四边形与相似三角形
1.（2015•北京）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．
证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，
∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD， ∴∠CBE=∠BAD．
2.（2015•北京）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD． ∵BE∥DF，BE=DF， ∴四边形BFDE是平行四边形． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC， ∴∠DFA=∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，BC===5，
∴AD=BC=DF=5， ∴∠DAF=∠DFA，
∴∠DAF=∠FAB， 即AF平分∠DAB．
3.（2014•北京）如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：∠A=∠E．
考点： 全等三角形的判定与性质
专题： 证明题．
分析： 由全等三角形的判定定理SAS证得△ABC≌△EDB，则对应角相等：∠A=∠E．
解答： 证明：如图，∵BC∥DE，
∴∠ABC=∠BDE．
在△ABC与△EDB中，
∴△ABC≌△EDB（SAS），
∴∠A=∠E．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形
的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
4.(2014•北京）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．
考点： 菱形的判定；平行四边形的性质；解直角三角形．菁优网版权所有
分析： （1）先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形和角平分线的性质可得AB=BE，AB=AF，AF=BE，从而证明四边形ABEF是菱形；
（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，得到AB=AF=4，
∠ABF=∠ADB=30°，AP⊥BF，从而得到PH=，DH=5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠AEB．
∵AE是角平分线，
∴∠DAE=∠BAE．
∴∠BAE=∠AEB．
∴AB=BE．
同理AB=AF．
∴AF=BE．
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB=BE，
∴四边形ABEF是菱形．
（2）解：作PH⊥AD于H，
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，
∴AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°，AP⊥BF，
∴AP=AB=2，
∴PH=，DH=5，
3∴tan∠ADP=PH/DH=5
5.2012•北京）已知：如图，点E，A，C在同一直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．
求证：BC=ED．
考点： 全等三角形的判定与性质。710842
专题： 证明题。
分析： 首先由AB∥CD，根据平行线的性质可得∠BAC=∠ECD，再有条件AB=CE，AC=CD可证出△BAC和△ECD全等，再根据全等三角形对应边相等证出CB=ED．
解答： 证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ECD，
在△BAC和△ECD中，
∴△BAC≌△ECD（SAS），
∴CB=ED．
点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
6.（2012•北京）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．
考点： 勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形。710842
分析： 利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，求出AC，AB的长即可得出四边形ABCD的面积．
解答： 解：过点D作DH⊥AC，
∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，
∴EH=DH=1，
又∵∠DCE=30°，
∴HC=，
DC=2，
∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，
BE=2，
∴AB=AE=2，
∴AC=2+1+=3+，
∴S四边形ABCD=×2×（3+）+×1×（3+）=．
点评： 此题主要考查了解直角三角形和三角形面积求法，根据已知构造直角三角形进而得出直角边的长度是解题关键．
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