第十章 方法和策略
一、枚举与筛选
1、如下图，四个小三角形的顶点处有六个圆圈，在圆圈内分别填入6个质数，它们的和是20，并且每个小三角形三个顶点上的数字的和相等。问：这六个质数的积是多少？
2、有三张卡片，在它上面各写有一个数字，从中抽出一张、两张、三张，按任意顺序排起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数，请你将其中的质数都写出来。
1 2 3
3、在三位数中，数字和是5的倍数的数共有多少个？
4、有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。问：有多少种不同的支付方法？
5、1995的数字和是1+9+9+5=24。问：小于2000的四位数中数字和等于24的数共有多少个？
6、写出从360到630有奇数个约数的所有的自然数。
7、从所有分母小于10的真分数中，找出一个最接近0.618的分数。
8、变速自行车是在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿轮，用链条连接不同搭配的齿轮，通过不同的传动比获得若干档不同的车速。“希望牌”变速自行车主动轴上有三个齿轮，齿数分别是48，36，24；后轴上有四个齿轮，齿数分别是36，24，16，12。问：这种变速自行车一共有几档不同的车速？
9、有三个工厂共订300份吉林日报，每个工厂订了至少99份，至多101份。问一共有多少不同的订法？
10、把37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中所拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？
11、用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？
12、试将1，2，3，4，5，6，7分别填入下面的方框中，每个数字只用一次：使这三个数中任何两个都互质。
7 1 （这是一个三位数） 4
（这是一个三位数）
（这是一个一位数）
13、有八张卡片，上面分别写着自然数1到8，从中取出三张，要求这三张卡片上的数字之和为9,。问有多少种不同的取法？
14、把+、-、×、÷分别填在下图适当的括号内，并在长方形中添上适当的整数，是图中的两个等式都成立。问长方形中的整数是几？
9（ ）13（ ）7=100， 14（ ）2（ ）5= 。
15、在前300个非零自然数中，去掉所有的“完全平方数”，剩下的自然数的和是多少？
16、用数字1，2，3可以组成多少个没有重复数字的自然数？
17、在1，2，3„„1996，1997这1997个自然数中，含数码1的数共有多少个？
18、用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，要求1不在万位，2不在千位，3不在百位，4不在十位，5不在个位。问：这样的五位数共有多少个？
二、 归纳与猜测
1、四个小动物换座位，一开始，小鼠坐在第一号位子，小猴坐在第二号位子，小兔坐在第三号位子，小猫坐在第四号位子，以后它们不停地交换位子：第一次上下两排交换，第二次是在第一次交换后再左右两排交换，第三次再上下两排交换，第四次再左右两排交换，„„这样一直交换下去。问：第十次交换位子后，小兔坐在第几号位子上？
鼠 猴 兔 猫 猫 兔 1 2 1 2 1 2
3 4 3 4 3 4
兔 猫 鼠 猴 猴 鼠
2、将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作。按上述规则完成五次操作后，剪去所得小正方形的左下角。问：当展开这张正方形纸片后，一共有多少个小洞孔？
3、如下图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形。其中最小的三角形顶点的个数（重合的顶点只计一次）依次为：3，6，10，15，21„ 问：这列数中的第9个是多少？
4、观察下面的数表：（横排为行，竖排为列）
…
…
1， 121,, 12321,,, 1234321,,,, 123454321,,,,, 12345
„
根据前5行所表达的规律，说明
1991这个数位于第几行和第几列？ 1949
5、一个正四面体摆在桌面上（见下图），正对你的面（ABC）是红色，底面（BCD）是白色,右侧面（ACD）是蓝色，左侧面（ABD）是黄色，先让四面体绕底面面对你的棱向你翻转，再让依次重复上述操作过程。问：按规则完成第一百次操作后，面对你的面是什么颜色？ 黄 A
B 红 蓝 D
C 白
6、自然数按从小到大的顺序排成螺旋形，在2处拐第一个弯，在3处拐第二个弯，在5处拐第三个弯„„问拐第二十个弯的地方是什么数？ 21201918227623812492251027112854312132617161514 7、（1）下图中的（a）（b）（c）（d）为四个平面图。
(a)(b)(c)(d)
数一数，每个平面图各有多少个顶点？多少个边？它们分别围成了多少个区域？请将结果填入下表（按填好的样子做）。 图形 a b c d 顶点数 边数 区域数
（2）观察上表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？
8、如图，将边长为1的正方形二等分，再将正方形的一半二等分，又将这一半的一半二等分，这样继续下去，展开你想象的翅膀，从这个过程中你能得到一些什么样的结论？
