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2024-08-13 来源：好走旅游网

2015年01月07日张杰的初中数学组卷

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2015年01月07日张杰的初中数学组卷

一．选择题（共6小题） 1．（2010•青海）如图，从热气球C上测定建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD为150米，且点A、D、B在同一直线上，建筑物A、B间的距离为（）

A．150 米 B． 180米 C． 200米 D． 220米 2．（2007•雅安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB为90°，CD⊥AB，cos∠BCD=，BD=1，则边AB的长是（）

A． B． 2 C． D． 3．（2007•台州）一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度CD．已知她的眼睛与地面的距离为1.6米，小迪在B处测量时，测角器中的∠AOP=60°（量角器零度线AC和铅垂线OP的夹角，如图）；然后她向小山走50米到达点F处（点B，F，D在同一直线上），这时测角器中的∠EO′P′=45°，那么小山的高度CD约为（）（注：数据≈1.732，≈1.414供计算时选用）

A．68米 B． 70米 D． 123米 4．（2006•舟山）数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S△ABC，小颖画的三角形面积记作S△DEF，那么你认为（）

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www.jyeoo.com A．B． C． D．不能确定 S△ABC＞S△DEF S△ABC＜S△DEF S△ABC=S△DEF 5．（2002•潍坊）如图，点A、B、C、D、E、F分别是小正方形的顶点，在△ABC与△DEF中，下列结论成立的是（）

∠BAC=∠EDF A．ACB=∠EDF ∠C． 2

DFE=∠ACB B． ∠D．这两个三角形中没有相等的角 6．（2000•海南）若α为锐角，且sinα是方程2x+3x﹣2=0的一个根，则cosα=（） A．B． C． D．和二．填空题（共9小题） 7．（2011•营口）已知⊙O的直径AB=2，过点A的两条弦AC=，AD=，则∠CBD= _________ ． 8．（2011•义乌市）如图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC=135°，BC的长约是m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是 _________ m．

9．（2010•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM是BC边上的中线，

，则tan∠B的值为 _________ ．

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www.jyeoo.com 10．（2010•荆州）如图，在△ABC中，∠B=45°，cos∠C=，AC=5a，则△ABC的面积用含a的式子表示是 _________ ．

11．（2009•泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，沿△ABC的中线OC将△COA折叠，使点A落在点

D处，若CD恰好与MB垂直，则tanA的值为 _________ ．

12．（2010•深圳）如图所示，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行 _________ 分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．

13．（2009•金华）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tanα的值等于 _________ ．

14．（2008•宜宾）将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是 _________ cm．

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www.jyeoo.com 15．（2008•泰安）四边形ABCD的对角线AC、BD的长分别为m、n，可以证明当AC⊥BD时（如左图），四边形ABCD的面积S=mn，那么当AC、BD所夹的锐角为θ时（如图），四边形ABCD的面积S= _________ ．（用

含m、n、θ的式子表示）

三．解答题（共7小题） 16．（2009•牡丹江）甲，乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶．甲车先到达B地，停留1小时后按原路以另﹣速度匀速返回，直到两车相遇．乙车的速度为每小时60千米．如图是两车之间的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象．

（1）请将图中的（）内填上正确的值，并直接写出甲车从A到B的行驶速度；

（2）求从甲车返回到与乙车相遇过程中y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）求出甲车返回时行驶速度及A、B两地的距离．

17．（2014•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1）， ①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标； ②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．

18．（2014•黔西南州）已知点P（x0，y0）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离d可用公式d=计算．

例如：求点P（﹣2，1）到直线y=x+1的距离．

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www.jyeoo.com 解：因为直线y=x+1可变形为x﹣y+1=0，其中k=1，b=1．所以点P（﹣2，1）到直线y=x+1的距离为d=

