基于高斯-泊松-莱斯利模型的中国人口预测与控制

第２８卷第２期　大　学　数　学　Ｖｏ１．２８，№．２　２０１２年４月　ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ａｐｒ．２０１２　基于高斯一泊松一莱斯利模型的中国人口　预测与控制　王德鑫，　温　涛，　曹冰逸，　苏　剑　（西安交通大学，西安７１００４９）　［摘　要］针对中国人口现状和未来的发展趋势，提出了高斯一泊松一莱斯利模型，该方法全面考虑了人　１３年龄结构、人口性别比等因素，同时对成熟的莱斯利模型进行了优化改进．以此得到的分析结果可以为国家　在人口问题方面的政策规划提出建设性的意见．　［关键词］高斯一泊松一莱斯利；人口模型；对数正态分布；泊松分布；混合拟合　［中图分类号］０２９　［文献标识码］Ｂ　［文章编号］１６７２—１４５４（２０１２）０２—０１０３—０５　１　引　言　我国是世界上人口最多的发展中国家，人口众多、资源相对不足、环境承载能力较弱，是我国长期面　临的问题，而且，人口基数大，人口增长问题依然十分严峻，因此，统筹解决人口问题始终是我国实现经　济发展、社会进步和可持续发展面临的重大而紧迫的战略任务．同时，近年来我国的人口问题出现了一　些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等．　经典的马尔萨斯（Ｍａｌｔｈｕｓ）模型和Ｖｅｒｈｕｌｓｔ都没有考虑到社会成员之间的个性差异，即不同年龄、　不同体制的人在死亡、生育方面存在着差异，显然忽略这些差异是不合理．莱斯利（Ｌｅｓｌｉｅ）模型在假设上　也存在如下不足：一、该模型假设男女比例是１：１．二、该模型假设９Ｏ岁以上的人的存活率是０　９／６．现对　其进行改进．　首先考虑９Ｏ岁以上人口的存活率，将莱斯利（Ｌｅｓｌｉｅ）矩阵加以扩张，并加入男性各年龄段的人口数　目和男性各年龄段的存活率．再将莱斯利矩阵加以优化，使得莱斯利矩阵可直接作用于某年人１：３性别年　龄分布矩阵，得到下一年的人口性别年龄矩阵．然后对莱斯利（Ｌｅｓｌｉｅ）模型中的生育率进行定量分析，采　用对数正态分布模型和泊松分布模型描述不同年龄人１２Ｉ的生育率，并在这两个模型的基础上构造了组　合模型．组合模型进一步提高了精度，扩大了适用范围，能达到较高精度地预测人Ｋ１总量，人口年龄分　布，人口性别比，人口出生率和人口平均寿命的要求．　２数学模型　１．经典的Ｌｅｓｌｉｅ模型．　已知第ｔ年的时候忌岁人口数量ｚ　（￡），各年龄组别的人口的生育和死亡状况，就可以根据人口发　展变化的规律推得第￡＋１年的时候的ｋ岁的人口数量　（ｔ＋１）．　设ｂｋ为是岁的人口的年生育率，ｄ　为惫岁妇女的年死亡率．为了表达式方便，记ｐ　＝１－－ｄｋ为惫岁　［收稿日期］２００９—０２—１６；　［修改日期］２００９—０８—１０　［基金项目］国家自然科学基金（１１００１２１６）　１０４　大　学　数　学　第２８卷　人口的存活率，则各年龄组别人口数量随时间的变化规律可以使用以下的递推公式表示：　．Ｔｋ４－１（　＋１）一Ｐ＾　（￡）．　（２．１）　考虑到零岁的人口数量就是各年龄组别妇女所生育的婴儿的总数和，同时假设男女比例１：１，则第ｔ年　ｋ岁的妇女数量为　，且ｚ。（￡＋１）：　，其中　为第￡年愚岁妇女所生育的婴儿数．　综上所述，再假设可以得到基本人口模型的莱斯利模型为　一　Ｘｏ（ｔ＋１）：∑，ｋ＝Ｏ　（五．ｏ，１，２，…’９Ｏ）．尼一Ｕ＇上，厶，…’　Ｕ／．　（２．２）厶・厶／　Ｘｋ＋ｌ（　＋１）一ｐ＊ｘ　ｋ（￡），　妇女育龄区间一般取１５岁到４９岁，那么可以认为当ｋ＜：１５或五＞４９时，ｂ　—Ｏ．令　（￡）一Ｅｘ０（ｔ），Ｘ１（￡），…ｚ　（　），…，ｚ９ｏ（￡）］　，　（２．３）　ｂｏ　ｂ１　ｂ８９　ｂ９ｏ　２　２　２　２　Ｐ０　０　Ｏ　０　Ｌ＝　０　Ｐｌ　Ｏ　０　（２．４）　０　Ｏ　Ｐ８９　０　其中Ｌ称为Ｌｅｓｌｉｅ矩阵，则人口模型的离散模型的矩阵形式为　ｘ（ｔ＋１）一Ｌ　（￡）．　（２．５）　当第ｔ。年的人口状况已知时，从上式可以推出第ｔ年的人口数量为　（￡）一Ｌ　ｏＸ（　）．　（２．６）　２．