初中数学专题讲义-平面直角坐标系

初中数学专题讲义-平面直角坐标系

一、课标下复习指南 1．平面直角坐标系

平面内有公共原点并且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系．

在平面直角坐标系内，对于平面内任意一点，都有一对有序实数和它对应；反过来，对于任意一对有序实数，在坐标平面内都有一个确定的点和它对应． 2．各象限内点的坐标的符号特征

两条坐标轴把平面分成四部分，每一部分叫做一个象限，坐标轴上的点不属于任何象限． 若P(a，b)在第一象限，则a＞0，b＞0；若P(a，b)在第二象限，则a＜0，b＞0；若P(a，b)在第三象限，则a＜0，b＜0；若P(a，b)在第四象限，则a＞0，b＜0．反过来，也成立． 3．特殊点的坐标

(1)x轴上的点P纵坐标为0；y轴上的点Q横坐标为0，∴P点坐标可表示为P(x，0)，Q点坐标可表示为Q(0，y)．

(2)一、三象限角平分线上的点P的横、纵坐标相等，即点P的坐标可表示为P(x，x)；二、四象限角平分线上的点Q横、纵坐标互为相反数，即点Q的坐标可表示为Q(x，－x)；

(3)平行于x轴的直线上的点纵坐标相等；平行于y轴的直线上的点横坐标相等；

(4)关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于原点对称的点横坐标、纵坐标均互为相反数，即点P(x，y)关于x轴对称的点P1的坐标为P1(x，－y)，关于y轴对称的点P2的坐标为P2(－x，y)，关于原点对称的点P3的坐标为P3(－x，－y)． 4．距离

(1)点P(a，b)到x轴的距离为|b|，到y轴的距离为|a|，到原点的距离为a2b2. (2)若x轴上两点A(a，0)，B(b，0)，则AB＝|a－b|，若y轴上两点C(0，m)，D(0，n)，则CD＝|m－n|．

(3)平行于坐标轴的直线上两点间的距离

①平行于x轴的直线上两点间的距离为横坐标之差的绝对值； ②平行于y轴的直线上两点间的距离为纵坐标之差的绝对值．

(4)平面直角坐标系内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离为AB(x1x2)2(y1y2)2 (构造直角三角形，用勾股定理求)． 5．坐标方法的简单运用

(1)用坐标表示地理位置

物体的位置是相对的，描述一个物体所处的位置时，必须以某一个物体为参照物，来叙述它与参照物的方向和距离，建立坐标系是关键，用点的坐标表示位置是基本方法．

(2)用坐标表示平移

平面直角坐标系内，把一个图形各点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把一个图形各点的纵坐标都加(或减去)一个正数b，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移b个单位长度．

图形的平移问题可以通过点的平移来解决．

(3)掌握轴对称和中心对称的点的坐标之间的特点 6．数形结合思想是本单元解决问题的有效方法 二、例题分析

例1 已知点A(a，－5)，B(8，b)，根据下列要求确定a，b的值； (1)A，B两点关于y轴对称； (2)A，B两点关于原点对称； (3)AB∥x轴；

(4)A，B两点都在一、三象限的角平分线上．

解 (1)点A(a，－5)，B(8，b)两点关于y轴对称，则a＝－8且b＝－5． (2)点A(a，－5)，B(8，b)两点关于原点对称，则a＝－8且b＝5． (3)AB∥x轴，则a≠8且b＝－5．

(4)A，B两点都在一、三象限的角平分线上，则a＝－5且b＝8． 说明 运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键． 例2 已知点A的坐标为(－2，－1)．

(1)如果B为x轴上一点，且AB10，求B点的坐标；

(2)如果C为y轴上的一点，并且C到原点的距离为3，求线段AC的长； (3)如果D为函数y＝2x－1图象上一点，AD＝5，求D点的坐标．

解 (1)设B(x，0)，由勾股定理得AB＝(x2)2(01)210．解得x1＝－5，x2

＝1．经检验x1＝－5，x2＝1均为原方程的解．

∴B点的坐标为(－5，0)或(1，0)．

(2)设C(0，y)，∵OC＝3，∴C点的坐标为(0，3)或(0，－3)．

∴由勾股定理得AC(2)2(31)225；或AC22.

22(3)设D(x，2x－1)，AD5，由勾股定理得(x2)(2x11)5.解得x11，5x2＝－1．经检验，x11，x2＝－1均为原方程的解． 513∴D点的坐标为(,)或(－1，－3)．

55说明 由坐标求距离时，答案唯一；由距离求坐标时，注意分类讨论． 例3 已知某一函数图象如图6－1所示．

图6－1

(1)求自变量x的取值范围和函数y的取值范围； (2)求当x＝0时，y的对应值； (3)求当y＝0时，x的对应值； (4)当x为何值时，函数值最大； (5)当x为何值时，函数值最小；

(6)当y随x的增大而增大时，求x的取值范围；

(7)当y随x的增大而减小时，求x的取值范围．

解 (1)x的取值范围是－4≤x≤4，y的取值范围是－2≤y≤4； (2)当x＝0时，y＝3；

(3)当y＝0时，x＝－3或－1或4； (4)当x＝1时，y的最大值为4； (5)当x＝－2时，y的最小值为－2；

(6)当－2≤x≤1时，y随x的增大而增大；

(7)当－4≤x≤－2或1≤x≤4时，y随x的增大而减小． 说明 本题主要是培养学生的识图能力．

例4 如图6－2，△ABC中，A，B，C三点的坐标分别为A(－2，3)，B(－3，1)，C(－1，2)．

图6－2

(1)将△ABC向右平移4个单位长度，画出平移后的△A1B1C1； (2)画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；