．

根据以上材料，求：

（1）点P（1，1）到直线y=3x﹣2的距离，并说明点P与直线的位置关系；（2）点P（2，﹣1）到直线y=2x﹣1的距离；

（3）已知直线y=﹣x+1与y=﹣x+3平行，求这两条直线的距离． 19．（2013•河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空： ①线段DE与AC的位置关系是 _________ ； ②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是 _________ ．

（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．

20．（2010•长春）如图1，A，B，C三个容积相同的容器之间有阀门连接，从某一时刻开始，打开A容器阀门，以4升/分的速度向B容器内注水5分钟，然后关闭，接着打开B容器阀门，以10升/分的速度向C容器内注水5分钟，然后关闭．设A，B，C三个容器内的水量分别为ya，yb，yc（单位：升），时间为t（单位：分）．开始时，B容器内有水50升，yayc与t的函数图象如图2所示，请在0≤t≤10的范围内解答下列问题：（1）求t=3时，yb的值．

（2）求yb与t的函数关系式，并在图2中画出其函数图象．

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www.jyeoo.com （3）求ya：yb：yc=2：3：4时t的值．

21．（2010•新疆）张师傅在铺地板时发现，用8块大小一样的长方形瓷砖恰好可以拼成一个大的长方形，如图1．然后，他用这8块瓷砖又拼出一个正方形，如图2，中间恰好空出一个边长为1的小正方形（阴影部分），假设长方形的长y，宽为x，且y＞x．

（1）请你求出图1中y与x的函数关系式；（2）求出图2中y与x的函数关系式；

（3）在图3中作出两个函数的图象，写出交点坐标，并解释交点坐标的实际意义；

（4）根据以上讨论完成下表，观察x与y的关系，回答：如果给你任意8个相同的长方形，你能否拼成类似图1和图2的图形？说出你的理由． 2 3 4 … 图（2）中小正方形边长 1 … x 3 6 9 12 y … 22．（2010•西宁）如图，直线y=kx﹣1与x轴、y轴分别交于B、C两点，tan∠OCB=．

（1）求B点的坐标和k的值；

（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx﹣1上的一个动点．当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；

（3）探索：在（2）的条件下：

①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是；

②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．

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2015年01月07日张杰的初中数学组卷

参考答案与试题解析

A． 150米 B． 180米 C． 200米 D． 220米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：压轴题．分析：此题可利用俯角∠ECA、∠FCB的正切值求得AD、AB的长，则建筑物A、B间的距离即可求出．解答：解：由题意得∠A=30°，∠B=60°． AD==150（米）， BD==50（米），则AB=AD+BD=150+50=200（米）．故选C．点评：本题考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形． 2．（2007•雅安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB为90°，CD⊥AB，cos∠BCD=，BD=1，则边AB的长是（

A． B． C．2 D．考点：解直角三角形．专题：计算题；压轴题．分析：在直角三角形中解题，根据角的余弦值与三角形边的关系及勾股定理求出三角形的边长．解答：解：∵cos∠BCD=，则设CD=2x，BC=3x，根据勾股定理得，12+（2x）2=（3x）2， ∴x=．由于∠BCD=∠BAC，

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www.jyeoo.com 所以设AC=2y，AB=3y，根据勾股定理得，（3y）﹣（2y）=（3×22）﹣y=AB=×3=． 2故选D．点评：图中的三个三角形两两相似，于是∠CAD的余弦就是∠BCD的余弦，据此结合根据勾股定理解答． 3．（2007•台州）一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度CD．已知她的眼睛与地面的距离为1.6米，小迪在B处测量时，测角器中的∠AOP=60°（量角器零度线AC和铅垂线OP的夹角，如图）；然后她向小山走50米到达点F处（点B，F，D在同一直线上），这时测角器中的∠EO′P′=45°，那么小山的高度CD约为（）（注：数据≈1.732，≈1.414供计算时选用）