改进后的高斯一泊松一莱斯利模型．　设第ｔ年的时候年龄为ｋ的妇女数目为叫＾（￡）（忌：０，１，２，３，…，９０）（其中　。。（￡）表示９Ｏ岁及９０　以上的妇女的数目），考虑男女性别比，令莱斯利矩阵扩张　（￡）表示第ｔ年的时候年龄为ｋ的男性数　目（　一０，１，２，３，…，９０），其中　。。（　）表示９０岁以上的男性的数目，ｇ　和　（￡）表示愚岁女性和男性的　存活率；进而考虑了新生婴儿中女性的比例ｒｉ和新生婴儿中男性的比例ｒ　，此时将原来的９１×９１的莱　斯利矩阵扩张成１８２×１８２的莱斯利矩阵：　［Ｌ　Ｂ　ＣＪ　Ａ—设１８２×１的人口性别年龄分布列向量　ｆ　。ｒ量ｉｂ　＂兰＇ｒ主ｌｂ。ｓ　：。ｌ，ｃ＝：ｆ毒害　０ｇＯ０８　９ｇＯ０９　Ｍ（￡）＝（Ｗｏ（￡）叫１（ｆ）叫２（￡）…　９ｏ（￡）　０（￡）ｗｌ（￡）ｗ２（￡）…Ｉ硼９０（￡））　，（２．７）　这样可以得到改进情况下的递推公式　Ｍ（　）一Ｌ　×Ｍ（ｔ一１）．　（２．８）　不同年龄人口的生育率可以描述不同年龄妇女的生育能力差别，是分析人口年龄结构变化趋势的重要　数据．本文同时采用对数正态分布模型和泊松分布模型描述分年龄别生育率，并在这两个模型的基础上　构造了组合模型．　使用基于随机分布函数的生育率模型——对数正态分布模型和泊松分布模型，妇女生育率随年龄　变化的趋势接近正态分布，即　６（ｇ）一ｒｈ（ｇ），　（２。９）　第２期　王德鑫，等：基于高斯一泊松一莱斯利模型的中国人口预测与控制　１０５　其中ｑ为妇女生育年龄；６（口）为生育率；＾（ｑ）为特定的随机分布函数；ｙ为尺度变换因子，与生育水平有　关．令　２　ｌ，ｆ’　（２．１‘　０）其中　。为起始生育年龄，本文令　。一１４岁；忌　为对数正态分布函数所对应的尺度变换因子；参数　和ｄ　决定了不同年龄人口生育率曲线的形状（在　相同的条件下，　越小，到达期望生育年龄的时间就越短；　在　相同的条件下，／Ｉ越小，期望生育年龄周围生育率越高），那么期望生育年龄为　ｅｘｐＥＰ＋譬］＋　（２．１１　由于生育率对年龄的分布是离散的，那么可采用泊松分布，令　厂　）＝ｋｐ　，　（２・１２）　其中　。一１４；志　为泊松分布函数所对应的尺度变换因子；ｌ　Ｉ　为从起始生育年龄　。至平均生育年龄的时　间长度．　无法满足不同生育率数据对模型的精度要求，考虑到上述模型，结合实际情况，由于妇女生育年龄　主要集中于３０岁以前，偏于年轻化，令　，　ａ　１　一　唧［－－　］＋（１－ａ）箸｝，　其中参数　，　，　与对数正态分布模型和泊松分布模型相同；ａ为权值；ｋ　为尺度变换因子．这５个待定参　数同样可以使用我国２００１￣２００５年间的分年龄别生育率数据通过最小二乘法非线性回归来进行辨识．　经试验，这样的生育率分布函数能更精确地描述我国的生育年龄分布．　３　算　例　现在用该模型对本世纪上半叶的中国人口变化趋势进行预测．　首先，考虑到死亡率是随医疗水平的提高不断减小的，因此我们用慢指数根据１９９０年到２００４年的　死亡率数据对将来的全国人口死亡率进行预测，得到死亡率随着时间ｔ的变化曲线　（ｔ）一ｅ－。・。。。　件　・。　．　（３．１）　并通过已知五年的数据求出死亡率对年龄的平均分布．但不论医疗水平如何提高，都无法使人不死亡，　因此设９０岁及其以上的人口的死亡率应该是不变的，其值为２００１年到２００５年此段年龄的死亡率的平　均值．将求得的参数代人模型，得到图１．　图１　总体死亡率减少，高龄死亡率不变时　图２　理想状态下人口发展趋势　的人口分布趋势　在分析人口问题时，综合生育率（ＴＦＲ）是一个非常重要的量，它是指平均一对夫妇生育子女的数　量，考虑到幼儿成活率，一般认为ＴＦＲ等于２．１为平衡的更替水平，而计算得到在２００５年时的综合生　１０６　大　学　数　学　第２８卷　育率（ＴＦＲ）城市是０．９３，乡镇是１．２８，农村是１．６５，平均值为１．３９．　假设在从２００１年开始，ＴＦＲ每年下降０．１１，持续十年；接着从２０１２年开始，ＴＦＲ值每年又上升　０．０３４，保持３０年到２０４１年；接着ＴＦＲ值保持不变．在这样的情况下，就会出现图２所示的人口变化曲　线，这种曲线符合将来发展趋势．　