复变函数共轭可微的又一充要条件及应用

维普资讯 http://www.cqvip.com ２００８年５月　吉林师范大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｍａｌ　ｏｆ　Ｊｉｌｉｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　№．２　第２期　Ｍａｙ　２００８　复变函数共轭可微的又一充要条件及应用　王海英　（安顺学院数学系，贵州安顺５６１０００）　摘　要：给出了复形式的复变函数的共轭可微性充要条件的证明及其重要应用．　关键词：共轭可导；共轭可微；共轭解析条件　中图分类号：Ｏ１７４　５　文献标识码：Ａ　文章编号：１０００－１８４０－（２００８）０２—００８２—２　０复变函数起源于１９世纪，起初它研究的中心对　充要条件给出了如下的定理．　象是解析函数．１９８８年，王见定提出了共轭解析函　引理１　２设函数厂（：）＝ｕ（　，Ｙ）＋ｉｖ（　，Ｙ）在　数概念，这是一类和解析函数对称的函数，它的出现　区域Ｄ内有定义，则函数厂（ｚ）在点ｚ＝　＋ｉｙ∈Ｄ共　．使复变函数达到对称完美．共轭解析函数可以用来　轭可微的充要条件是：　解决解析函数所能解决的所有问题，并且比解析函　数更直观方便．复变函数共轭解析的前提是函数共　显得尤为重要．那么可否根据研究复变函数可微的　方法去研究复变函数共轭可微的性质呢？文献［１］　中以习题的形式给出了复变函数的形式导数，杜应　雪等在文献［２］中证明了形式导数是复变函数可微　（１）￣－元函数ｕ（ｘ，Ｙ），”（　，ｙ）在点（　，），）可微；　（２）ｕ（　，Ｙ），”（　，Ｙ）在点（　，Ｙ）满足共轭解析　３ｕ一　轭可微，因而研究复变函数共轭可微的充要条件就　条件：　３ｕ＝，　＝　．　．　而对于自变量以极坐标形式给出的复变函数在一　点的共轭可微性，仝泽柱等在文献［４］中也进行了讨论，　并对函数共轭可微的充要条件给出了如下的定理．　引理１．３设函数ｆ（ｚ）＝ｕ（ｒ，０）在区域Ｄ内　的充要条件之一．为此，本文就从复变函数的复形式　有定义，则函数厂（ｚ）在点ｚ：ｒｅ　（ｒ＞Ｏ）共轭可微的　出发，研究其共轭可微的充要条件．　充要条件是：　．１　引言　王见定在文献［３］中给出了共轭导数的概念，让　我们认识了共轭可微函数　定义１．１　设函数　＝厂（ｚ）在区域Ｄ内有定　义，给自变量ｚ∈Ｄ以增量　＝　数　＝厂（ｚ）的增量：　＝　ｚ＋　）一　ｚ）　（１）二元函数ｕ（ｒ，０），”（ｒ，口）在点（ｒ，０）可微；　（２）ｕ（ｒ，０），”（ｒ，０）在点（ｒ，　）满足极坐标的共　轭解析条件：　３ｕ＝ｏｒ　ｒ｛　，　ｏ珏ｏ　＝｛　．ｒ　ｒ　ｏ珏　　一如果是复函数形式，则需要代人变成代数形式　＋ｋＳｙ（ｚ：　＋　后再讨论，相对有点麻烦，下面就从复变函数的复形　ｉｙ），使（ｚ＋　）∈Ｄ，并计算由于自变量所引起的函　式出发，研究其共轭可微的充要条件．　２主要结果　可设复变函数ｆ（ｚ）＝Ｕ（　，Ｙ）＋ｉｖ（　，Ｙ），且　ｕ（　，Ｙ）和（　，Ｙ）都有偏导数，下面引进复变数：＝　＋ｉｙ，　＝　—　ｙ，贝０　＝如果　按任意方式趋于零时比值　的极限存　／＿ＸＺ　在，其值有限，则称此极限为函数　＝厂（：）在点　的　共轭导数，记为厂。（ｚ）：　ｆｏ（ｚ）＿ｌｉｍ　删吉（ｚ＋　），ｙ＝　（ｚ一　）　，于是　这时称函数　＝ｆｌｚ）于　点共轭可导或共轭可微．　王见定对自变量以代数形式给出的复变函数在　一Ｙ）＝ｕ（　，Ｙ）＋ｉｖ（　，Ｙ）　点的共轭可微性进行了讨论，对函数共轭可微的　＝ｕ（　，　）＋面（半，　）　收稿日期１２００８－０４－０２　第一作者简介：王海英（￣９８２－），女，河南南阳人，安顺学院数学系教师，研究生．研究方向：主要从事非线性泛函分析研究　一８２—　维普资讯 http://www.cqvip.com