A．68米 B． 70米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：压轴题．分析：易得CG=EG，利用30°的正切值可求得CG，加上1.6即为山高．解答：解：由已知易得AE=50，∠ACD=60°，∠ECD=45°． ∴CG=EG． C． 121米 D． 123米 ∵tan∠ACD==． ∴CG=25×（+1）≈68.3． ∴CD=68.3+1.6=69.9≈70（米）．故选B．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的关键是熟记三角函数公式． 4．（2006•舟山）数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S△ABC，小颖画的三角形面积记作S△DEF，那么你认为（）

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www.jyeoo.com 解答：解：如图，过点A、D分别作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分别为G、H，在Rt△ABG中，AG=ABsinB=5×sin 50°=5sin 50°，在Rt△DHE中，∠DEH=180°﹣130°=50°， DH=DEsin∠DEH=5sin 50°， ∴AG=DH． ∵BC=4，EF=4， ∴S△ABC=S△DEF．故选C．点评：考查解直角三角形的知识和等底等高两三角形面积相等． 5．（2002•潍坊）如图，点A、B、C、D、E、F分别是小正方形的顶点，在△ABC与△DEF中，下列结论成立的是（）

∠BAC=∠EDF DFE=∠ACB A．B． ∠ACB=∠EDF ∠C．D．这两个三角形中没有相等的角考点：锐角三角函数的定义．专题：压轴题．分析：利用所给选项中相应的三角函数或特殊角判断出各角是否相等，找到正确选项即可．解答：解：A、如图，易得tan∠BAC=，tan∠EDF==，那么两个角相等，故A不成立； B、∠DFE=45°，∠ACB小于45°，那么两个角不相等，故B不成立； C、∠ACB=45°﹣正切值为的角，∠EDF=45°﹣正切值为的角，那么两个角不相等，故C不成立； ABC均不成立，故选：D．

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www.jyeoo.com 点评：解决本题的关键是根据相应的特殊角或三角函数判断出所给选项的正误． 6．（2000•海南）若α为锐角，且sinα是方程2x+3x﹣2=0的一个根，则cosα=（） A．B． C． D．考点：特殊角的三角函数值；解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题；压轴题．分析：首先用因式分解法求出方程的根，再根据三角函数的概念解答．解答：解：原方程可化为（x+2）（2x﹣1）=0 2

和解得x1=﹣2，x2=．根据题意，sinα=， ∴α=30°． ∴cosα=cos30°=．故选C．点评：本题是一元二次方程和三角函数相结合的题目，先求出方程的解，但不能根据方程的解盲目求值，而是根据三角函数的取值范围将方程的根进行取舍，再计算．二．填空题（共9小题） 7．（2011•营口）已知⊙O的直径AB=2，过点A的两条弦AC=，AD=，则∠CBD= 15°或105°（只答对一个给1分）．考点：解直角三角形；圆周角定理．专题：压轴题；分类讨论．分析：分两条弦在直径AB的同侧和异侧两种情况讨论即可求解．解答：解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°．在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=2，AC=， ∴sin∠ABC==，∴∠ABC=45°；，在△ABD中，∵∠ADB=90°，AB=2，AD=∴sin∠ABD==，∴∠ABD=60°．分两种情况： ①当两条弦AC与AD在直径AB的同侧时，∠CBD=∠ABD﹣∠ABC=15°； ②当两条弦AC与AD在直径AB的异侧时，∠CBD=∠ABD+∠ABC=105°．综上可知∠CBD=15°或105°．故答案为15°或105°．

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www.jyeoo.com 点评：本题考查了解直角三角形及圆周角定理，难度中等，能够考虑到两条弦AC、AD与直径AB的位置关系，从而进行分类讨论是解决本题的关键． 8．（2011•义乌市）如图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC=135°，BC的长约是m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是 5 m．

考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．专题：几何综合题；压轴题．分析：此题乘电梯从点B到点C上升的高度h，即为过点C到AB延长线的垂线段CE的长，则由已知求得CE的长．解答：解：过点C作AB的延长线的垂线CE，即乘电梯从点B到点C上升的高度h，已知∠ABC=135°， ∴∠CBE=180°﹣∠ABC=45°， ∴CE=BC•sin∠CBE=5所以h=5，故答案为：5． •sin45°=5•=5．点评：此题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键是把实际问题转化为解直角三角形问题． 9．（2010•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM是BC边上的中线，