同时，人口的数量关于人口出生率有很大的滞后性，这可以从图２里面看出来：ＴＦＲ值从２００１年　开始下降，但人口的真正下降要到２０２０年以后；同样的，丁ＦＲ值又从２０１２年开始增加来抵消过低的　ＴＦＲ值，但直到２０９０年左右人口才稳定下来．这种滞后性主要是由人口的结构特点决定的．因为生育　率的变化虽然能立即改变婴儿的出生人数，但是改变人口总量的往往不是这些婴儿，而是其中女婴成长　为母亲后再生育子女对总人口的影响．而这个过程至少要是一个成年周期．２０２０年的下几年有一个生　育高峰，此时出生了比其他时刻多的多的婴儿；当２５年过后，这群婴儿成长到生育年龄后，又开始生育　下一代，势必又会有一个生育高峰．当然，由于生育时间肯定会有所离散，所以这个高峰会比上一个高峰　弱一点．因此，每隔一个成年生育期，就会有一个生育高峰；同时高峰会被慢慢削平．最后如果ＴＦＲ值　不变的话，曲线便会单调的变化下去．　为了进一步说明适时调整ＴＦＲ值的合理性，给出了２２００年的年龄结构，如图３所示．在２２００年，　根据计算，人口已经趋于稳定，人口数波动不大．当人口系统处于这种状态下，而生育率和死亡率没有明　显变化时，可以认为人口系统稳定，各项指标不随时间发生突然性变化．观察可以看到，图中显然有３个　极大值．这三个峰就是人口出生高峰．并且也明显的看到，年龄越大峰越凸起，这就是出生人口高峰的延　续性和削弱性．　图３人口稳定后各年龄分布　由图１可知，在２００１年到２０２０年间，人Ｅｌ呈近似线形增长的趋势．在未达到稳定人口状态时，即使　现时人ＥＪ的生育率已经降到更替水平以下（即ＴＦＲ＜２．１）的情况，人口的净再增长率Ｒ。＜１，内在自然　增长率ｒ＜０．但是受前一阶段Ｒｏ＞１作用，在一段时期内，总人口还是会以年增量递减的方式持续增　加，所以在２００１年到２０２０年的时候人口呈近似线形增长的趋势是符合常理的．　图１上在２０４０年到２０５０年人口变化趋势与内在自然增长率相一致，此时由于人口自然增长惯性　已经消失，所以总人口数开始下降．　经计算可得，当ＴＦＲ＝０．８３时，人口变化趋势最大，２０１０年人口数是１３．３５亿，２０２０年人口数是　１４・１亿，人口峰值是１４．２亿．再进一步分析图线，发现随着ＴＦＲ的增大，不光峰值会增加，而且峰值来　临的时间会往后推；同时人口处于较高水平的时间也会变长，这就给了将来的那段时间的人口形势以很　大压力．通过计算我们也可以看到，不管丁ＦＲ是最大的１．１１还是最小０．５６，在峰值过后总是会出现人　口下降．这是由于此时ＴＦＲ总是小于更替水平的ＴＦＲ值２．１，因此过了人口红利期之后，人口就以较　快速度下降，并且不再上升．此时会带来严重的后果，比如人口抚养比将变得非常大，老龄化严重，每个　劳动力的负担很重等．　第２期　王德鑫，等：基于高斯一泊松一莱斯利模型的中国人口预测与控制　１０７　４　结　论　针对中国人口现状和未来的发展趋势，经过对成熟的传统莱斯利模型扩张、优化、合理化、高斯一泊　松随机化四步改进，提出了高斯一泊松一莱斯利模型，并利用该模型在不同政策前提下从数量和结构两　方面对中国人口未来５０年内的发展进行了预测．该模型全面地考虑了总人口数、人１２１中男女比例和人　口年龄结构等方面，这些参数都可以得到较为准确的预测，模型中的各个参数都有各自的实际意义．模　型全面考虑了人口结构中年龄分布及性别比例对整体人１２Ｉ增长趋势的不同影响，并考虑了生育率及死　亡率随时间的变化，进而可以对生育率加以控制，为国家政策提供了一定的建设性建议．　今后以下几点着手改进模型，以进一步提高预测的精度和结果的信息含量：　（ｉ）在人口的控制模型中，我们可以将现在的对生育率阶梯型调控改进为闭环控制系统，即对当年　的人口数量及结构进行分析处理，形成反馈，对下一年的人ＶＩ政策提供信息．这样模型将具有自调整、自　适应的特点，为人口政策的制定提供更加具有参考价值的指导．　（ｉｉ）利用现有模型求解结果，可以分析人口的社会结构指标，包括城市人口比例系数和就业结构指　数，可以定量地给出人口结构的合理性．　（ｉｉｉ）可以在模型中加入经济、教育等因素，使模型预测的结果拥有更加全面的信息，不仅可以对人　口政策，甚至经济、教育政策的制定提供参考信息．　