π的高精度计算的算法

文Ｉ化ｌ教Ｊ育　科　高喜凤：　的高精度计算的算法　杨德彬　（１、哈尔滨工业大学华德应用技术学院基础教学部数学组，黑龙江哈尔滨１５００２５　２、黑龙江商业职业学院，黑龙江牡丹江　１５７０１１）　ｎ　一　１二．＿摘要：主要介绍了圆周率叮ｒ的高精度计算的算法，利用数学公式进行Ｃ＋＋编程。计算盯的数学公式很多，这里采用的是高斯公式。对计算算　法进行详细的讲解，每一步在计算机中是怎样实现的，并把１Ｔ计算到小数点后１００００位。　关键词：圆周率；高精度；算法；计算公式　在计算机编程中，不管是什么语言，算　法很重要。我认为学习算法是一个程序员想成　ｌｏｒ（ｉ＝０；ｉ＜ｎ；ｉ＋＋）　ｆ　，最后所得的和越小，那么这个公式越　ｆｇｐ　Ｘｉ＝Ｘ［ｉ］＋ｃａｒｒｙ　Ｂ；　为高手的必经之路。　“算法是灵魂”这句话我　有效精度越高。例如：Ｅ＝　＋　＝　ｑ＝ｘ／ｄ；　认为很是正确，而要想学好算法，数学基础就　ｃａｒｒｙ＝ｘｉ—ｑ　ｄ；　必须要掌捱牢固。由于本人是数学专业的，所　１．８５２，通过计算　Ｙ｝ｉ＝ｑ；ｌ】ｉＪ　以想从数学的角度谈谈算法。这里对　的高　ＨｕｔｔｏｎＩ　Ｈｕ恤ｍ２　Ｍ，ｘｌｌｉｎ　Ｇａｕｓｓ　１　精度计算的算法做浅显的分析，有不足之处还　５．４堪　３２８０　１．８５２　１Ｊ８６　Ｊ０　只涉及到除法，被除数是前边定义的　请专家指正批评。　代表的是圆周率，即圆的　大数组，ｘ［０］为１，后面都为０，除数是ｘ＝　周长与直径之比。在大多数科学计算中，所用　从表格中可发现只有Ｇａｕｓｓ的测度最小，　１８，ｃａｒｒｙ代表进位，Ｂ代表基数１００００。在计　的叮ｒ值一般不超过１Ｏ位小数，如果用一个球　所以我选择了Ｇａｕｓｓ公式。经过观察这个公式　１　面把目前人类所探测到的宇宙空间包起来，再　分三个部分，包括三个ａｒｃｔａｎ值，而ａｒｃｔａｎ值　算ａｒｃｔａｎ　ｘ的时候，由于ｘ＝音１０　，后面还有　计算该球面大圆的周长，为了使误差不超过一　的计算可以利用公式ａｒｅｔａｎ　ｘ＝ｘ一　Ｘｊ＋　一　＋　１　，故计算起来很麻烦，所以可选用ａｒｅｔａｎ　１ｕ　个氢原子的直径，只需使用　的３９位小数。　１　从古至今，人们始终都在追求计算出更精确的　…来计算，这里的ｘ相当于亩，寺和　１＝ａｒｅｅｏｔｐ，这样计算Ｐ　比较容易一些。接下　Ｐ　叮ｒ值的方法。尽管叮『值目前已计算出１０亿多　位，但对叮ｒ和　的计算研究依然没有终止。　素，这样整个计算中只包括加减乘除四则　来就是求和，求和的时候注意符号的问题，因　那么计算它的意义在哪里呢？简单的说高精度　为有正由负，在计算加法的时候，要注意是从　运算了，算法基本上都是一样的，这里只论述　后向前考虑，也就是从第２５００位加起，看看　１ｒ值的计算，至少具有以下几方面的意义：　（１）检验计算机硬件和软件的性能。　第一部分ａｒｃｔａｎ　１的算法。它的算法主要步　是否有进位。最后就是在主函数ｆｏｒ循环中调　（２）关于　的小数位的随机分布性质的　骤是这样的：　用乘法函数，因为Ｇａｕｓｓ公式里ａ￣ｃｔａｎ　Ｘ前都　乘以相关的系数，１２，８，一５，注意乘法和加　研究。　