9、四个小动物换座位，一开始，小鼠坐在第一号位子，小猴坐在第二号位子，小兔坐在第三号位子，小猫坐在第四号位子，以后它们不停地交换位子：第一次上下两排交换，第二次是在第一次交换后再左右两排交换，第三次再上下两排交换，第四次再左右两排交换，„„这样一直交换下去。问：第十次交换位子后，4号座位上坐的是什么小动物？
鼠 猴 兔 猫 猫 兔 1 2 1 2 1 2
3 4 3 4 3 4
兔 猫 鼠 猴 猴 鼠
10、一列数，前3个是1，9，9，以后每个都是它前面相邻3个数字之和除以3所得的余数，求：这列数中的第1999个数是几？
…
11、伸出你的左手，从大拇指开始如图所示的那样数数字1，2，3，„。问数到1991时，你数在哪个手指上？
12、有20个数排列成一列：1，1，2，3，„4181，6765。从第三个数开始，每个数都是它前两个数的和。问：这列数中的第17个数是多少？
13、开始有三个数为1，1，1，每次操作把其中的一个数换成其他两个数的和。问经过10次操作后所得的三个数中，最大数的最大可能值是多少？
14、将100以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下五项工作叫做一次操作： ①将左边第一个数码移到数字串的最右边； ②从左到右两位一节组成若干个两位数； ③划去这些两位数中的合数；
④所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去； ⑤所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串。 问：经过1997次操作，所得到的数字串是什么？
15、有一列数：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，„它的规律是：前两个数分别是1，第3个数等于第1个和第2个数之和：1+1=2；第4个数等于第2个与第3个数之和；1+2=3；第5个数等于第3个与第4个数之和：2+3=5,；第6个数等于第4个数与第5个数之和：3+5=8；„。依次类推。问这列数中的第2005个数被7除的余数是几？
16、将自然数按如下顺序排列：
1 2 6 7 15 16„ 3 5 8 14 17„ 4 9 13„ 10 12„ 11„
在这样的排列下，数字3排在第二行第一列，13排在第三行第三列，问：1993排在第几行第几列？
17、有一列数：1,1989,1988,1,1987，„从第三个数起，每一个数都是它前面紧邻的两个数以大减小所得的差。试确定数列中从左面第一个数数起的第2006个数。 18、华罗庚数学小组的同学们在图书馆发现一块古代锲形文字泥板的图片，猜猜该文字泥板表示的是什么？
三、逻辑与证明 1、有人说：“任何七个连续整数中一定有质数”。请举一个例子说明这句话是错的。
2、你能在3×3的方格中填入彼此不同的9个自然数（每个格子里只填一个数），使得每行、每列及两条对角线上三个数的乘积都等于2005吗？若能，请填出一例，若不能，请说明理由。
3、在下图中，线段AB、BC、CD的长度相同。已知图中所有线段的长度之和为45.问：线段AD的长度能否是整数？请说明理由。
D C A B
4、将一条直线黑、白二染色，证明：必存在同色的三个点，使得其中一点事另两点为端点的线段的中点。
5、你能用写有数字的卡片2，3，4，5，6，7，8，9排成两个自然数，使得其中的一个数是另一个数的2倍吗？如果能，请排出一例；如果不能，请说明理由。
6、某货站卸下了若干块汉白玉石料，其总重量为10吨。每块石料的重量不超过1吨。若只安排4辆载重3吨的卡车，能否确保将这些石料一次运走？请说明理由。
7、能否在下面的括号中填入加号或减号，使得下面的两个不等式都成立：
0＜1（ ）
11111（ ）（ ）（ ）„（ ）＜ 23419978、试说明具有奇数个约数的自然数一定是完全平方数。
9、下图中（甲）、（乙）是同一个正六面体的从两个不同方位拍的照片，它的各面上分别标有A，B，C，D，E，F六个字母。
问：看不见的各面上的字母是什么？
10、奶奶告诉小明：“2006年共有53个星期日”。聪明的小明立刻告诉奶奶：2007年的元旦一定是（ ）。
A、星期一 B、星期二 C、星期六 D、星期日
11、能将1，2，3，4，5，6，7，8，9填在3×3的方格表里，使得横向与竖向任意相邻两数之和都是质数吗？如果能，请给出一种填法；如果不能，请你说明理由。
12、甲、乙、丙、丁与小强五个同学一起比赛象棋，每两个人都要比赛一盘。最后结果是：甲共赛了4盘，乙共赛了3盘，丙共赛了2盘，丁共赛了1盘。问小强赛了几盘？
13、有一长为11厘米，宽为9厘米，高位7厘米的长方体木块，能否切割成77块长、宽都是3厘米，高是1厘米的长方体形状的积木块？说明理由。
14、下图是一个对称的图行，请说明黑色部分的面积和阴影部分的面积一样大。
15、有100个人，其中至少有一个人说假话，但任意两个人中总有一个说真话的。问：这100个人中说真话的有多少人？讲假话的有多少人？
16、张三说李四在撒谎，李四说王五在撒谎，王五说张三和李四都在说谎。问：张三、李四、王五三个人到底谁说的是谎话？
17、有很多方法能将2001写成25个非零自然数（可以相同，也可以不同）的和，对于每一种分法，这25个自然数均有相应的最大公约数。请说明这些最大公约数中的最大值是69.
18、由26=12+52=12+32+42，可以断定26最多能表示3个互不相等的非零自然数的平方和。请你判定360最多能表示为多少个互不相等的非零自然数的平方和？
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