这里形式地把ｆ（　，），）考虑成ｚ与三的函数，而把ｚ　与ｚ－视为独立的自变量．因此厂（ｚ）可以对自变量ｚ　（２）厂（ｚ）在ｚ点满足　＝０．　由于二元函数的可微性可以通过偏导数连续判　断出来，因而很容易得到下面的结论：　与三求导数．根据复合函数求偏导数的法则，则可形　式地得到　推论２．２设函数厂（ｚ）＝Ｍ（　，Ｙ）＋／ｖ（　，），）在　｛１　ａ厂　ａ－一Ｏ　ｕｚ￡　．　ａ０　７ｚＪ　ｔ５７　ａ　十ａ　㈩　（１）　区域Ｄ内有定义，则函数厂（ｚ）在点ｚ＝　＋　∈Ｄ共　．轭可微的充要条件是：　（１）二元函数Ｍ（　，Ｙ），　（　，Ｙ）的偏导数　，Ｍ　，　因为　，　在点（　，），）连续；　，　ｆ　Ｌ１　　３ｖ　３　ｖ３ｘ注２．３（１）式在作为极限定义时并没有什么　３ｚ一３ｘ　３ｚ十３ｙ３ｚ　．＝　Ｉ３　ｖ　ａ，，　。。　（２）．厂（ｚ）在ｚ点满足　＝０．方便之处，但我们仍然可以把它们作为对于ｚ与三　ｆ３ｘ一　一上　的形式导数．这里值得一提的是，实际上ｚ与三并不　㈤　是独立变量，因为它们是互相共轭的．也就是说，一　【ａ　ａ　主一　２ｉ　个共轭可微函数与ｚ无关，而是三的独立函数．这也　将（２）、（３）代人（１）得　就是我们把一个共轭可微函数看作确实是一复数的　函数，而不称之为两个实变数的复值函数的理由．同　３ｖ３ｚ＝　【（　＋　）－ｉ（一　…）】　（４）　时共轭可微条件的这一表示形式也是有趣的，简便　由引理１．１知，厂（ｚ）在点ｚ共轭可微的充要条件是Ｍ　的，它使共轭可微函数的本质格外突出．　（　，Ｙ）和　（　，），）在点ｚ可微且满足共轭解析条件　应用定理３和推论可以简便地去判断函数的共　轭可微性．　＝一　一　。　＝　（５））　　３定理应用　将（５）代人（４）得　例判断下列函数的共轭可微性．　：０　（１）．厂（ｚ）＝　（２）＾（ｚ）＝Ｉ　ｚ　Ｉ　反之，如果　＝ｏ，则共轭可微条件成立，故有　解：（１）由于　＝ｏ，所以厂（ｚ）＝　在整个复平面　以下结论：　内都共轭可微．　定理２．１设函数厂（ｚ）＝Ｍ（　，Ｙ）＋／ｖ（　，），）在　（２）由于＾（ｚ）＝Ｉ　ｚ　Ｉ　＝ｚ　，所以　：　，显然，　区域Ｄ内有定义，则函数厂（ｚ）在点ｚ＝　＋／ｙ∈Ｄ共　轭可微的充要条件是：　只有在ｚ：０处　＝ｏ，其它点处均不可能为零，所　（１）二元函数Ｍ（　，Ｙ），　（　，），）在点（　，），）可微；　以＾（ｚ）：Ｉ　ｚ１　只在ｚ＝０共轭可微．　参考文献　［１］钟玉泉．复变函数论（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社．２Ｏ０４．　［２］杜应雪，许小艳．复变函数的可导性与解析性［Ｊ］．中国科技信息，２ＯＯ６，（１３）：２７２—２７４．　［３］王见定．半解析函数共轭解析函数［Ｍ］．北京：北京工业大学出版社，１９８８．　［４］仝泽柱，娄正凯．复变函数共轭解析的充要条件［Ｊ］．徐州工程学院学报．２０Ｏ６，（３）：９７—１００　Ｎｅｃｅｓｓａｒｙ　ａｎｄ　Ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ　Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｃｏｎｊｕｇａｔｅ　Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｂｌｅ　Ｃｏｍｐｌｅｘ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ＷＡＮＣ　Ｈａｉ－ｙｉｎｇ　（Ｄｅｐａ￣ｎｅｎｔ　ｏｆ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ａｎｓｈｕｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ａｎｓｈｕｎ　５６１０００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ　ａｒｔｉｃｌｅ　ｗａｓ　ｔｏ　ｏｆｆｅｒ　ｎｅｃｅｓｓａｒｙ　ａｎｄ　ｓｕｆｉｆｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ａｎｄ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｃｏｎｊｕｇａｔｅ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｂｌｅ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｉｎ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｓｙｓｔｅｍ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｃｏｎｊｕｇａｔｅ　ｄｅｒｉｖａｂｌｅ；ｃｏｎｊｕｇａｔｅ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｂａｌｅ；ｃｏｎｊｕｇａｔｅ　ａｎａｌｙｔｉｃ　ｃｏｎｄｉｉｔｏｎ　一８３—