，则tan∠B的值为．

考点：解直角三角形．专题：压轴题．分析：根据∠CAM的正弦值，用未知数表示出MC、AM的长，进而可表示出AC、BC的长．在Rt△ABC中，求∠B的正切值．解答：解：Rt△AMC中，sin∠CAM==，设MC=3x，AM=5x，则AC=∵M是BC的中点，∴BC=2MC=6x．

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www.jyeoo.com 在Rt△ABC中，tan∠B===．点评：本题考查了解直角三角形中三角函数及勾股定理的应用，要熟练掌握好边与边、边与角之间的关系． 10．（2010•荆州）如图，在△ABC中，∠B=45°，cos∠C=，AC=5a，则△ABC的面积用含a的式子表示是 14a ．

考点：解直角三角形．专题：压轴题．分析：过A作BC的垂线，在构建的两个直角三角形中，通过解直角三角形求出BC的长以及BC边上的高，从而根据三角形的面积公式求出△ABC的面积表达式．解答：解：过A作AD⊥BC于D．在Rt△ACD中，AC=5a，cosC=， ∴CD=AC•cosC=3a，AD=在Rt△ABD中，AD=4a，∠B=45°， ∴BD=AD=4a． ∴BC=BD+CD=4a+3a=7a．故S△ABC=BC•AD=×7a×4a=14a． 2=4a．点评：本题考查的是解直角三角形的应用，当两个直角三角形拥有公共边时，先求出这条公共边是解答此类题的一般思路． 11．（2009•泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，沿△ABC的中线OC将△COA折叠，使点A落在点

D处，若CD恰好与MB垂直，则tanA的值为．

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www.jyeoo.com 专题：压轴题．分析：根据题意有：沿△ABC的中线CM将△CMA折叠，使点A落在点D处，若CD恰好与MB垂直，可得：∠B=2∠A，且∠ACB=90°，故∠A=30°，则tanA的值为．解答：解：在直角△ABC中， ∴∠ACM+∠MCB=90°， CM垂直于斜边AB， ∴∠ABC+∠MCB=90°， ∴∠B=∠ACM，OC=OA（直角三角形的斜边中线等于斜边一半）． ∴∠A=∠1．又∵∠1=∠2， ∴∠A=30°． ∴tanA=tan30°=．点评：本题考查折叠的性质和特殊角度的三角函数值． 12．（2010•深圳）如图所示，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行 15 分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．

考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：压轴题．分析：过M作AB的垂线，设垂足为N．由题易知∠MAB=30°，∠MBN=60°；则∠BMA=∠BAM=30°，得BM=AB．由此可在Rt△MBN中，根据BM（即AB）的长求出BN的长，进而可求出该船需要继续航行的时间．解答：解：作MN⊥AB于N．易知：∠MAB=30°，∠MBN=60°，则∠BMA=∠BAM=30°．设该船的速度为x，则BM=AB=0.5x． Rt△BMN中，∠MBN=60°， ∴BN=BM=0.25x．故该船需要继续航行的时间为0.25x÷x=0.25小时=15分钟．点评：本题主要考查了方向角含义，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．需注意的是单位的统一． ©2010-2015 菁优网

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www.jyeoo.com 13．（2009•金华）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tanα的值等于

