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练案78

2024-06-14 来源:好走旅游网
练案[78] 第六讲 几何概型

A组基础巩固

一、选择题

1.(2018·湖北武汉调研)在两根相距6 m的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,则灯与两端距离都大于2 m的概率为导学号 58535212( B )

1A.

21C.

4

1B.

31D.

6

21

[解析] 记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A,则P(A)==.故选B.

63[解法总结] 以线段长度为度量的几何概型概率计算公式为 PA=,

试验的全部结果对应的线段长

2.(2017·宝鸡市高三一检)(数学文化题)欧阳修《卖油翁》中写道:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿”.卖油翁的技艺让人叹为观止.设铜钱是直径为4 cm的圆,它中间有边长为1 cm的正方形孔.若随机向铜钱上滴一滴油,则油滴(不计油滴的大小)正好落入孔中的概率为导学号 58535213( A )

1A.

4π1C.

16π

1B.

41D.

16

事件A对应的线段长

121

[解析] 依题意得,所求的概率为,选A. 2=π×24π

3.(2017·湖南长沙四县3月联考,4)如图,在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器,圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切,圆锥的顶点在鱼缸的缸底上,现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食,则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是导学号 58535214( A )

πA.1-

4

πB.

12

πC.

D.1- 12

[分析] 由题意,直接看鱼缸顶部,求得正方形的面积为4,圆的面积为π,进而利用几何概型和对立事件求解.

[解析] 鱼缸底面正方形的面积为22=4,圆锥底面圆的面积为π.所在“鱼食能被鱼缸π

内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1-,故选A.

4

[易错警示] 该题是一个面积型的几何概型问题,而非体积型.

4.(2018·河北省定州市第二中学第一次月考数学试题)一个路口的红绿灯红灯时间是30秒,黄灯时间是5秒,绿灯时间是40秒,当你到达路口时遇到概率最大的情况是导学号 58535215( C )

A.红灯 C.绿灯

[解析] 遇到红灯的概率为:P=

30

B.黄灯 D.不能确定

30+5+40

5

遇到黄灯的概率为:P=,

30+5+4040

遇到绿灯的概率为:P=.

30+5+40

所以当你到达路口时遇到概率最大的情况是绿灯.故选C.

5.(2017·吉林省长春市高三监测)如图,扇形AOB的圆心角为120°,点P在弦AB上,1

且AP=AB,延长OP交弧AB于点C,现向扇形AOB内投一点,则该点落在扇形AOC内

3的概率为导学号 58535216( A )

1A.

42C.

7

1B.

33D.

8

[解析] 设OA=3,则AB=33,AP=3,由余弦定理可求得OP=3,∠AOP=30°,3π

413π

所以扇形AOC的面积为,扇形AOB的面积为3π,从而所求概率为=.

43π4

6.(2018·四川凉山模拟)如图,正方形的边长为2,其中有一块阴影区域,向正方形中2

随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为,则阴影区域的面积为导学号 58535217

3( B )

4A.

32C.

3

8B.

3D.无法计算

S阴影228

[解析] 由几何概型知,=,所以S阴影=×22=.故选B.

33S正方形3

[解法总结] 以面积为度量的几何概型概率计算公式为PA=.解此类问题的主要步骤:列出条件组,画出图形,计

整个试验的全部结果构成区域的面积算面积,再求概率.

7.(2018·九江模拟)有一个底面圆的半径为1,高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为导学号 58535218( C )

1A.

32C.

3

3B.

21D.

2

事件A构成区域的面积

[解析] 先求点P到点O的距离小于或等于1的概率,圆柱的体积V圆柱=π×12×2=2π,以O为球心,1为半径且在圆柱内部的半球的体积V

半球=

142

×π×13=π,则点P到点O233

2

π3112

的距离小于或等于1的概率为=,故点P到点O的距离大于1的概率为1-=,故选2π333C.

x+y-8.若在区域x-y+

y≥0,

2≤0,2≥0,

内任取一点P,则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率

为导学号 58535219( D )

πA.

2πC.

6

πB.

8πD.

4

S半圆

π2

π

[解析] 区域为△ABC内部(含边界),则概率为P===,故选D.

S△ABC1×22×24

2

二、填空题

9.(2018·重庆一中期中)在[-2,3]上随机取一个数x,则(x+1)(x-3)≤0的概率为____.导学号 58535220

4[解析] 由(x+1)(x-3)≤0,得-1≤x≤3.由几何概型得所求概率为.

5

1

10.已知正棱锥S-ABC的底面边长为4,高为3,在正棱锥内任取一点P,使得VP-ABC<

27VS-ABC的概率是____.导学号 58535221

81

[解析] 由题意知,当点P在三棱锥的中截面以下时,满足VP-ABC2

45

大三棱锥的体积-小三棱锥的体积117

故使得VP-ABC228大三棱锥的体积11.一只昆虫在边长分别为5,12,13的三角形区域内随机爬行,则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为__

π__.导学号 58535222 1512

[解析] 本题考查几何概率的计算,如图所示,该三角形为直角三角形,其面积为12ππ

×5×12=30,阴影部分的面积为×π×22=2π,所以其概率为=.

