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两个集合的容斥关系公式A∪B=A+B-A∩B

2023-09-02 来源:好走旅游网


两个集合的容斥关系公式:A∪B = A+B - A∩B

三个集合的容斥关系公式:A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C

1. 电视台向100人调查前一天收看电视的情况,有62人看过2频道,34人看过8频道,11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人?(答案为15)

2. 100-(62+34-11)=15

3. 2.某班参加体育活动的学生有25人,参加音乐活动的有26人,参加美术活动的有24人,同时参加体、音活动的有16人,同时参加音美活动的有15人,同时参加美体活动的有14人,三个组织都参加的有5人,这个班共有多少名学生参加活动。(答案为35)

4. 25+26+24-16-15-14+5=35

5. 3. 某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组,参加美术小组有20人,参加音乐小组有24人,参加手工小组有31人,同时参加美术和音乐两个小组有5人,同时参加音乐和手工两个小组有6人,同时参加美术和手工两个小组的有7人,三个小组都参加的有3人,这个年级参加课外小组的同学共有多少人?(答案为60)

6. 20+24+31-5-6-7+3=60

7. 4.有128位旅客,其中25人既不懂英语、又不懂法语,有98人懂英语,75人懂法语,请问:既懂英语、又懂法语的有多少人?(答案为70)

8. 98+75+25-128=70

9. 5.70名学生参加体育比赛,短跑得奖的有31人,弹跳得奖的有29人,投掷得奖的有36人。短跑与投掷两项均得奖的有12人,三项都得奖的有5人,只得弹跳奖的有7人,只得投掷讲的有15,问只得短跑奖的有多少人?没得奖的有多少人?

10. 投掷与弹跳36-15-12+5=14

11. 弹跳与短跑29-7-14+5=13

12. 只得短跑奖31-12-13+5=11

13. 70-(31+29+36-12-14-13+5)=8

容斥原理是近年中央国家公务员考试的一个难点,很多考生都觉得无从下手!其难点在于:

1、理清题目的意思有点困难;

2、明白各部分间包含关系难;

3、计算容易出错!

一般来说解决问题2类:

1、公式法:

两个集合:|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣

三个集合:|A∪B∪C|=∣A∣+∣B∣+|C|-∣A∩B∣-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|

2、文氏图法:用图形表示结合关系,更加形象直观(推荐!)

【例题分析】

在一次数学竞赛中甲答错题目总数的1/9,乙答对7道题,两人都对的题目是题目总数的1/6,问:甲答对了多少道题?

解:设共有k道题.a、b、c、d如下图所示:

图1

依题意列方程:

b+d=k/9

c+b=7

c=k/6

a+b+c+d=k

根据图我们可以看出a+c即为所求

所以a+c=k-(b+d)=k-k/9

这里就需要讨论一下了,K必须是9的倍数

注意a、b、c、d均为自然数或零,可解出k=36.

∴甲答对的题目数=a+c=k-(b+d)=k-k/9 =32道.

(此题用图形来解释,既易懂,又不容易出错!07年国考的容斥原理题就和这个类似)

2005年中央A类真题

对某单位的100名员工进行调查,结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛,38人喜欢看戏剧,52人喜欢看电影,既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人,既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人,三种都喜欢看的有12人,则只喜欢看电影的有:

A.22人 B.28人 C.30人 D.36人

解析:设A=喜欢看球赛的人(58),B=喜欢看戏剧的人(38),C=喜欢看电影的人(52)

A∩B=既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人(18)

B∩C=既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人(16)

A∩B∩C=三种都喜欢看的人(12)

A∪B∪C=看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种(100)

根据公式:A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C

C∩A=A+B+C-(A∪B∪C+A∩B+B∩C-A∩B∩C)

=148-(100+18+16-12)=26

所以,只喜欢看电影的人=C-B∩C-C∩A+A∩B∩C

=52-16-26+12

=22

这种题目关键要理清楚内在的包含关系,画出文氏图,再加上多多练习成功就再眼前。

一些练笔的题:

1、有25人参加跳远达标赛,每人跳三次,每人至少有一次达到优秀。第一次达到优秀的有10人,第二次达到优秀的有13人,第三次达到优秀的有15人,三次都达到优秀

的只有1人。只有两次达到优秀的有多少人?

2、在一个炎热的夏日,几个小朋友去冷饮店,每人至少要了一样冷饮,其中有6人要了冰棍,6人要了汽水,4人要了雪碧,只要冰棍和汽水的有3人,只要冰棍和雪碧的没有,只要汽水和雪碧的有1人;三样都要的有1人。问:共有几个小朋友去了冷饮店?

3、某研究室有12人,其中:7人会英语,7人会德语,6人会法语,4人既会英语又会德语,3人既会英语又会法语,2人既会德语又会法语,1人英语、德语、法语三种语言都会。会且只会两种语言的有多少人?

4、小明和小强参加同一次考试,如果小明答对的题目占题目总数的3 / 4 .小强答对了27 道题,他们两人都答对的题目占题目总数的2 / 3 ,那么两人都没有答对的题目共有几道?

5、某班有35个学生,每个学生至少参加一个辅导小组。现已知参加英语小组的有17人,参加语文小组的有30人,参加数学小组的有13人。如果有5个学生参加了全部3个小组。问有多少个学生只参加了一个小组?

好多原题,但有点代表性!

KEYS:1. 11人;2. 10人;3. 6人;4. 6道;5. 15人

解析来鸟。。

1、“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。要求只有两次达到优秀的人数,就是求重叠两层的部分(图中阴影部分)。

图2

10+13+15-25-1×2=11

2、根据题意画图。

图3

6+6+4-(3+1)-(0-1)+(1+1)+1=10

3、一个图解决:

图4

4、画出了文氏图就成功一半了。

另外个方法:设考试一共X题,两人都做错的又Y题,则:

3/4x+27-2/3x=x-y

化简得:y=11/12x-27

很显然x是12的倍数,当x=36,y=6时满足题意。

5、依照公式

17+13+30-35-5×2=15

很多人都不理解式子是怎么来的,其实很简单,当你画图之后就会理清关系。要我用字打出来关键我也不知道怎么个表达好。还是推荐大家画图。。。

某校对五年级100名同学进行学习兴趣调查,结果有58人喜欢语文,有38人喜欢数学,有52人喜欢外语。而且喜欢语文和数学(但不喜欢外语)的有6人,喜欢数学和外语(但不喜欢语文)的有4人,三科都喜欢的有12人,而且每人至少喜欢一科。问有多少同学只

喜欢语文?( )

A. 27 B. 34 C. 14 D. 26

D~

58+38+52-6-4-12*2-X=100

X=14(同时喜欢语文和外语而不喜欢数学的人数)

58-6-12-14=26

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