．

考点：解直角三角形．专题：压轴题． 222分析：由题意知小正方形的边长为2，大正方形的边长为10．设直角三角形中较小边长为x，则有（x+2）+x=10，解方程求得x=6，从而求出较长边的长度．运用正切函数定义求解．解答：解：由题意知，小正方形的边长为2，大正方形的边长为10．设直角三角形中较小边长为x， 222则有（x+2）+x=10，解得，x=6． ∴较长边的边长为x+2=8． ∴tanα=短边：长边=6：8=．点评：此题首先要求学生正确理解题意，然后会利用勾股定理和锐角三角函数的概念解题． 14．（2008•宜宾）将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是

cm．

考点：解直角三角形；旋转的性质．专题：压轴题．分析：阴影部分为直角三角形，且∠C′AB=30°，AC′=5，解此三角形求出短直角边后计算面积．解答：解：∵等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′， ∵∠CAC′=15°， ∴∠C′AB=∠CAB﹣∠CAC′=45°﹣15°=30°，AC′=AC=5， ∴阴影部分的面积=×5×tan30°×5=．点评：本题考查旋转的性质和解直角三角形．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． ©2010-2015 菁优网

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www.jyeoo.com 15．（2008•泰安）四边形ABCD的对角线AC、BD的长分别为m、n，可以证明当AC⊥BD时（如左图），四边形ABCD的面积S=mn，那么当AC、BD所夹的锐角为θ时（如图），四边形ABCD的面积S= mnsinθ ．（用含

m、n、θ的式子表示）

考点：解直角三角形的应用．专题：压轴题．分析：设AC、BD交于O点，在①图形中，设BD=m，OA+OC=n，所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC，由此可以求出四边形的面积；在②图形中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，由于AC、BD夹角为θ，所以AE=OA•sinθ，CF=OC•sinθ，∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=BD•AE+BD•CF=BD•（AE+CF ），由此也可以求出面积．解答：解：如图，设AC、BD交于O点，在①图形中，设BD=m，OA+OC=n，所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=m•OC+m•OA=mn；在②图形中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，由于AC、BD夹角为θ，所以AE=OA•sinθ，CF=OC•sinθ， ∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC =BD•AE+BD•CF =BD•（AE+CF）=mnsinθ．故填空答案：mnsinθ．点评：此题比较难，解题时关键要找对思路，即原四边形的高已经发生了变化，只要把高求出来，一切将迎刃而解．三．解答题（共7小题） 16．（2009•牡丹江）甲，乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶．甲车先到达B地，停留1小时后按原路以另﹣速度匀速返回，直到两车相遇．乙车的速度为每小时60千米．如图是两车之间的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象．

（1）请将图中的（）内填上正确的值，并直接写出甲车从A到B的行驶速度；

（2）求从甲车返回到与乙车相遇过程中y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

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www.jyeoo.com （3）求出甲车返回时行驶速度及A、B两地的距离．

考点：一次函数的应用．专题：压轴题．分析：（1）根据题意结合图象，知3小时时，甲车到达B地，3小时和4小时之间是甲车停留的1小时，根据乙车的速度为每小时60千米，则4小时时，两车相距60千米，即为（）所填写的内容；根据3小时内两车的路程差是120千米，得1小时两车的路程差是40千米，又乙车的速度是每小时60千米，即可求得甲车的速度；（2）设解析式为y=kx+b，把已知坐标（4.4，0）和（4，60）代入可求解．根据横坐标的x的取值范围可知自变量x的取值范围；（3）设甲车返回行驶速度为v千米/时，根据两车用0.4小时共同开了60km即可求解；根据（1）中求得的甲的速度和甲3小时到达B地即可求得两地的距离．解答：解：（1）60；甲车从A到B的行驶速度：100千米/时；（2）设y=kx+b，把（4，60），（4.4，0）代入，得，解，得． ∴y=﹣150x+660，自变量x的取值范围是：4≤x≤4.4；（3）设甲车返回行驶速度为v千米/时，即0.4×（60+v）=60，解之，可得：v=90（千米/时）．故A、B两地的距离是3×100=300（千米）．点评：解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义． 17．（2014•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1）， ①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标； ②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．