23015

三、解答题

12.(2018·上饶模拟)如图,在边长为1的正六边形ABCDEF中,其中心为点O. 导学号 58535223

1→→

(1)在正六边形ABCDEF的边上任取一点P,求满足OP在OE上的投影大于的概率;

2(2)从A,B,C,D,E,F这六个点中随机选取两个点,记这两个点之间的距离为x,求x大于等于3的概率。

1→→→→→→→→

[解析] (1)因为OD在OE上的投影为|OD|cos〈OD,OE〉=|OF|cos〈OF,OE〉=,∴

21→→→→

P在线段FE(除点F)和线段ED(除点D)上运动时,OP在OE上的投影大于,∴OP在OE上的

2121

投影大于的概率P==.

263

(2)结合图形可知只要选取的两个点不是相邻的,那么这两点的距离一定是大于等于3.六个点中随机选取两个点,总共有15种:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A.F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),

∴P(x≥3)=

93

=. 155

13.(2018·潍坊模拟)已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个.若从袋子中随机抽取1个小球,取到标号1

为2的小球的概率是.导学号 58535224

2

(1)求n的值;

(2)从袋子中不放回地随机抽取2个球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.

①记“2≤a+b≤3”为事件A,求事件A的概率;

②在区间[0,2]内任取2个实数x,y,求事件“x2+y2>(a-b)2恒成立”的概率. [解析] (1)由题意共有小球n+2个,标号为2的小球n个.从袋子中随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率是

1

=.解得n=2; n+22n

(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的8

小球标号为b,共有12种结果,满足“2≤a+b≤3”为事件A共有8种结果,故P(A)==

122; 3

②由①可知(a-b)2≤4,故x2+y2>4,(x,y)可以看成平面中点的坐标,则全部结果构成14-π·22

4

的区域Ω={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2,x,y∈R},由几何概型可得概率为:P==1-

4π. 4

B组能力提升

1.(2018·湖南长沙联考)点P在边长为1的正方形ABCD内运动,则动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为导学号 58535225( C )

1A.

4πC.

4

1B.

2D.π

[解析] 由题意可知,当动点P位于扇形ABD内时,动点P到定点A的距离|PA|<1,π

根据几何概型可知,动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为=.故选C.

S正方形ABCD4

S扇形ABD

S

2.在面积为S的△ABC内部任取一点P,则△PBC面积大于的概率为

4导学号 58535226( D )

1A.

4

3B.

4

4C.

9[解析]

9D.

16

33

设AB、AC上分别有点D、E满足AD=AB且AE=AC,则△ADE∽△ABC,DE∥BC且

4433

DE=BC.∵点A到DE的距离等于点A到BC的距离的,∴DE到BC的距离等于△ABC高的

441

.当动点P在△ADE内时,P到BC的距离大于DE到BC的距离,∴当P在△ADE内部运动4

S△ADE329S

时,△PBC的面积大于,∴所求概率为=()=,故选D.

416S△ABC4

3.如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA、OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是导学号 58535227( A )

2

A.1-

π2C.

π

11B.- 2π1D.

π

[解析] 设分别以OA,OB为直径的两个半圆交于点C,OA的中点为D,如图,连接OC,DC.

不妨令OA=OB=2, 则OD=DA=DC=1.

π1π1

则以OA为直径的半圆中,空白部分面积S1=+×1×1-(-×1×1)=1,

4242

所以整体图形中空白部分面积S2=2. 1

又因为S扇形OAB=×π×22=π,

4所以阴影部分面积为S3=π-2. π-22

所以P==1-.

ππ

4.(2018·广州调研)在边长为2的正方形ABCD内部任取一点M,则满足∠AMB>90°的π概率为____.导学号 58535228

8[解析] 如图,如果M点位于以AB为直径的半圆内部,则∠AMB>90°,否则,M点位1

×π×122π

于半圆上及空白部分,则∠AMB≤90°,所以∠AMB>90°的概率P==. 228

5.(2018·潍坊模拟)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下:导学号 58535229

甲商场:顾客转动如图所示圆盘,当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形,且每个扇形圆心角均为15°,边界忽略不计)即为中奖.

乙商场:从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分),如果摸到的是2个红球,即为中奖,

问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大? [答案] 在乙商场中奖的可能性大

[解析] 如果顾客去甲商场,试验的全部结果构成的区域为圆盘,面积为πR2(R为圆盘4×15πR2πR2

的半径),阴影区域的面积为=.

3606

πR2

61

所以,在甲商场中奖的概率为P1=2=.

πR6

如果顾客去乙商场,记盒子中3个白球为a1,a2,a3,3个红球为b1,b2,b3,记(x,y)为一次摸球的结果,则一切可能的结果有:( a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a3,b1),(a3,b2),(a3,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,

12

b3),共15种,(或C6=15种)

摸到的2个球都是红球有(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)共(或C23=3)3种,所以在乙商场31

中奖的概率为P2==.由于P1155

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