高斯坐标正反算

正形投影的一般条件

基本出发点：在正形投影中，长度比与方向无关。

1、长度比的通用公式

如图4-42，在微分直角三角形P1P2P3及P1′P2′P3′中有：其中l=L-L0，L0通常是中央子午线的经度，L是P点的经度

dS2=MdBNcosBdl22

令：

ds2=dx2dy2 (1)

dx2dy2dsm22dSMdBNcosBdl22m平方可为：

dx2dy222MdB2NcosBdlNcosB (2)

为简化公式，令：

dqBMdBMdBq0NcosBNcosB (3)

q称为等量纬度，因为它只与纬度B有关。这样，式(2)可表示为：

m2dx2dy222r2dqdl (4)

我们投影的目的是：建立平面坐标xy和大地坐标BL之间的函数关系，由式(3)可知，即建立xy和bl的函数关系。令xxl,q yyl,q (5)

xxdxqdqldl对上式进行全微分可得：

dyyqdqyldl Ex22yqqFxxyyqlqlx2y2将上式代入式(1)中第二项，并令：Gll 可得：

ds2Edq22FdqdlGdl2 22m2Edq2FdqdlGdl则式(4)可写为： r2dq2dl2 2 柯西-黎曼条件

在上式引入方向，如图4-42所示：

cotAP2P3MPPdBdq13rdldl

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

即： dltanAdq (11)

将式(11)代入式(9)可得：注意secA1cosA

2m2Edq2FtanAdq2Gtan2Adq2r2dq2tan2Adq2E2FtanAGtan2Ar2sec2AEcos2A2FsinAcosAGsin2Ar2 要想让m和A无关，必须使F=0，E=G，即

xxyyqlql0x2222yqqxlyl 由上式第一式可得：

yyxlqlxq y2x22yly2x2qqqq代入第二式可得：

x2q 22消去公共项可得： x

qyl (12)

(13)

(14)

(16)

(15)

开方并代入式(13)的第一项：

xyqlxyql (17)

高斯投影坐标正算

高斯投影三条件：L0为直线；L0长度不变；正形投影

1、幂级数展开公式（x偶y奇）

l/ρ微小量(=206265)，可进行级数展开，可得：

24xm0m2lm4l35ym1lm3lm5l (18)

式中mi为待定系数，是q、B的函数。由第3个条件，分别对上式求偏导，可得：

xyqlxyql (19)

24m13m3l5m5l2m2l4m4l3dm0dm22dm44lldqdqdqdmdm1l3l3dqdq (20)

为使上式两边相等，必有l的同次幂的系数相等，即：

dm0m1dq1dm1m22dq1dm2m3 3dq (21)

由高斯投影的第二个条件可知，位于L0上的点投影后的纵轴坐标应该等于投影前从赤道至改点的子午线弧长，即在式(18)中，当l=0时，有：

xm0X (22)

MdBNcosB，可得：

顾及子午线弧长微分公式

MdXdB（P108 4-53）及式

dqdm0dm0dBdXNcosBNcosBdqdBdqdBM (23)

于是有：

ccosBV (24)

m1NcosBdm1其次求dq，类似的有：

cdcosBdm1dm1dBVdBdqdBdqdBdqcdcosBVccosBdVsinBcdBV2dBVdVdBd1e2cos2BdB12ecosBsinB1ecosBtanB1t222221ecosB22VV (25)

于是有：

dmdccosB1VqdBdBddqcc12ccosBV2cosBVtsinBVVcV3ccV32tcosBVsinBV2cosBcsinB2V2V3V2cosBccV3sinB1V2cosBVsinBcosB 于是：

mdm1212dq12cVsinBcosBN2sinBcosB 类似可求m3、m4等

关键是求X （P115 4-101）P111

(26)

(27)

高斯投影坐标反算

高斯投影三条件：x投影为中央子午线；x轴上投影长度不变；正形投影

1、幂级数展开公式（x偶y奇）

y/R微小量，可进行级数展开，可得：

Bn240n2yn4yln3n51yn3y5y 式中ni为待定系数，是纵坐标x的函数。反算必满足柯西-黎曼条件：

qlxylqxy MdB注意到：

dqNcosB，故上式可改写为：

BNcosBlxMyByNcosBdlMx 分别对式(28)求偏导，可得：

(28)

(29)

(30)

NcosBdn0dn22dn4424yyn3ny5ny135dxdxdxM2ny4ny3NcosBdn1ydn3y3dn5y524Mdxdxdx (31) 类似的，要使等式成立，必有：

Mdn0n1NcosBdxn1NcosBdn122Mdxdn2Mn33NcosBdx (32)

确定上式各系数，关键是确定n0。由高斯投影的第二个条件可知，当y=0，x=X，此时对应的F点成为底点，对应的纬度称为底点纬度。用

Bf表示。且有：

Bn0Bf (33)

式(32)中所有系数可以看成是底点纬度应冠以下标f，以标明是用底点纬度

BfBf的函数。因此，用X代替x，则各阶导数值

计算的导数值。

因此可得：

dn0dBfdxdX (34)

顾及

dXMfdBf，可得：

dBfdX1Mf (35)

因此：

类似的可计算n2，n3，。。。。注意：

关键是求

Bf P115

nMfdBf1NfcosBfdXMf1NfcosBfMf1NfcosBf dfBfdfBfdXdBdBffdX (36)

(37)