［参　考　文　献］　［１］熊建平，吴建华，万国金．ＡＲ模型在人口增长预测中的应用ＥＪ３．计算机与现代化，２００５，２１（ｉ０）：１１—１２．　［２］门可佩，曾卫．中国未来５Ｏ年人口发展预测研究Ｉ－Ｊ］．数量经济技术经济研究，２００４，２１（３）：１２—１７．　［３］尹文耀，姚引妹，李芬．统筹城乡的动态人口预测与分析Ｉ－Ｊ］．中国人口科学，２００４（６）：１４—２３．　Ｉ－４］龚曙明，欧阳资生．基于自身传递和政策调节效应的人口预测模型ｒＪ］．理论新探，２００５，１８（８）：１７—１８．　［５］王周喜，胡斌，王洪萍．人口预测模型的非线性动力学研究ＥＪ］．数量经济技术经济研究，２００４，２１（８）：５３—５４　１－６　２］迟灵芝．最优组合模型在人ｉｚｌ预测中的应用［Ｊ］，甘肃联合大学学报（自然科学版），２００５，２１（１）：１３—１５．　Ｔｈｅ　Ｆｏｒｅｃａｓｔ　ａｎｄ　Ｃｏｎｔｒｏｌ　ｏｎ　Ｃｈｉｎａ’Ｓ　Ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｇａｕｓｓ—Ｐｏｉｓｓｏｎ－Ｌｅｓｌｉｅ　Ｍｏｄｅｌ　ＷＡＮＧ　Ｄｅ—ｘｉｎ，ＷＥＮ　Ｔａｏ，ＣＡＯＢｉｎｇ—ｙｉ，ＳＵＪｉａｎ　（Ｘｉ’ａｎ　Ｊｉａｏｔｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ　７１００４９，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ　ａｒｔｉｃｌｅ　ｄｉｓｃｕＳｓｅｓ　ｔｈｅ　ｎｏｗａｄａｙｓ　Ｃｈｉｎａ’ｓ　ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｆｕｔｕｒｅ．Ａｆｔｅｒ　ｔａｋｉｎｇ　ｔｈｅ　ａｇｅ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ。ｓｅｘｕａｌ　ｒａｔｅ，ｅｔｃ．ｉｎｔｏ　ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎ，ａ　４－ｓｔｅｐ　ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｍａｔｕｒｅ　Ｌｅｓｌｉｅ　Ｍｏｄｅｌ　ｉｎｃｌｕｄｅｓ　ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ＇　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ。ｒａｔｉｏｎａｌｉｚａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｇａｕｓｓ—Ｐｏｉｓｓｏｎ　ｒａｎｄｏｍｉｚａｔｉｏｎ　ｉｓ　ｐｅｒｆｏｒｍｅｄ．Ｔｈｅｎ　ｔｈｅ　ｆｉｒｅ—ｎｅｗ　Ｇａｕｓｓ—Ｐｏｉｓｓｏｎ－Ｌｅｓｌｉｅ　Ｍ０ｄｅ１　ｉｓ　ｆｏｒｍｅｄ　ａｓ　ｋｅｒｎｅｌ　ｍｏｄｅ１　ｔｏ　ａｎａｌｙｚｅ　ａｎｄ　ｆｏｒｅｃａｓｔ　ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ．Ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ａｒｅ　ｍｅａｎｉｎｇｆｕｌ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｐｏｌｉｃｙ　ｉｎｓｔｉｔｕｔｉｎｇ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｇａｕｓｓ—Ｐｏｉｓｓｏｎ－Ｌｅｓｌｉｅ；ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ　ｍｏｄｅｌ；ｌｏｇ－ｎｏｒｍａｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ；Ｐｏｉｓｓｏｎ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ；ｍｉｘｅｄ　ｆｉｔ