（１）定义一个大的整型数组，来存放每　（３）促进相关学科发展。　一步计算后的数值；　法一样，也是从后往前算，也涉及到进位问　（４）叮ｒ值可用于密码编制。　（２）计算ａｒｅｔａｎ值：　题。这样一个ａｒｃｔａｎ　ｘ值就全部算完了，另外　两个算法过程与其类似，这里就不做论述了。　虽然计算　的本身没有什么太大的意义，　ａ．利用的公式右边已经全部计算完毕，由　但是对于计算机编程爱好者来说，这无疑是一　计算寺，放人数组中；　个很有意思的挑战，其实在计算　的时候，　ｂ．计算　，从而算出　・　＝　，　于左边是　Ｔｆ，还要再做一步乘法，将整个结　需要用到一些有用的数学知识。这也是为什么　果乘以４。　要学好算法必须要掌握数学知识的原因。比如　依此类推；　以下这些数学公式都可以计算出　值，我们　ｃ．每算完一步值后都加入到定义的数组　（３）结果的输出　列出的算法都是有关ａｒｃｔａｎ　ｘ的级数展开。这　中；　接下来的任务就是输出１ｒ的结果。　里提到的级数展开指的是将函数展开成Ｘ的幂　ｄ．ａｒｃｔａｎ值计算结束。　通过以上算法的实现，就可以算出圆周　（３）将ａｒｃｔａｎ　ｘ乘以相应的系数，　率　小数点后１００００位，总共用的时间是　。　（Ｈｕ　０ｎｔｔ　　）１　　７１　＝ａｒａｒｃｔａｃｔａｌｎｌ　Ｉ　ｌ　２　Ｊ　＋　ａｒｃｔａｎ　Ｉ　　Ｊ１２，８，一５；　３．７２秒。这种算法并不复杂，只涉及到四种基　３　ｌ　（４）第一个ａｒｃｔａｎ值计算结束，将三部　本运算，并且运算时间少，计算出的圆周率值　（Ｈｕｔｔ０ｎ　２）７１　分数值相加减；　精确度也很高，本算法还可以进一步改善以缩　４　＋ａｒｃｔａｎ　【７　Ｊ　（５）　值计算结束并输出结果。　短计算时间和提高计算精度。　（Ｍａｃｈｉｎ）　７ｒ　一　。　Ｉｌ　２３９　Ｊｌ　下面对每一步算法进行详细论述。　（１）定义一个大的整型数组　（Ｇａｕｓｓ）　一　ｓ一　ｓ一　要想计算出高精度　，首先得定义一个　大的数组，不妨有一个一维数组里面含有　Ｘ３　５　７　其中　。。　了　了　２５００个元素，每个元素放四位数，这样就会　以上这些公式都可以计算出所要的数值，　得到小数点后１００００位数，同时还要把数组内　但是每个公式计算的时间是不一样的，精度也　全部清零，以便以后存储相应的数据。　（由于　是不一样的，我选择的是Ｇａｕｓｓ公式，之所以　篇幅问题相关程序不做演示了）　选择它，是因为这个算法简单，无优化无技　（２）求正切值算法　巧，而且只需要进行整数运算。　它的语句是这样的：　现在来论述一下这个公式的算法。首先　ｌｏｎｇ　ａｒｅｔａｎ＝（１ｏｎｇ　）ｍａｌｉｎｅ（ｓｉｚｅ　ｓｉｚｅｏｆ　这里涉及到一个Ｌｅｈｍｅｒ的测度计算，通过计　（１ｏｎｇ））；　ｖｏｉｄ　Ｄｉｖ　（１ｏｎｇ　ｎ，ｌｏｎｇ　Ｘ，ｌｏｎｇ　ｄ，　算ａｒｃｔａｎｆ　１　１中的Ｐ的对数的倒数之和，即　ｌｏｎｇ　Ｙ）｛　ｌｏｎｇ　ｃａ￣ｘｙ＝０，ｘ　，ｑ，ｉ；　一１９５一