(3)将△ABC绕原点O旋转180°，画出旋转后的△A3B3C3；

(4)在△A1B1C1、△A2B2C2、△A3B3C3中，△______与△______成轴对称，对称轴是 ______；△______与△______成中心对称，对称中心的坐标是______． 解 (1)、(2)、(3)图略；

(4)A2B2C2，A3B3C3，y轴，A3B3C3，A1B1C1，(2，0)．

说明 正确地进行图形的平移和旋转是关键，轴对称、对称轴、中心对称、对称中心是解题时用到的主要概念．

例5 如图6－3，△ABC的顶点坐标分别为A(－4，－3)，B(0，－3)，C(－2，1)，如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点，若设△ABC的面积为S1,△AB1C的面积为S2，则S1，S2的大小关系为( )

图6－3

A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定 解 选B．

说明 点B的平移是关键，平移后AB＝CB1，两个三角形等底等高． 三、课标下新题展示

例6 (1)如图6－4，在平面直角坐标系xOy中，B1(0，1)，B2(0，3)，B3(0，6)，B4(0，

10)，…，以B1B2为对角线作第一个正方形A1B1C1B2，以B2B3为对角线作第二个正方形A2B2C2B3，以B3B4为对角线作第三个正方形A3B3C3B4，……如果所作正方形的对角线 BnBn＋1都在y轴上，且BnBn＋1的长度依次增加1个单位，顶点An都在第一象限内(n≥1，且n为整数)，那么A1的纵坐标为______，用n的代数式表示An的纵坐标为______；

图6－4

(2)若设An的坐标为(x，y)，求y关于x的函数关系式． (n1)2解 (1)2,．

2(2)A1的横坐标等于A2的横坐标等于A3的横坐标等于A4的横坐标等于……

B1B22， 22B2B33， 22B3B44， 22B4B55， 22BnBn1n1(n1)2 ∴An的横坐标等于，纵坐标等于222n1n12∵x,y,

22∴n＋1＝2x，代入消去n＋1，得y＝2x2．

∴y关于x的解析式为y＝2x2，说明点A1，A2，A3，A4，…，An都在抛物线y＝2x2上． 如图6－5所示．

图6－5

四、课标考试达标题

(一)选择题

1．若点P(m，1)在第二象限内，则点Q(－m，0)在( )． A．x轴正半轴上 B．x轴负半轴上 C．y轴正半轴上 D．y轴负半轴上 2．若点P(2m－1，3)在第二象限，则m的取值范围是( )． A．mC．m1 2 B．m1 211 D．m 223．对任意实数x，点P(x，x2－2x)一定不在( )． ．．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．如图6－6，小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用(－40，－30)表示，那么(10，20)表示的位置是( )．

图6－6

A．点A B．点B C．点C D．点D

5．在平面直角坐标系中，若点A、点B的坐标分别为A(1，2)，B(－1，2)，则点A与点B的关系是( )． A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称

D．将点A向x轴负方向平移一个单位得点B

6．如图6－7，矩形ABCD的中心为O，将直角三角板的直角顶点与O点重合，转动三角板使两直角边始终与BC，AB相交，交点分别为M，N．若AB＝4，AD＝6，OM＝x，ON＝y，则y与x的关系是( )．

图6－7

A．y2x 3

B．yD．y6 x3x 2C．y＝x (二)填空题

7．若m为整数，且点(12－4m，14－3m)在第二象限，则m2＋2009＝______．

8．在直角坐标系xOy中，若点P(4，y)在第一象限内，且OP与x轴正半轴的夹角为60°，则y的值是______．

9．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有______个．

10．在平面直角坐标系中，有A(0，1)，B(－1，0)，C(1，0)三点．若点D与A，B，C三点

构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标：________________；并写出以所有符合条件的点D为顶点的多边形的面积______． (三)解答题

11．如图6－8，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10，0)，点B的坐标为(8，0)，点C，

D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形．求点C的坐标．

图6－8

12．已知点M(x，y)在第三象限，它到两坐标轴的距离之和为5，它到x轴的距离比到y轴

的距离大3，求点M的坐标．

13．已知△ABC的三个顶点坐标如下表： (x，y) A(2，1) B(4，3) C(5，1) (2x，2y) A′(4，2) B′( ， ) C′( ， )

(1)将下表补充完整，并在直角坐标系中，画出△A＇B＇C＇： (2)观察△ABC与△A＇B′C＇，写出有关这两个三角形关系的一个正确结论．

参考答案

平面直角坐标系

1．A． 2．C． 3．C． 4．B． 5．B． 6．D． 7．2025． 8．43. 9．8．

10．点D的坐标(2，1)，(－2，1)，(0，－1)，

SD1D2D311D1D2AD3424. 2211．C(1，3)． 12．M(－1，－4)．

13．(1)

(x，y) A(2，1) B(4，3) C(5，1) (2x，2y) A′(4，2) B′(8，6) C′(10，2) (2)写出有关两三角形形状、大小、位置等关系即可．如△ABC∽△A′B′C′、周长比、相似比、位似比相等．