2018年北大软微金服823考研专业课真题答案

1、一个人购买x,y,z三种商品，价格分别为Px,Py,Pz，可获得效用函数为

U(x,y,z)(xa)(yb)(zc)，此人收入满足mPxaPybPzc。 （1）解释一下a,b,c的经济含义； （2）为何可以假设1？

（3）在1的假设下，求最优消费量和间接效用函数； （4）间接效用函数是零次齐次还是一次齐次的？

解：（1）a,b,c分别表示该消费者给定的x,y,z的最低消费水平，假设该人的效用仅仅是由超过这一最低消费水平的x,y与z的数量来决定的，在这种情况下该消费者的效用函数可以表示为：U(x,y,z)(xa)(yb)(zc)。

（2）对每种商品消费者都必须购买一个最小购买量（a,b,c），结合这种思想就能得到广义的柯布道格拉斯效用函数U(x,y,z)(xa)(yb)(zc)，其中：

xa,yb,zc，并仍然可以假设1。

（3）该消费者的最优化问题为：

maxU(x,y,z)(xa)(yb)(zc)s.t.PxxPyyPzzm可以将其变形为：

maxU(x,y,z)(xa)(yb)(zc)s.t.Px(xa)Py(yb)Pz(zc)mPxaPybPcc

与柯布道格拉斯效用函数类似，我们引入“剩余收入”这一概念，即在购买最低数量的商品组合组合后剩余的购买力，那么需求就能从上述变形的最优化问题中得出，根据柯布道格拉斯效用函数的性质，可以解得最优数量分别为：

x(mPxaPybPzc)(mPxaPybPzc)(mPxaPybPzc),y,z ()Px()Py()Pz由于1，所以有：

x(mPxaPybPzc)Px,y(mPxaPybPzc)Py,z(mPxaPybPzc)Pz

分别将其代入到原效用函数，可以得到间接效用函数为： V(Px,Py,Pz,m)(mPxaPybPzc)aPx(mPxaPybPzc)(mPxaPybPzc)bcPyPz（4）间接效用函数是关于Px,Py,Pz,m的零次齐次函数，这是因为当价格和收入都上升t倍时，不会改变该消费者的最优消费数量，从而当价格和收入都上涨t时，间接效用并没有变化，即V(tPx,tPy,tPz,tm)V(Px,Py,Pz,m)。我们也可以通过上面的间接效用函数来验证：当Px,Py,Pz,m都上升t倍时，将tPx,tPy,tPz,tm代入上面的间接效用函数可得：

V(Px,Py,Pz,m)(mPxaPybPzc)(mPxaPybPzc)(mPxaPybPzc)abcPxPyPztPxV(tPx,tPy,tPz,tm)(tmtPxatPybtPzc)(tmtPxatPybtPzc)abtPy(tmtPxatPybtPzc)ctPz所以间接效用函数是零次齐次的。

3、利用博弈论，A和B两人玩一个游戏，规定分别从0-100中抽取一个数字，两数字之和若小于100，则两人分别得到他们所说数字对应的钱数；若大于100，则两人谁也得不到钱。

（1）用纳什理论解释其均衡点。 （2）还有其他的均衡点吗，并阐述。

解：（1）先讨论博弈方A的选择。根据问题的假设，如果博弈方B选择金额s2（0s2100），则博弈方1选择s1的利益为：

s1,s1100s2 u(s1)0,s1100s2如果我是两个博弈方中的一个，那么我会要求得到5000元。理由是在该博弈的无穷多个纯策略纳什均衡中，（5000，5000）既是比较公平和容易被双方接受的，也是容易被双方同时想到的一个，因此是一个聚点均衡。

（2）我们用反应函数来分析这个博弈。博弈方1采用s1100s2时，能实现自己的最大利益u(s1)s1100s2。因此s1100s2就是博弈方1的反应函数。 博弈方2与博弈方1的利益函数和策略选择是完全相似的，因此对博弈方1所选

择的任意金额s1，博弈方2的最优反应策略也就是反应函数是s2100s1。 显然，上述博弈方1的反应函数与博弈方2的反应函数是完全重合的，因此本博弈有无穷多个纳什均衡，所有满足该反应函数，也就是s1s2100的数组(s1,s2)都是本博弈的纯策略纳什均衡。

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