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考点：一次函数综合题．专题：代数综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）①利用待定系数法求得直线OF与EA的直线方程，然后联立方程组，求得该方程组的解即为点P的坐标； ②由已知可设点F的坐标是（1，t）．求得直线OF、EA的解析式分别是y=tx、直线EA的解析式为：y=（2+t）2x﹣2（2+t）．则tx=（2+t）x﹣2（2+t），整理后即可得到y关于x的函数关系式y=x﹣2x；（Ⅱ）同（Ⅰ），易求P（2﹣，2t﹣2222）．则由PQ⊥l于点Q，得点Q（1，2t﹣222），则OQ=1+t（2﹣）22，PQ=（1﹣），所以1+t（2﹣）=（1﹣），化简得到：t（t﹣2m）（t﹣2mt﹣1）=0，通过解该方程可以求得m与t的关系式．解答：解：（Ⅰ）①∵点O（0，0），F（1，1）， ∴直线OF的解析式为y=x．设直线EA的解析式为：y=kx+b（k≠0）、 ∵点E和点F关于点M（1，﹣1）对称， ∴E（1，﹣3）．又A（2，0），点E在直线EA上， ∴解得，， ∴直线EA的解析式为：y=3x﹣6． ∵点P是直线OF与直线EA的交点，则，解得， ∴点P的坐标是（3，3）． ②由已知可设点F的坐标是（1，t）． ∴直线OF的解析式为y=tx．设直线EA的解析式为y=cx+d（c、d是常数，且c≠0）．由点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，得点E（1，﹣2﹣t）．又点A、E在直线EA上， ©2010-2015 菁优网

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www.jyeoo.com ∴解得，， ∴直线EA的解析式为：y=（2+t）x﹣2（2+t）． ∵点P为直线OF与直线EA的交点， ∴tx=（2+t）x﹣2（2+t），即t=x﹣2． 2则有 y=tx=（x﹣2）x=x﹣2x；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，直线OF的解析式为y=tx．直线EA的解析式为y=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m）． ∵点P为直线OF与直线EA的交点， ∴tx=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m），化简，得 x=2﹣．有 y=tx=2t﹣．）．）， 2∴点P的坐标为（2﹣，2t﹣∵PQ⊥l于点Q，得点Q（1，2t﹣2222∴OQ=1+t（2﹣），PQ=（1﹣）， ∵OQ=PQ， ∴1+t（2﹣）=（1﹣），化简，得 t（t﹣2m）（t﹣2mt﹣1）=0．又∵t≠0， 2∴t﹣2m=0或t﹣2mt﹣1=0，解得 m=或m=． 2222则m=或m=即为所求．点评：本题考查了一次函数的综合题型．涉及到了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与直线的交点问题．此题难度不大，掌握好两直线间的交点的求法和待定系数法求一次函数解析式就能解答本题．

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www.jyeoo.com 18．（2014•黔西南州）已知点P（x0，y0）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离d可用公式d=计算．

例如：求点P（﹣2，1）到直线y=x+1的距离．

解：因为直线y=x+1可变形为x﹣y+1=0，其中k=1，b=1．所以点P（﹣2，1）到直线y=x+1的距离为d=

．

根据以上材料，求：

（1）点P（1，1）到直线y=3x﹣2的距离，并说明点P与直线的位置关系；（2）点P（2，﹣1）到直线y=2x﹣1的距离；

（3）已知直线y=﹣x+1与y=﹣x+3平行，求这两条直线的距离．考点：一次函数综合题．专题：代数综合题．分析：（1）根据条件的P的坐标和点到直线的距离公式可以直接求出结论；（2）直接将P点的坐标代入公式d=就可以求出结论；（3）在直线y=﹣x+1任意取一点P，求出P点的坐标，然后代入点到直线的距离公式d=可以求出结论．解答：解：（1）∵点P（1，1）， ∴点P到直线y=3x﹣2的距离为： d==0，就∴点P在直线y=3x﹣2上；（2）由题意，得 ∵y=2x﹣1 ∴k=2，b=﹣1． ∵P（2，﹣1）， ∴d==． ∴点P（2，﹣1）到直线y=2x﹣1的距离为（3）在直线y=﹣x+1任意取一点P，当x=0时，y=1． ∴P（0，1）． ∵直线y=﹣x+3， ∴k=﹣1，b=3，； ©2010-2015 菁优网

