来计算，二是依据坐标来计算．具体应用时可根据已知条件的特征来选择． 例4：（2002·天津文）已知两点M（－1，0），N（1，0），且点P使

MPMN,PMPN,NMNP成公差小于零的等差数列.

（1）点P的轨迹是什么曲线？

（2）若点P坐标为（x0，y0），θ为PM与PN的夹角，求tanθ.

解析：设P（x，y），相关向量的坐标已知，进而用（x1，y1）·（x2，y2）=x1x2＋y1y2表示出成等差数列的几个数求解．

（1）记P（x，y），由M（－1，0），N（1，0）得PM=－MP=（－1－x，－y），

PN=－NP=（1－x，－y），MN=－NM=（2，0）

∴MP·MN=2（1+x），PM·PN=x2+y2－1，NM·NP=2（1－x）. 于是，MP·MN，PM·PN，NM·NP是公差小于零的等差数列等价于

122xy1[2(1x)2(1x)],22(1x)2(1x)0, x2y23,x0即

所以，点P的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆. （2）点P的坐标为（x0，y0）.

PM·PN=x02+y02－1=2.

|PM|·|PN|=

(1x0)2y0(1x0)2y022.

∴cosθ=

x03PMPN1.tan22|PM||PB|4x04x02．

【常见误区】

1．向量的运算性质与实数相近，但又有许多差异.尤其是向量的数量积的运算与实数的乘法运算，两者似是而非，极易混淆，是近年来平面向量在高考中考查的重点，应予以重视。两向量的数量积是两向量之间的一种乘法运算，它与两数之间的乘法有本质的区别：

（1）两向量的数量积是个数量（可正、可负，也可以为零），而不是向量，其值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积.

（2）当a≠0时，不能由a·b=0，推出b=0，因b可能不为0，但可能与a垂直. （3）注意等式两边如果都是数量积，不能随意约去一个向量。由a·b=b·c不能推出a=c.例如，当a=0,b⊥c时，a·b=b·c=0，但推不出c=0。

（4）对实数的积应满足结合律，即a(bc)=(ab)c,但对向量的积则不满足结合律，即a·(b·c)≠(a·b)·c，因a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而两向量不一定共线．

2．在运用数量积公式解题时，一定注意两向量夹角范围0°≤θ≤180°。此外，由于向量具有方向性，一定要找准夹角．

3．用向量的数量积可以处理有关长度、角度、垂直的问题，但向量式的混合运算仍然是解决这一切问题的基础。易错的地方有两处，一是数量积的书写方法，特别是混合算式中哪两个向量之间写“·”，哪些地方什么都不写，关键要看是向量间的内积，还是实数与向量的积；二是两个向量的夹角，一定要严格依照定义，将两个向量的始点移到一起再找夹角． 【基础演练】

2A(2,0)B(3,0)P(x,y)满足PAPBx1．（2004·辽宁）已知点、，动点，则点P

的轨迹

是 A．圆 B．椭圆

（ ）

C．双曲线 D．抛物线

2．（2004·湖北理）已知a,b,c为非零的平面向量. 甲：abac,乙:bc,则

（ ）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3．（2004·福建理）已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是 （ ）

A．6 B．3 25C．3 D．6

4．（2005·全国文）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足

OAOBOBOCOCOA，则点O是△ABC的

（ ）

A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 5．（2002·上海）已知向量a和b的夹角为120°，且|a|=2，|b|=5，则（2a－b）·a=_____.

6．(2005·江苏卷18)在ΔABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则

OA(OBOC) 的最小值为______．

7．（04·上海春）在直角坐标系xOy中，已知点P(2cosx1,2cos2x2)和点

Q(cosx,1)，其中x[0,]. 若向量OP与OQ垂直，求x的值.

13a(3,1),b(,)228．（2000·天津模拟）已知平面向量．

（1）证明：ab；

2xat(3)b （2）若存在不同时为零的实数k，t，使

，ykatb，且xy，

试求函数关系式kf(t)．

9．设A、B为单位圆上两点，O为坐标原点（A、O、B不共线）． （1）求证OAOB与OAOB垂直；

（2）当

XOA4，

XOB(3,)OAOB44且5时，求∠XOB的正弦值．