椭圆的简单几何性质典型例题

椭圆的简单几何性质典型例题

椭圆（1）

1 椭圆的一个顶点为A 2，0 ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．

2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

3 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x y 1 0交于A、B两点，M为

AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

x2y 9 1上不同三点A x1，y1 ，B 4 ，C x2，y2 与焦点F 4，0 的距离4椭圆

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成等差数列．

（1）求证x1 x2 8；

（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k．

2

x2y 1，F1、F2为两焦点，问能否在椭5 已知椭圆

43

圆上找一点M，使M到左准线的距离是与的等比中项？若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

2

6 已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程．

7 求适合条件的椭圆的标准方程．

（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点；

（2）在轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．

8 椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，求点的坐标．

9 求椭圆上的点到直线的距离的最小值．

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设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远

距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点的距离等于的点的坐标．

11 设，，，求的最大值和最小值．

12 已知椭圆，、是其长轴的两个端点．

（1）过一个焦点作垂直于长轴的弦，求证：不论、如何变化，． （2）如果椭圆上存在一个点，使，求的离心率的取值范围．

13 已知椭圆的离心率，求的值．

14 已知椭圆上一点到右焦点的距离为，求到左准线的距离．

15 设椭圆(为参数)上一点与轴正向所成角，求点坐标．

16 设是离心率为的椭圆 上的一点，到左焦点和右焦点的距离分别为和，求证：，．

17 已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点． (1) 求的最大值、最小值及对应的点坐标； (2) 求的最小值及对应的点的坐标．

18 (1)写出椭圆的参数方程；

(2)求椭圆内接矩形的最大面积．

19 已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．

(1)求椭圆离心率的取值范围； (2)求证的面积与椭圆短轴长有关．

20 椭圆与轴正向交于点，若这个椭圆上总存在点，使(为坐标原点)，求其离心率的取值范围．