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www.jyeoo.com ∴d==， ∴两平行线之间的距离为．点评：本题考查了一次函数的点与直线之间的距离公式的运用，由函数的解析式求点的坐标的运用，平行线的性质的运用，解答时掌握点到直线的距离公式是关键． 19．（2013•河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空： ①线段DE与AC的位置关系是 DE∥AC ； ②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是 S1=S2 ．

考点：全等三角形的判定与性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）①根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答； ②根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；

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www.jyeoo.com （2）根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；（3）过点D作DF1∥BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰△BDE中求出BE的长，即可得解．解答：解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上， ∴AC=CD， ∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°， ∴∠ACD=∠CDE， ∴DE∥AC； ②∵∠B=30°，∠C=90°， ∴CD=AC=AB， ∴BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等， ∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；故答案为：DE∥AC；S1=S2；（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到， ∴BC=CE，AC=CD， ∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°， ∴∠ACN=∠DCM， ∵在△ACN和△DCM中，， ∴△ACN≌△DCM（AAS）， ∴AN=DM， ∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF1=S△BDE；过点D作DF2⊥BD， ∵∠ABC=60°，F1D∥BE， ∴∠F2F1D=∠ABC=60°， ∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°， ∴∠F1DF2=∠ABC=60°， ∴△DF1F2是等边三角形， ∴DF1=DF2，

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www.jyeoo.com ∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点， ∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°， ∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°， ∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°， ∴∠CDF1=∠CDF2， ∵在△CDF1和△CDF2中，， ∴△CDF1≌△CDF2（SAS）， ∴点F2也是所求的点， ∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB， ∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，又∵BD=4， ∴BE=×4÷cos30°=2÷∴BF1==， +=，，BF2=BF1+F1F2=或．故BF的长为点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，（3）要注意符合条件的点F有两个． 20．（2010•长春）如图1，A，B，C三个容积相同的容器之间有阀门连接，从某一时刻开始，打开A容器阀门，以4升/分的速度向B容器内注水5分钟，然后关闭，接着打开B容器阀门，以10升/分的速度向C容器内注水5分钟，然后关闭．设A，B，C三个容器内的水量分别为ya，yb，yc（单位：升），时间为t（单位：分）．开始时，B容器内有水50升，yayc与t的函数图象如图2所示，请在0≤t≤10的范围内解答下列问题：（1）求t=3时，yb的值．

（2）求yb与t的函数关系式，并在图2中画出其函数图象．（3）求ya：yb：yc=2：3：4时t的值．

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考点：一次函数的应用．专题：压轴题．分析：（1）t=3时，A向B容器内注水3分钟，yb=50+4t，代入求解即可；（2）分两段，前5分钟和后5分钟，前五分钟按等量关系“容器内的水量=开始时的水量+A注入的水量”后五分钟按等量关系“容器内的水量=5分钟时的水量﹣注入C中的水量”列出函数关系式，并画出函数图象；（3）根据函数关系式，满足ya：yb：yc=2：3：4求得t的值．解答：解：（1）当t=3时，A向B容器内注水3分钟， yb=50+4t=50+4×3=62；（2）分两段求解，当0≤t≤5，yb=50+4t；当5＜t≤10，yb=50+4×5﹣10（t﹣5）=120﹣10t， ∴yb与t的函数关系式再作出函数图象如下图所示：，（3）由图象可以看出，ya：yb：yc=2：3：4，若0≤t≤5，取t=5，则yc=70，yb==50+4t，ya=35＜40则不符合ya图象；若5＜t≤10，取t=10，则ya=40，yb=120﹣10t，yc=10t+20，对照图象，符合函数图象，解得：t=6．点评：本题考查了函数图象与实际结合的问题，同学们应学会运用函数及图象解决实际问题． 21．（2010•新疆）张师傅在铺地板时发现，用8块大小一样的长方形瓷砖恰好可以拼成一个大的长方形，如图1．然后，他用这8块瓷砖又拼出一个正方形，如图2，中间恰好空出一个边长为1的小正方形（阴影部分），假设长方形的长y，宽为x，且y＞x．

