排列组合中的分组问题

有关排列组合中的分组问题学生在做题时易混淆、易出错，下面我们通过几个例子辨析这类问题，总结归纳这种题型的解题规律和方法。

问题：1、有6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本，有几种分法？

2、有6本不同的书，平均分成三份，有几种分法？

3、有6本不同的书，分成三份，一份一本，一份两本，一份三本，有几种分法？ 4、有6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，其中有一人一本，一人两本，一人三本，有几种分法？

5、有6本不同的书，分给甲一本，乙两本，丙三本，有几种分法？

6、有5本不同的书，分成三份，一份3本，另外两份都1本，有几种分法？

7、有5本不同的书，分给甲、乙、丙三人，其中有一人3本，另外两人1本，有几种分法？

8、有5本不同的书，分给甲3本，乙1本，丙1本，有几种分法？

9、有5本不同的书，分成三份，其中一份1本，另外两份都2本，有几种分法？ 10、有5本不同的书，分给甲、乙、丙三人，其中有一人1本，另外两人2本，有几种分法？

11、有5本不同的书，分给甲1本，乙2本，丙2本，有几种分法？

2解析：问题1：分三步，第一步，从6本不同的书中任取两本给甲C6；第二步，从剩余的2224本中任取两本给乙C4；第三步，剩下的2本自然是丙的C2；所以有C6 C4C2种分法。

22问题2：与问题1的区别在于问题1三份给甲、乙、丙三人，这三份是有区别的，而

222C6C4C2问题2只是分成三份，这三份是没有区别的，所以有种分法。 3A3问题3：也是分成三份，但由于每份的本数不一样，所以三份是有区别的，因此有

123C6C5C3种分法。

1233问题4：把问题3中的三份分给甲、乙、丙三人，有C6C5C3A3种分法。

问题5：和问题3的分法种数是一样的，因为一本的那份只能给甲，两本的那份只能给乙，三本的那份只能给丙。

311C5C2C1问题6：把5本书分成三份，因为其中有两份是一样的，所以有种分法； 这2A2个问题我们也可以这样想，只要从5 本书中任取三本C5，剩下的2本自然就是两份，这样就把这5本书分成了三份，就是C5种分法。

问题7：问题6已经把5本书分成了三份，只要把这三份再分给甲、乙、丙三人即可，

33311C5C2C1333所以分法种数为A3或C5A3。 2A2问题8：这个问题和问题7的区别：在问题7中，不知谁分得3本，这个问题中明确

3了甲分得3本，所以可以先从5本中任取3 本给甲C5种，然后再从剩余的2 本中任取1131本给乙有C2种，剩余的1本自然就是丙的，因此分法种数为C5C2。

122C5C4C2问题9：和问题6类似，有种分法； 2A2122C5C4C23问题10：把问题9中的三份再分给甲、乙、丙三人即可，有A3种分法; 2A2122问题11：和问题8类似，有C5C4C2种分法。

规律总结：这类问题看似差不多，极易混淆。遇到这类分组问题时，按下面的步骤分析就比较容易辨析这类问题 问题2 不分流 完全平均分组 流向没指定 问题1 （每组的元素数目都一样） 分流 流向指定 不分流 问题6.9 不完全平均分组 分组问题（部分组的元素数目一样） 流向没指定 问题7.10 分流 问题8.11 流向指定 不分流 问题3 完全不平均分组 （各组元素数目都不一样） 流向没指定 问题4 分流 流向指定 问题5

说明：1、分在步辨析，第一步先分清是那种分组问题，如问题1、2是完全平均分组，问题6、7、9、10是不完全平均分组，问题3、4、5是完全不平均分组。第二步看分组后是不分流，如问题2、3、6、9、分组后不分流，其它的分组后分流。第三步对分流的看流向不没有指定，如问题4、7、10流向没有指定，问题5、8、11流向指定