一副三角板演绎出的数学中考题

赵军

数学课上我们经常使用的一副三角板，其中一只含有30°、60°的锐角，另一只含有45°的锐角，我们对它再熟悉不过了。近年来，不少中考题中出现了以三角板为题材而拼出的好题，现举几例，以飨读者。

一、求角度

［例1］（2004年山西临汾）如图（1），将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，若∠AOD=145°，则∠BOC=_________度。

析解：在RtΔAOB中：∠AOC＋∠BOC=90° 求∠BOC把①、②两式相加即可。

即：∠AOC＋∠BOC＋∠BOD＋∠BOC=180° ∵∠AOC＋∠BOC＋∠BOD=145° ∴∠BOC=180°－145°=45°

［例2］（2005年广东梅州）如图（2），将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于O点，则∠AOB＋∠DOC=_________度。

①

析解：可把∠AOB拆分成∠AOD、∠DOC、∠COB三个角的和，然后重新组合。 即：∵∠AOB=∠AOD＋∠DOC＋∠COB

∴∠AOB＋∠DOC=∠AOD＋∠DOC＋∠COB＋∠DOC =∠AOC＋∠DOB=90°＋90°=180°

二、求边形

［例3］（2005年长春）用两块相同的含30°角的三角尺如图（3）放置，若AD=

66，求三角尺各边的长。

析解：由图可知，AB=DB，在RtΔABD中先求出AB，然后在RtΔABC中求出三角尺各边的长。

即：在RtΔABD，∵AB=DB ∴ΔABD是等腰直角三角形 ∴AB=AD·sin45°66在RtΔABC

263 2∵∠BAC=30°

∴BC=AB·tan30°=6336，AC=12 3∴三角形三边的长分别为6、63、12。

三、求面积

［例4］（2003年上海）将两块三角板如图（4）放置，其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45o，∠E=30°，AB=DE=6，求重叠部分四边形DBCF的面积。

析解：由于重叠部分四边形DBCF是一个不规则的四边形，所以求其面积可考虑用SΔABC－SΔADF

即：在RtΔABC中 ∵∠A=45°

AB=6

∴AC=BC=AB·sin45°=6232 2∴SABC1ACBC9 2在RtΔEDB中 ∵∠E=30°DE=6 ∴DB=DE·tan30°=6323 3∴AD=AB－DB=6－23 ∵∠EDB=90°，∠A=45° ∴ΔADF是等腰直角三角形 ∴AD=DF=6－23 ∴SADF1ADDF 21(623)(623)24123 2∴S四边形DBCF=SΔABC－SΔADF

9(24123)12315

答：重叠部分四边形DBCF的面积为12315

四、求三角函数数值

［例5］（2004年湖北荆门）将一副三角尺如图（5）摆放在一起，连结AD，试求∠ADB的余切值。

析解：尽管本题没有提供边与角的具体数据，但是由一副三角尺摆放成的几何图形隐含着许多特殊角。为解直角三角形提供了条件。

即：过点A作DB延长线的垂线AE，垂足为E。

在等腰RtΔBDC中，∠1=45°，设BD=DC=k，则BC2k 在RtΔABC中，∠4=30°，则

ABBCtan302k在RtΔAEB中，

36k 33∠2=180°－（∠1＋∠3）=180°－（90°＋45°）=45° 则EB=EA=AB·sin45°在RtΔDEA中，

623kk 323DEBDEB33kk(1)k， 33则cot∠ADB=

DEEA(31)k313 3k3