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（1）请你求出图1中y与x的函数关系式；（2）求出图2中y与x的函数关系式；

（3）在图3中作出两个函数的图象，写出交点坐标，并解释交点坐标的实际意义；

（4）根据以上讨论完成下表，观察x与y的关系，回答：如果给你任意8个相同的长方形，你能否拼成类似图1和图2的图形？说出你的理由． 2 3 4 … 图（2）中小正方形边长 1 … x 3 6 9 12 y … 考点：一次函数的应用．专题：压轴题；分类讨论．分析：（1）根据图1中长与宽的等量关系列出方程，即可求出图1中y与x的函数关系式；（2）根据长方形的面积×8+小正方形的面积=正方形的面积，列出方程即可得出；（3）根据函数的解析式及图象性质作出它们的图象，得出交点坐标，并结合实际解释交点坐标的实际意义；（4）由（1）可知长方形的长与宽若不能满足y=解答：解：（1）由图1得：3y=5x，（2）由图2得8xy+1=（2x+y）， 2整理得：（2x﹣y）=1， 2x﹣y=±1， ∵∴，， 2，则不能；长方形的长与宽只要满足y=，则能．； x=﹣3＜0， ∴2x﹣y=﹣1不成立， ∴2x﹣y=1，即y=2x﹣1；（3）交点坐标（3，5）实际意义解答不唯一例①：瓷砖的长为5，宽为3时，能围成图1，图2的图形；例②：当瓷砖长为5，宽为3时，围成图2的正方形中的小正方形边长为1． 2 3 4 … 图（2）中小正方形边长 1 … x 3 6 9 12 … y 5 10 15 20 ©2010-2015 菁优网

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www.jyeoo.com （4）情况①：不能，长方形的长与宽若不能满足y=情况②：能，长方形的长与宽只要满足y=即可，则不能情况③：综合上述两种说法，只要符合其中一种情况均给分．点评：本题重点考查了一次函数图象和实际应用相结合的问题，熟悉长方形的面积公式，在做题时结合图形明确长方形中长与宽的等量关系．同时注意根据实际情况分类讨论． 22．（2010•西宁）如图，直线y=kx﹣1与x轴、y轴分别交于B、C两点，tan∠OCB=．

（1）求B点的坐标和k的值；

（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx﹣1上的一个动点．当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；

（3）探索：在（2）的条件下：

①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是；

②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：一次函数综合题．专题：压轴题．分析：本题考查一次函数的综合应用，在（1）中需根据OC=1求出B点坐标，再利用待定系数法求出k值；（2）中利用把△AOB的面积表示出来，在根据x与y之间的关系代入整理；（3）代入求值即可，同时在查找等腰三角形的满足P点的坐标时要根据等腰三角形的性质查找．解答：解：（1）∵y=kx﹣1与y轴相交于点C， ∴OC=1； ∵tan∠OCB=∴OB=；， ©2010-2015 菁优网

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www.jyeoo.com ∴B点坐标为：把B点坐标为：（2）∵S=∴S=×（2x﹣1）； ∴S=x﹣；（3）①当S=时，x﹣=， ∴x=1，y=2x﹣1=1； ∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为； ②存在．满足条件的所有P点坐标为： P1（1，0），P2（2，0），P3（，0），P4（，0）．（12分）（注：每题只给出一种解法，如有不同解法请参照评分意见给分）点评：本题是函数与三角形相结合的问题，在图形中渗透运动的观点是中考中经常出现的问题．，y=kx﹣1，；代入y=kx﹣1得：k=2； ©2010-2015 菁优网

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