《函数的单调性》教学设计

宁陕中学 谢贤会 【教材分析】

《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。 【教学目标】

知识与技能：

1．通过生活中的例子帮助学生理解函数的单调性和单调函数的意义。 2．学会判断和证明简单函数的单调性。 过程与方法：

1．通过探究与活动，使学生明白考虑问题要细致，说理要明确。 2．培养从概念出发，进一步研究其性质的意识及能力。 情感与态度：

1．通过本节课的教学，使学生能理性的描述生活中的增长、递减的现象。 2．体会感悟数形结合的重要数学思想。

2．通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力和数形语言转化的能力。 【重点难点】

重点：函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性。

难点：函数单调性概念（数学符号语言）的认知，应用定义证明单调性的代数推理论证。 关键：增函数与减函数的概念的理解。 授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

【教法分析】

为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取了：

1．通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。

2．在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念。 3．在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达。 【学法分析】

在教学过程中，教师设置问题情景让学生想办法解决；通过教师的启发点拨，学生的不断探索，最终把解决问题的核心归结到判断函数的单调性。然后通过对函数单调性的概念的学习理解，最终把问题解决。整个过程学生主动参与、积极思考、探索尝试的动态活动之中；同时让学生体验到了学习数学的快乐，培养了学生自主学习的能力和以严谨的科学态度研究问题的习惯。 【教学过程设计】 （一）复习引入

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yyyx2yx3⒈ 复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法.为了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数yx2和yx3的图象. yx2的图象如图1，yx3的图象如图2.

⒉ 引入：从函数yx2的图象（图1）看到：

图1x图2x图象在y轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x在区间[0，+)上取值时，随着x的增大,相应的y值也随着增大，即如果取x1,x2∈[0，+)，得到y1=f(x1),y2=f(x2),那么当x1相应的y值反而随着减小，即如果取x1,x2∈（-，0），得到

yf(x)f(x1)x1图3yf(x2)x2xy1=f(x1),y2=f(x2),那么当x1y2.

f(x)这时我们就说函数y=f(x)=x2在(-,0)上是减函数. 函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的. （二）讲解新课 ⒈ 增函数与减函数

f(x1)x1图4f(x2)x2x定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2，⑴若当x1f(x2),则说f(x)在这个区间上是减函数（如图4）.

说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数yx（图1），当x∈[0,+)时是增函数，当x∈(-,0)时是减函数.

⒉ 单调性与单调区间

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数f(x)在这一区间具有（严格的）单调

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2性，这一区间叫做函数f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.

在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的. 说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；

⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这数是增函数（或减函数），例如，图5中，在x1,x2那样的特得f(x1)>f(x2)，但显然此图象表示的函数不是一个单调

yf(x)个条件，就不能保证函

定位置上，虽然使

f(x1)x1f(x2)x2x函数；

⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类图5似上述的定义，只

要将上述定义中的“f(x1)f(x2), ”改为“f(x1)f(x2) 或f(x1)f(x2),”即可；

⑷定义的内涵与外延：

内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；

外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.

②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为

减函数.

（三）理解概念

强调：单调性是函数的“局部”性质

如：函数y上减函数？

引导学生讨论，从图象上观察或用特殊值代入验证否定结论（如取x11,x2121x在(0,)和(,0)上都是减函数，能否说y1x在定义域(,0)(0,)上

）。

设计意图：学生对一个概念的认识不可能一次完成，教师要善于从多个角度，通过概念变式教学和构造反例帮助学生理解概念的内涵与外延。在学习如何证明一个函数的单调性之前，先与学生一起探讨怎样才能否定一个函数的单调性对帮助学生理解函数单调性的概念尤为重要，可以加深学生对“任意”两字的理解。 （四）运用概念 y例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数yf(x)的图象，根据图象说出yf(x)的单调区间，以及在每一

-5-2O135x 3

单调区间上，函数yf(x)是增函数还是减函数.

解：函数yf(x)的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中yf(x)在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数. 例2 证明函数f(x)1x在(0,+)上是减函数.

证明：设x1,x2是(0,+)上的任意两个实数，且x11x11x2则f(x1)－f(x2)=

－=

x2x1x1x2, 由x1,x2∈(0,+ )，得x1x2>0,

又由x10 ,于是f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)> f(x2) ∴f(x)1x在(0,+ )上是减函数.

通过两例，教师要向学生说明：

1．判断函数单调性的主要方法：①观察法：画出函数图象来观察；②定义法：严格按照定义进行验证；③分解法：对函数进行恰当的变形，使之变成我们所熟悉的且已知其单调性的较简单函数的组合。

2．概括出证明函数单调性的一般步骤：取值→作差→变形→定号。

练习：（1）证明函数f(x)3x2在R上是增函数. （2）讨论函数f(x)x22ax3在(-2,2)内的单调性.

设计意图：单调性证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证问题，通过本例，要让学生理解判断函数单调性与证明函数单调性的差别，掌握证明函数单调性的程序，并深入理解什么是代数证明，代数证明要做什么事。

（六）回顾总结

本节课主要学习了函数单调性的定义，单调区间的概念，能利用（1）图象法；（2）定义法来判定函数的单调性，从中体会了数形结合的思想，学会从“特殊到一般再到特殊”的思维方法来研究问题。 【教学反思】

1．给出生活实例和函数单调性的图形语言，调动学生的参与意识，通过直观图形得出结论，渗透数形结合的数学思想。问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始。这里，通过问题，引发学生的进一步学习的好奇心。

2．给出函数单调性的数学语言。通过教师指图说明，分析定义，提问等办法，使学生把定义与直观图象结合起来，加深对概念的理解，渗透数形结合分析问题的数学思想方法。

3．有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此．利用学生自己提出的问题，让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究。

4．通过安排基本练习题，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，

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让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成。

5．让学生体验数学知识的发生发展过程应该成为这节课的一个重要教学目标。函数的单调性的定义是对函数图象特征的一种数学描述，它经历了由图象直观感知到自然语言描述，再到数学符号语言描述的进化过程，这个过程充分反映了数学的理性精神，是一个很有价值的数学教育载体。

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