向量中的“四心”应用

向量中的“四心”应用

作者：龚成林 戢 平

来源：《中学生数理化·教研版》2010年第05期

三角形的常用“四心”,即重心﹑垂心﹑内心﹑外心,分别是三边中线﹑高线﹑内角角平分线﹑中垂线的交点,在向量中的应用较灵活,归纳如下 题型1:“心”的类型确定

例1 O是空间中一定点,动点P在A、B、C三点确定的平面内且满足(OP-OA)•(AB-AC)=0,则点P一定在过△ABC的()的直线上.

外心B.内心C.重心D.垂心

⊥

点P过△ABC的垂心的直线上.答案为

分析:(OP-OA)•(AB-

例2 O是平面内一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP=OA+m(AB∣AB∣+AC∣AC∣),m∈[0,+∞),则点P轨迹一定过△ABC的().

外心B.内心C.重心D.垂心

分析:AB∣AB∣表示向量AB上的单位向量,AC∣AC∣表示向量AC上的单位向量,故AB∣AB∣+AC∣AC∣表示单位向量AB∣AB∣与单位向量AC∣AC∣之和.由向量加法的几何意义可知,表示以单位向量AB∣AB∣和单位向量AC∣AC∣为邻边的菱形两条对角线,所以m(AB∣AB∣+AC∣AC∣),m∈[0,+∞)表示向量AM(点M在角的平分线上,长度由m确定),而OP=OA+AM=OM,故点P的轨迹为角A的平分线.答案为

例3 点A是△ABC所在平面内的一点,满足OA•OB=OB•OC=OC•OA,则点O是△ABC的(). 分

析:OA•OB=OB•OC=O边中垂线的交点.答案为

⊥AC,OC⊥AB,OA⊥

∣OA∣=∣OB∣=∣OC∣

是三

内心B.外心C.重心D.垂心

例4 在四边形ABCD中,AC=AB+AD,A、B、C、三点不共线,O是△ABC内一点,若OA+OB+OC=0,则点O是△ABC的().

重心B.垂心C.内心D.外心

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分析答案为

四边形ABCD是平行四边形.由

是△ABC的重心.

题型2:“心”的应用

例5 △ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,OH=m(OA+OB+OC),求实数m的值.

解:设两边AB、BC高的交点为H,AB、AC边的中点分别为D、F.可以证明CH=2OD. 延长OD至点G,则OD=DG,有OA+OB=OG.

又OG∥CH,OG=CH,得OA+OB+OC=OG+OC=CH+OC=OH.故OH=OA+OB+OC,m=1. 例6 在△AOB中,点P在OA上,点Q在OB上,PQ过△AOB的重心G.设OA=a,OB=b,OP=ma,OQ=nb. 求证:1m+1n=3.

证明:由重心性质知,OG=13(OA+OB),GP=ma-13(OA+OB)=(m-13)a-13b, QG=13(OA+OB)-nb=13a+(13-n)b.

由P、Q、G共线,得GP=k[13a+(13-n)]b.则m-13=13k,且-13=k(13-n)得(m-13)(-13)=(13)(13-n),m+n=3mn,1m+1n=3.

当然,这样的题很多,以上仅是抛砖引玉,只要理解“四心”和应用向量的有关知识,结合几何意义,就会迎人而解